115 高普考普通考試 測量製圖 誤差理論概要 考古題詳解

核心觀念

測量觀測值會受儀器、環境、操作及讀值等因素影響，因此即使觀測同一量，也常出現彼此不一致的數值。測量平差是依據觀測資料、幾何或物理條件，以及觀測精度，求得一組相互協調的最或然值，並估算其精度。

平差計算的主要目的如下：

1. 消除觀測值間的不一致：使平差後的結果符合已知幾何條件、物理條件及控制資料。
2. 求取最或然值：以適當的數學準則，將觀測值的閉合差或矛盾合理分配。
3. 依精度給予適當影響：精度較高的觀測值應有較大的權，平差時對結果的影響也較大。
4. 評估結果精度與可靠性：估算單位權中誤差、未知數中誤差，並檢核觀測資料是否合理。
5. 提供一致的成果：產生可供後續測量、製圖或工程使用的座標、高程、角度、距離等成果。

一般測量平差以最小二乘法為原則。若觀測改正數為 $v_i$，觀測權為 $p_i$，則以使加權改正數平方和最小為準：

$$\sum p_i v_i^2=\min$$

權數通常與觀測值變異數成反比；精度愈高，權數愈大。若觀測值的中誤差為 $\sigma_i$，常用 $p_i \propto 1/\sigma_i^2$ 表示其相對權。

解題方法：測量平差的一般流程

1. 整理觀測資料與已知條件

列出所有觀測值、已知控制資料、觀測單位及必要的幾何或物理條件，並確認各項資料的基準與符號一致。例如，水準網須整理高差觀測與已知高程；導線網須整理角度、距離觀測與已知控制點。

2. 建立觀測模型與未知數

依測量網形及題目所給條件，選定未知數，並寫出觀測值與未知數之間的關係。常見模型有：

• 間接觀測模型：以未知參數表示觀測值，例如由未知點座標計算距離或方向。
• 條件模型：直接以觀測值之間必須滿足的條件式進行平差，例如水準環線高差總和應符合閉合條件。
• 附條件的參數模型：同時有未知參數與條件限制時使用。

模型建立後，將觀測值與近似值代入，整理出觀測方程或條件方程。

3. 線性化並組成矩陣方程

若觀測方程為非線性，先在近似未知數附近作泰勒展開，保留一階項，得到線性化方程。常見的間接觀測方程寫成：

$$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{l}$$

其中，$\boldsymbol{v}$ 為觀測改正數向量，$\boldsymbol{A}$ 為係數矩陣，$\boldsymbol{x}$ 為未知數改正數向量，$\boldsymbol{l}$ 為由觀測值與近似值組成的常數向量。

核心觀念

本題考查野外觀測的品質管制與粗差偵測：如何為觀測量設定容許值，以及設定時應依據什麼原則。容許值是觀測成果的檢核門檻；觀測誤差超過門檻時，應查明原因並複測或重測，不能直接把該成果當作正確值使用。

觀測誤差可概分為：

• 偶然誤差：由多種微小、不可完全控制的因素造成，通常以統計分布描述。
• 系統誤差：由儀器、方法或環境中的固定偏差造成，須校正或改正。
• 粗差：如讀錯、記錯、照準錯誤或操作失誤，通常不能只靠平差消除，應透過檢核發現並排除。

因此，容許值應依觀測量的精度要求、觀測方法、儀器性能及誤差特性訂定，而不是任意指定一個數字。

解題方法與例子

一、以重複觀測差訂定容許值

同一測量量重複觀測兩次，記為 $x_1$、$x_2$，可檢核差值：

$$d = |x_1-x_2|$$

若單次觀測的標準差為 $\sigma$，且兩次觀測相互獨立，則差值的標準差為：

$$\sigma_d=\sqrt{\sigma^2+\sigma^2}=\sqrt{2}\,\sigma$$

在偶然誤差近似常態分布的假設下，可將容許差訂為：

$$T=k\sigma_d=k\sqrt{2}\,\sigma$$

其中 $k$ 依所需的把握程度選定；例如採 $k=3$，即以約三倍標準差作為檢核門檻。若 $d>T$，表示差值不易以一般偶然誤差解釋，應檢查觀測紀錄、儀器與作業程序，必要時重測。

**理由：**重複觀測差能直接反映觀測結果的一致性；以差值的標準差設定門檻，則可使容許值與實際觀測精度相配合。

二、以閉合差或條件方程的殘差訂定容許值

核心觀念

本題考查不同精度觀測值的加權平均。各人的平均值精度不同，標準差越小，平均值越可靠，因此權數取標準差平方的倒數：

$$p_i=\frac{1}{\sigma_i^2}$$

加權平均值為：

$$\bar{x}_w=\frac{\sum p_i x_i}{\sum p_i}$$

若三個平均值彼此獨立，加權平均值的標準差為：

$$\sigma_{\bar{x}_w}=\sqrt{\frac{1}{\sum p_i}}$$

題目給出的標準差是 $2.0$、$1.8$、$2.4$ 公分，計算時統一換成公尺，即 $0.020$、$0.018$、$0.024$ 公尺。

解題方法

令甲、乙、丙的平均值分別為 $x_1,x_2,x_3$，其標準差為 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$。權數為：

$$p_1=\frac{1}{0.020^2}=2500,\qquad p_2=\frac{1}{0.018^2}=3086.4198,\qquad p_3=\frac{1}{0.024^2}=1736.1111$$

先計算權數總和：

$$\sum p_i=2500+3086.4198+1736.1111=7322.5309$$

因此加權平均值為：

核心觀念

平面三角形三內角總和為 $180^\circ$，因此三個角的觀測值須符合條件式：

$$A+B+C=180^\circ$$

題目指定 $A$、$B$ 的真值分別為 $x$、$y$，故 $C=180^\circ-x-y$。這是帶有精確條件的間接觀測平差。依最小二乘原則，使加權殘差平方和

$$v^TPv=\sum_{i=1}^{3}p_i v_i^2$$

達到最小；觀測權比例為 $p_A:p_B:p_C=3:2:1$。

解題方法

先將角度化為秒，方便計算：

$$\begin{aligned} L_A&=54^\circ20'21''=195621'',\\ L_B&=62^\circ29'47''=224987'',\\ L_C&=63^\circ10'25''=227425''. \end{aligned}$$

以 $x,y$ 為未知數，觀測方程式採「觀測值＋改正數＝計算值」的形式：

$$\begin{aligned} 195621''+v_A&=x,\\ 224987''+v_B&=y,\\ 227425''+v_C&=648000''-x-y. \end{aligned}$$

其中 $648000''=180^\circ$。整理得：

$$\begin{aligned} x-195621''&=v_A,\\ y-224987''&=v_B,\\ x+y-(420575'')&=-v_C. \end{aligned}$$

第三式的常數為 $648000''-227425''=420575''$。

三個觀測角總和為 $180^\circ00'33''$，比三角形內角總和多 $33''$，故條件閉合差為

$$w=L_A+L_B+L_C-180^\circ=-33''.$$

令三個改正數的和為 $-33''$，依權數配置，最小化

$$3v_A^2+2v_B^2+v_C^2$$

可得改正數與權數成反比：

$$v_i\propto\frac{1}{p_i}.$$

因此：

$$v_A:v_B:v_C=\frac13:\frac12:1=2:3:6.$$

配合 $v_A+v_B+v_C=-33''$，得：