108 高普考普通考試 氣象 微積分 考古題詳解

核心觀念

1. 極值定理（Extreme Value Theorem）： 定義在 $\mathbb{R}^3$ 的閉有界（緊緻）區域上的連續函數，必在該區域內達到絕對最大值與絕對最小值。
2. 多變數函數極值的存在位置： 區域 $D = \{(x,y,z) : x^2 + y^2 + 2z^2 \leq 1\}$ 為一實心橢球體。極值可能出現於：

• 內部臨界點：使梯度 $\nabla f = \mathbf{0}$ 或偏導函數不存在之點。
• 邊界：橢球面 $x^2 + y^2 + 2z^2 = 1$ 上的點。

3. 拉格朗日乘數法（Method of Lagrange Multipliers）： 求目標函數 $f(x,y,z)$ 在約束曲面 $g(x,y,z) = 0$ 上的極值時，若 $\nabla g \neq \mathbf{0}$，則極值點必滿足：

$$\nabla f(x,y,z) = \lambda \nabla g(x,y,z)$$

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解題方法

本題要求目標函數 $f(x,y,z) = 2x + y - z$ 在閉橢球體 $D: x^2 + y^2 + 2z^2 \leq 1$ 上的最大值與最小值。

步驟一：檢查區域內部臨界點

考慮區域內部 $x^2 + y^2 + 2z^2 < 1$： 計算 $f$ 的梯度向量：

$$\nabla f(x,y,z) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (2, 1, -1)$$

由於 $\nabla f = (2, 1, -1) \neq (0, 0, 0)$ 在全空間恆成立，表示 $f$ 在區域內部不存在任何臨界點。 因此，函數 $f$ 在區域 $D$ 上的絕對極值必發生在邊界橢球面上。

步驟二：利用拉格朗日乘數法求邊界極值

邊界約束條件為：

$$g(x,y,z) = x^2 + y^2 + 2z^2 - 1 = 0$$

計算約束函數的梯度：

$$\nabla g(x,y,z) = (2x, 2y, 4z)$$

在邊界上，$\nabla g \neq \mathbf{0}$（因為原點 $(0,0,0)$ 不在邊界上）。 根據拉格朗日乘數法，存在純量 $\lambda \in \mathbb{R}$ 滿足 $\nabla f = \lambda \nabla g$，即：

$$\begin{cases} 2 = 2\lambda x & \cdots\text{ (1)} \\ 1 = 2\lambda y & \cdots\text{ (2)} \\ -1 = 4\lambda z & \cdots\text{ (3)} \\ x^2 + y^2 + 2z^2 = 1 & \cdots\text{ (4)} \end{cases}$$

由式 (1)、(2)、(3) 可知 $\lambda \neq 0$，將各變數以 $\lambda$ 表示：

$$x = \frac{1}{\lambda}, \quad y = \frac{1}{2\lambda}, \quad z = -\frac{1}{4\lambda}$$

步驟三：解出乘數 $\lambda$ 與對應座標

將 $x, y, z$ 代入約束方程式 (4)：

$$\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{1}{2\lambda}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{4\lambda}\right)^2 = 1$$

展開並化簡：

$$\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} + \frac{2}{16\lambda^2} = 1$$ $$\frac{1}{\lambda^2}\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\right) = 1$$ $$\frac{1}{\lambda^2}\left(\frac{11}{8}\right) = 1 \implies \lambda^2 = \frac{11}{8}$$

解得：

核心觀念

1. 雙重積分的積分次序交換（Fubini 定理）： 被積函數 $f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}$ 對變數 $x$ 的反導函數無法以初等函數（Elementary Functions）表示（屬於非初等積分／不完全橢圓積分型態）。因此，本題無法直接依題給次序對 $x$ 先行積分，必須透過交換積分次序（Change of Order of Integration），改為先對 $y$ 積分、後對 $x$ 積分。
2. 積分區域的邊界轉換（型態轉換）： 將原積分以水平切片（$x$ 型區域）描述的邊界： $R = \left\{ (x, y) \mid 0 \le y \le 1, \, \sqrt{y} \le x \le 1 \right\}$ 轉換為以垂直切片（$y$ 型區域）描述的幾何邊界，重新界定外層與內層的積分上下限。
3. 變數代換法（$u$-代換法）： 交換次序後，內層對 $y$ 積分會產生 $y$ 的邊界多項式，進而在外層產生 $x^2$ 因子，剛好能與分母根號內的 $x^3$ 微分項（$3x^2\,dx$）互相搭配，使外層積分可利用代換積分法求值。

