113 高普考普通考試 經建行政 統計學概要 考古題詳解

某廠商因其生產之商品數量極大，故委託 $A$ 與 $B$ 兩家代工廠商代為生產。已知 $A$、$B$ 二家代工廠的生產量比例為 $3:1$。根據以往查核資料，$A$ 代工廠產品的不良率為 $2\%$，$B$ 代工廠產品的不良率為 $4\%$，此二不良率皆符合該廠商對其商品不良率的要求。

(一) 若有一位消費者隨機購買一件該廠商生產之商品：

1. 此商品為從 $A$ 代工廠生產且為不良品的機率為何？（4 分）
2. 此商品為從 $B$ 代工廠生產且為不良品的機率為何？（4 分）

(二) 接續題（一），若該消費者隨機購買一件該廠商生產之商品，此商品為不良品的機率為何？（4 分）

(三) 若有一位消費者隨機購買該廠商生產之商品，發現此商品為不良品，則該產品是來自 $B$ 代工廠的機率為何？（8 分）

某知名飲品店想瞭解消費者自備飲料杯的情形，隨機抽訪 $1{,}000$ 位消費者。分析資料後得知，其中有 $400$ 位男生及 $600$ 位女生，且男生中有 $100$ 位有自備飲料杯的習慣，而女生中有 $300$ 位有自備飲料杯的習慣。

(一) 估計來該店之消費者會自備飲料杯比例的 $95\%$ 信賴區間。（7 分）

(二) 估計來該店之消費者中，男生與女生有自備飲料杯比例差的 $95\%$ 信賴區間。（12 分）

(三) 若該飲品店準備要進行某一項新品喜好度調查，預估消費者對該新品的喜好百分比會有 $60\%$（即 $p=0.6$）。若要求此喜好百分比在信賴水準為 $95\%$ 設定下的估計誤差值 $d$ 不超過 $0.02$，在假設大樣本條件下，應抽出多少樣本數？（6 分）

某公司為瞭解其推出新產品上市一個月後在北、中、南 $3$ 個營業區的平均銷售量是否會有不同，從 $3$ 個營業區各隨機抽出 $3$ 家分店，蒐集整理新品銷售量相關之資料（單位：百件）。

已知 $9$ 家分店所有銷售量資料的（總）變異數為 $10.5$，請利用單因子變異數分析方法，在 $5\%$ 的顯著水準下，檢定 $3$ 個營業區銷售量的平均數是否有差異。

(一) 請寫出虛無與對立假設。（3 分）

(二) 請列出變異數分析表（ANOVA 表）及得到 $F$ 統計量的估計值的每一個計算過程。（18 分）

(三) 檢定結果與結論。（4 分）

某公司的維修部門負責該公司所有機器設備維修工作。部門經理為估計下年度所需之維修成本，蒐集了過去 $6$ 個月的機器運轉時數 $X$ 與所耗用的維修費用 $Y$ 資料，並建立了二者間的迴歸模型：

$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i,\qquad i=1,2,\ldots,n$

假設 $\varepsilon_i$ 相互獨立且具有共同分配 $N(0,\sigma^2)$。令 $Y$ 的最小平方估計值為：

$\hat{Y}=b_0+b_1X$

已知樣本相關資訊如下：

$n=6,\quad \sum X_i=24,\quad \sum Y_i=360,\quad \sum (X_i-\bar{X})^2=20,$

$\sum (Y_i-\bar{Y})^2=2{,}000,\quad \sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})=190,$

其中 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 分別表示 $n$ 個 $X$ 和 $n$ 個 $Y$ 的樣本平均數。

(一) 計算最小平方估計值中的 $b_0$ 和 $b_1$ 的數值。（10 分）

(二) 已知迴歸模型的判定係數 $R^2$ 為 $0.9025$，計算出以下迴歸模型的變異數分析表中 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 的數值。（12 分）

(三) 為了檢定迴歸模型的斜率 $\beta_1$ 是否大於 $0$，即

$H_0:\beta_1\leq 0\quad\text{對}\quad H_1:\beta_1>0$

可以利用 $t$ 檢定統計量進行，請：

1. 先計算出 $b_1$ 的標準誤；
2. 再計算對應本資料的 $t$ 統計量的數值；
3. 最後判斷在 $5\%$ 的顯著水準下，該迴歸線的斜率是否大於 $0$。（8 分）