109 高普考普通考試 氣象 微積分 考古題詳解

核心觀念

本題考查複合函數的鏈鎖律，以及商數微分法則。函數圖形在 $x=1$ 處的切線方程式為

因此須先利用已知函數值求出 $h(1)$，再用已知導數求出 $h'(1)$。

解題方法

由 $g(1)=2$、$f(2)=2$，代入 $h(x)$：

接著對 $h(x)$ 微分。第一項使用鏈鎖律：

第二項使用商數法則：

其中 $\frac{d}{dx}f(2x)=2f'(2x)$，來自鏈鎖律。整理後可寫成

核心觀念

本題考查不定積分的線性性、分部積分與換元積分。將被積函數拆成兩項後分別積分：

第一項是指數函數與三角函數的乘積，適合連續使用分部積分；第二項可觀察到 $x^2$ 的微分為 $2x\,dx$，適合換元。

解題方法

一、計算 $\int e^{5x}\cos 2x\,dx$

令

第一次分部積分，取 $u=\cos 2x$、$dv=e^{5x}dx$，則 $du=-2\sin 2x\,dx$、$v=\frac15e^{5x}$：

再令

對 $J$ 分部積分，取 $u=\sin 2x$、$dv=e^{5x}dx$，得到

代回 $I$：

整理含 $I$ 的項：

核心觀念

本題考查三變數函數的拉普拉斯算子：

由題意 $f(x,y,z)=2/r$，且 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，因此 $f$ 是只依賴到原點距離 $r$ 的徑向函數。徑向函數可使用公式

解題方法

先對 $F(r)=2r^{-1}$ 微分：

核心觀念

本題考「等式限制下的多變數極值」。可用拉格朗日乘數法，但先利用限制式消去變數，能將問題化為橢圓上的線性函數極值。

限制式 $H(x,z)=1$ 給出 $x+5z=1$，而目標函數中也有 $x+5z$；因此

所以只需求出限制式 $x^2+9y^2=2$ 所允許的 $y$ 範圍。

解題方法

由

且 $x^2\geq 0$，可得

由於 $F=1+3y$ 隨 $y$ 遞增，最大值取在 $y=\frac{\sqrt{2}}{3}$，最小值取在 $y=-\frac{\sqrt{2}}{3}$。

在兩個端點，$x^2=2-9y^2=0$，故 $x=0$。再由 $x+5z=1$ 得 $z=\frac15$。因此：

核心觀念

本題考查三重積分的變數代換，以及單純形區域上的多項式積分。積分區域由第一卦限條件與平面 $15x+5y+3z=15$ 圍成；被積函數中的線性組合也能藉由適當的伸縮變數化簡。

解題方法

令

則 $y=3v,\ z=5w$，且體積元素為

區域條件化為

而被積函數化為 $(u+v+w)^2$。因此