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解題方法

步驟一：分析並重描積分區域 $R$

原積分給定的區域不等式為： $0 \le y \le 1, \quad \sqrt{y} \le x \le 1$ 各邊界方程式及其幾何關係如下：

• 左邊界：$x = \sqrt{y} \implies y = x^2$（因 $x \ge 0$）
• 右邊界：垂直線 $x = 1$
• 下邊界：水平線 $y = 0$
• 上邊界：水平線 $y = 1$

在 $xy$ 平面上，該區域為由拋物線 $y = x^2$、垂直線 $x = 1$ 與 $x$ 軸（$y = 0$）所圍成的封閉區域。 改以垂直切片（先積 $y$、後積 $x$）來表示：

• 外層變數 $x$ 的全域投影區間為：$0 \le x \le 1$
• 內層變數 $y$ 的變化範圍為：由下邊界 $y = 0$ 垂直往上穿至拋物線 $y = x^2$，即 $0 \le y \le x^2$

因此，積分區域可等價改寫為： $R = \left\{ (x, y) \mid 0 \le x \le 1, \, 0 \le y \le x^2 \right\}$

步驟二：交換積分次序

依據 Fubini 定理，原雙重積分改寫為： $I = \int_0^1 \int_0^{x^2} \frac{1}{\sqrt{1+x^3}} \, dy \, dx$

步驟三：計算內層積分（對 $y$ 積分）

在內層積分中，被積函數僅含有變數 $x$，對 $y$ 而言視同常數，可直接提出： $\int_0^{x^2} \frac{1}{\sqrt{1+x^3}} \, dy = \frac{1}{\sqrt{1+x^3}} \left[ y \right]_{y=0}^{y=x^2} = \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}}$

步驟四：計算外層積分（對 $x$ 積分）

將內層計算結果代回外層積分： $I = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}} \, dx$

核心觀念

1. 旋轉曲面面積公式（繞 $x$ 軸）： 設平面光滑曲線由 $y = f(x) \ge 0$ 給出，其中 $x \in [a, b]$。將該曲線繞 $x$ 軸旋轉一圈所形成的旋轉曲面面積為：

$$S = \int_{a}^{b} 2\pi y \, ds = \int_{a}^{b} 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$$

其中微弧長元素為 $ds = \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$。 2. 代換積分法（$u$-substitution）： 觀察被積函數中同時包含三角函數 $\sin x$ 與其導函數相關項 $\cos^2 x$，可令 $u = \cos x$ 簡化積分。 3. 標準根式積分公式：

$$\int \sqrt{1 + u^2} \, du = \frac{u}{2}\sqrt{1 + u^2} + \frac{1}{2} \ln\left(u + \sqrt{1 + u^2}\right) + C$$

（此積分亦可透過三角代換 $u = \tan \theta$ 轉化為 $\int \sec^3 \theta \, d\theta$ 求解）。

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解題方法

步驟一：建立微弧長與旋轉曲面面積積分式 已知曲線方程為 $y = \sin x$，定義域為 $x \in [0, \pi/2]$。在此區間內 $y = \sin x \ge 0$。 計算一階導數：

$$y' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

微弧長元素 $ds$ 為：

$$ds = \sqrt{1 + (y')^2} \, dx = \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx$$

因此，旋轉曲面面積 $S$ 的定積分為：

$$S = \int_{0}^{\pi/2} 2\pi y \sqrt{1 + (y')^2} \, dx = 2\pi \int_{0}^{\pi/2} \sin x \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx$$

步驟二：進行變數代換 令 $u = \cos x$，兩邊微分得 $du = -\sin x \, dx$，即 $\sin x \, dx = -du$。 對應的積分上下限變換如下：

• 當 $x = 0$ 時，$u = \cos 0 = 1$
• 當 $x = \pi/2$ 時，$u = \cos(\pi/2) = 0$

將變數代入積分式，並利用上下限反轉消除負號：

$$S = 2\pi \int_{1}^{0} \sqrt{1 + u^2} \, (-du) = 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{1 + u^2} \, du$$

步驟三：計算定積分數值 套用標準不定積分公式：

$$\int \sqrt{1 + u^2} \, du = \frac{u}{2}\sqrt{1 + u^2} + \frac{1}{2}\ln\left(u + \sqrt{1 + u^2}\right)$$

代入上下限 $u = 0$ 與 $u = 1$：

• 代入上限 $u = 1$：

$$\frac{1}{2}\sqrt{1 + 1^2} + \frac{1}{2}\ln\left(1 + \sqrt{1 + 1^2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(1 + \sqrt{2})$$

