115 高普考普通考試 統計 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的最小平方法，以及迴歸斜率、相關係數與判定係數的關係。

在含截距的簡單線性迴歸中：

• 迴歸直線會通過樣本平均數點 $(\bar X,\bar Y)$。
• $Y$ 對 $X$ 的迴歸斜率 $b_{Y|X}=r\frac{s_Y}{s_X}$；$X$ 對 $Y$ 的迴歸斜率 $b_{X|Y}=r\frac{s_X}{s_Y}$，因此兩斜率相乘為 $r^2=R^2$。
• 檢定 $H_0:\beta_1=0$ 的統計量可由相關係數表示為 $t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}},\qquad df=n-2.$
• 對變數作線性轉換時，可將原迴歸式代入轉換關係，求得新變數的迴歸式。

解題方法與推導

（一）以 $Y$ 為自變數、$X$ 為應變數

題目給定 $Y$ 對 $X$ 的迴歸式 $\hat Y=10-2X.$

因此 $Y$ 對 $X$ 的斜率為 $b_{Y|X}=-2$。又因 $\bar X=8$，迴歸線通過 $(\bar X,\bar Y)$，故 $\bar Y=10-2(8)=-6.$

兩方向迴歸斜率的乘積等於 $R^2$： $b_{Y|X}b_{X|Y}=R^2.$

代入 $b_{Y|X}=-2$、$R^2=0.36$：

$$(-2)b_{X|Y}=0.36 \quad\Longrightarrow\quad b_{X|Y}=-0.18.$$

再利用反向迴歸線通過 $(\bar Y,\bar X)$，求截距：

$$a_{X|Y}=\bar X-b_{X|Y}\bar Y =8-(-0.18)(-6)=6.92.$$

所以以 $Y$ 為自變數、$X$ 為應變數的最小平方法迴歸式為 $\hat X=6.92-0.18Y.$

核心觀念

每次對接任務獨立，成功機率為 $p$、失敗機率為 $1-p$。令 $R$ 為「第一次失敗發生時的任務次數」，則 $R$ 服從以失敗為停止事件的幾何分配：

$$P(R=r)=p^{r-1}(1-p),\qquad r=1,2,\ldots$$

因此 $R$ 是幾何分配的失敗次數版本，期望值為

$$E(R)=\frac{1}{1-p}.$$

動差法以樣本動差等於母體動差，再解出參數的估計量。

（一）條件機率的動差法估計量

由 $R>50$ 可知前 50 次任務均成功。事件 $R\leq52$ 且 $R>50$，表示第一次失敗發生在第 51 或第 52 次。因此，在已連續成功 50 次的條件下：

$$\begin{aligned} P(R\leq52\mid R>50) &=\frac{P(R=51)+P(R=52)}{P(R>50)}\\ &=\frac{p^{50}(1-p)+p^{51}(1-p)}{p^{50}}\\ &=(1-p)(1+p)=1-p^2. \end{aligned}$$

接著以動差法估計 $p$。令樣本平均數為 $\overline R=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n R_i$，將第一個樣本動差設為母體期望值：

$$\overline R=E(R)=\frac{1}{1-p}.$$

解得

$$\widehat p_{\mathrm{MM}}=1-\frac{1}{\overline R}.$$

將此估計代入條件機率 $1-p^2$，得到動差法估計量：

核心觀念

本題考查離散隨機樣本的函數分配、共變異數、條件期望，以及負二項分配與幾何分配。雖然題目稱 $f(x)$ 為機率密度函數，但 $X$ 是離散型隨機變數，應視為機率質量函數。

由樣本標準差的定義，當樣本數為 $2$ 時，

$$\bar X=\frac{X_1+X_2}{2},\qquad S=\sqrt{(X_1-\bar X)^2+(X_2-\bar X)^2} =\frac{|X_1-X_2|}{\sqrt 2}.$$

因此 $S$ 只由 $|X_1-X_2|$ 決定。

解題方法

（一）求 $S$ 的機率分配

$X_1,X_2$ 各自取 $0,1,2$，相異樣本組合的機率如下：

• $S=0$：兩次觀測相同，機率為

$$P(S=0)=0.3^2+0.4^2+0.3^2=0.34.$$

• $S=1/\sqrt 2$：兩次觀測相差 $1$，有 $(0,1),(1,0),(1,2),(2,1)$，故

$$P\left(S=\frac1{\sqrt2}\right) =2(0.3)(0.4)+2(0.4)(0.3)=0.48.$$

• $S=\sqrt2$：兩次觀測相差 $2$，有 $(0,2),(2,0)$，故

$$P(S=\sqrt2)=2(0.3)(0.3)=0.18.$$

所以 $S$ 的機率質量函數為

$$p_S(s)= \begin{cases} 0.34, & s=0,\\ 0.48, & s=\dfrac1{\sqrt2},\\ 0.18, & s=\sqrt2,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

三個機率相加為 $1$。

（二）求 $\operatorname{cov}(\bar X,S)$

利用定義

$$\operatorname{cov}(\bar X,S)=E(\bar X S)-E(\bar X)E(S).$$

先算母體平均數：

$$E(X)=0(0.3)+1(0.4)+2(0.3)=1, \qquad E(\bar X)=1.$$

由（一）可得

$$E(S)=0.48\frac1{\sqrt2}+0.18\sqrt2 =\frac{0.24+0.36}{\sqrt2} =\frac{0.60}{\sqrt2}.$$

當 $S=1/\sqrt2$ 時，對應樣本對為 $(0,1),(1,0),(1,2),(2,1)$。其 $\bar X$ 加權總和為

$$(0.3)(0.4)\left(\frac12\right) +(0.4)(0.3)\left(\frac12\right) +(0.4)(0.3)\left(\frac32\right) +(0.3)(0.4)\left(\frac32\right) =0.48.$$

故這些樣本對對 $E(\bar X S)$ 的貢獻為 $0.48/\sqrt2$。當 $S=\sqrt2$ 時，樣本對 $(0,2),(2,0)$ 的平均數皆為 $1$，其機率合計為 $0.18$，貢獻為 $0.18\sqrt2$。因此

$$E(\bar X S)=\frac{0.48}{\sqrt2}+0.18\sqrt2 =\frac{0.84}{\sqrt2}.$$

所以