113 高普考普通考試 測量製圖 誤差理論概要 考古題詳解

核心觀念

誤差平均值反映誤差是否有固定偏向；若平均誤差與零有顯著差異，表示存在系統誤差。粗差則依題目指定的 $3\sigma$ 原則判斷：偏離誤差平均值超過三倍標準差的觀測值，列為粗差。

本題先用全部 16 筆資料檢查粗差，再以保留的資料估計平均誤差、量測標準差及均方根誤差。由於誤差服從常態分配，檢定平均誤差是否為零時，使用單一樣本 $t$ 檢定。

解題方法與計算

令誤差為 $e_i$，樣本數 $n=16$。先求誤差總和與平均值：

一、判斷是否存在系統誤差

檢定假設為：

其中 $\mu$ 為誤差母體平均值。先計算以樣本平均值為中心的離均差平方和：

樣本標準差為：

平均值的 $t$ 統計量為：

以雙尾顯著水準 $5\%$、自由度 $15$ 檢定，臨界值約為 $2.131$。因為 $|t|=3.74>2.131$，拒絕 $H_0$，判定誤差平均值顯著不為零。

因此，這組誤差存在系統誤差，方向為正，估計偏差約為 $9$。

二、依 $3\sigma$ 原則檢查粗差

以誤差平均值為中心，三倍標準差界限為：

核心觀念

本題在辨別「較差」與「精度」的意義。兩次觀測之差是較差，較差可反映兩次觀測彼此的一致程度；但它不等於單次觀測的隨機誤差，也不能單獨代表觀測值相對於真值的精度。

設同一量的兩次觀測為

其中 $L$ 為真值，$\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 為隨機誤差。較差為

若兩次觀測誤差獨立，且標準差分別為 $\sigma_1,\sigma_2$，則

若兩次觀測精度相同，均為 $\sigma$，則較差的標準差為

因此，較差小可能反映兩次觀測的隨機誤差較小，但單看一次較差，不能確定單次觀測的精度；兩次誤差也可能方向相近而相互抵消。

解題方法

先確認較差是「兩次觀測值之間的差」，再由差值的誤差傳播關係判斷它與單次觀測精度的關係。常態分配假設可用來描述較差的機率分布，但不會使單一較差直接成為精度指標。

導線簡易平差所得的位置閉合差，是導線終點相對於理論閉合位置的座標差。若其分量為 $f_x,f_y$，位置閉合差長度為

核心觀念

水準測量往返測的閉合差，是往測與返測高程差相加後的代數差。題目所給限制值為 $12\ \mathrm{mm}\sqrt{K}$，其中 $K$ 為水準線長度，單位為公里。

往返測精度要求通常以「每公里中誤差」表示。若往返測的高程差各自具有相同精度，則往返測高程差之差的中誤差為單程中誤差的 $\sqrt{2}$ 倍。因此，每公里單程高程差的精度要求為：

解題方法

令往測高程差為 $\Delta h_1=12.536\ \mathrm{m}$，返測高程差為 $\Delta h_2=-12.552\ \mathrm{m}$。返測方向與往測相反，因此往返測閉合差為兩者的代數和：

端點間平均高程差，採往返測高程差的加權平均。水準測量的精度與路線長度平方根成反比，故權數與路線長度成反比：

核心觀念

本題考水平角正倒鏡觀測的精度、五測回平均值的精度，以及以 95% 信賴區間表示觀測值較差限制值。

題目所稱「一測回的觀測精度為 $5''$」，視為單一測回觀測值的標準差 $\sigma=5''$。若各測回彼此獨立且精度相同，五測回平均值的標準差為：

常態誤差下，95% 信賴區間採用約 $1.96\sigma$；測量題常以 $2\sigma$ 近似。

解題方法

各測回觀測值相對於真值的 95% 信賴區間半寬為：

因此，若「較差限制值」是指兩個觀測值落在各自 95% 信賴區間兩端時的最大差距，應取區間全寬：