• 代入下限 $u = 0$：

核心觀念

本題評量常微分方程（ODE）之 Logistic 模型的解析求解與定性分析，屬於高普考與研究所微積分的經典題型。涉及的核心觀念與數學工具如下：

1. 變化率函數的單調性與連鎖律（Chain Rule）： 欲探討「物種數的變化率 $\frac{dP}{dt}$」對時間 $t$ 的遞增或遞減性，必須檢驗其對 $t$ 的一階導數，亦即 $P(t)$ 的二階導數 $\frac{d^2P}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dP}{dt}\right)$。由於微分方程為自治方程（Autonomous ODE），可利用連鎖律：

$$\frac{d^2P}{dt^2} = \frac{d}{dP}\left(\frac{dP}{dt}\right) \cdot \frac{dP}{dt}$$

藉由導數正負號判定函數單調性，並求出變化率由增轉減的轉折點（反曲點對應之族群量）。 2. 可分離變數微分方程（Separable ODE）與部分分式積分： 將方程式改寫為 $\frac{1}{P(\gamma - P)}\,dP = \alpha\,dt$，利用部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）求出 $P(t)$ 的顯式解（Explicit Solution）。 3. 極限與平衡解（Equilibrium Solution）的漸近穩定性： 檢驗當 $t \to \infty$ 時，$P(t)$ 之漸近行為。可由解析解直接求極限，亦可透過相線分析（Phase Line Analysis）印證穩定平衡點 $\gamma$（環境容納量 Carrying Capacity）。

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解題方法

（一）判定 $\frac{dP}{dt}$ 的單調性與轉折點

1. 求 $\frac{dP}{dt}$ 對時間 $t$ 的導數： 物種數的變化率即為 $f(t) = \frac{dP}{dt}$。欲知 $f(t)$ 是否為遞增函數，需計算其對時間 $t$ 的一階導數 $\frac{df}{dt} = \frac{d^2P}{dt^2}$。 已知 Logistic 方程：

$$\frac{dP}{dt} = \alpha P(\gamma - P) = \alpha \gamma P - \alpha P^2$$

利用連鎖律對時間 $t$ 微分：

$$\frac{d^2P}{dt^2} = \frac{d}{dP}\left(\alpha \gamma P - \alpha P^2\right) \cdot \frac{dP}{dt} = \alpha(\gamma - 2P) \cdot \left[\alpha P(\gamma - P)\right]$$

整理得：

$$\frac{d^2P}{dt^2} = \alpha^2 P(\gamma - P)(\gamma - 2P)$$

2. 分析正負號與單調性： 已知初始值 $0 < P_0 < \gamma$，且 $\alpha > 0$、$\gamma > 0$。 在物種數尚未達到 $\gamma$ 前，恆有 $P(t) > 0$ 且 $\gamma - P(t) > 0$，故：

$$\alpha^2 P(\gamma - P) > 0$$

此時 $\frac{d^2P}{dt^2}$ 的正負號完全由因子 $(\gamma - 2P)$ 決定：

• 當 $0 < P < \frac{\gamma}{2}$ 時，$\gamma - 2P > 0 \implies \frac{d^2P}{dt^2} > 0$，此時變化率 $\frac{dP}{dt}$ 為嚴格遞增函數。
• 當 $P = \frac{\gamma}{2}$ 時，$\frac{d^2P}{dt^2} = 0$，變化率 $\frac{dP}{dt}$ 達到最大值 $\frac{\alpha \gamma^2}{4}$。
• 當 $\frac{\gamma}{2} < P < \gamma$ 時，$\gamma - 2P < 0 \implies \frac{d^2P}{dt^2} < 0$，此時變化率 $\frac{dP}{dt}$ 為嚴格遞減函數。

若初始值 $P_0 < \frac{\gamma}{2}$，隨著時間 $t$ 增長，$P(t)$ 將從小於 $\frac{\gamma}{2}$ 上升並越過 $\frac{\gamma}{2}$，因此 $\frac{dP}{dt}$ 是「先遞增後遞減」，並非一直是遞增函數。

故物種數的變化率不是一直為遞增函數；當物種數 $P = \frac{\gamma}{2}$ 時，$\frac{dP}{dt}$ 的遞增或遞減性產生改變。

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（二）求 $t \to \infty$ 時 $P(t)$ 的趨近值及其與 $P_0$ 的關聯

本小題提供「解析解法」與「定性分析法」兩種論證：

方法一：解微分方程求極限（解析解法）

1. 分離變數與積分：

$$\frac{dP}{P(\gamma - P)} = \alpha\,dt$$

利用部分分式拆解：

$$\frac{1}{\gamma}\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{\gamma - P}\right) dP = \alpha\,dt \implies \left(\frac{1}{P} + \frac{1}{\gamma - P}\right) dP = \alpha\gamma\,dt$$

兩邊積分：