114 高普考普通考試 測量製圖 誤差理論概要 考古題詳解

114 年・高普考・普通考試・測量製圖
試題代碼 誤差理論概要

第 一 題25 分

已知 a=2x+3y+1a=2x+3y+1、b=5x−6y−1b=5x-6y-1，並已知 σx=±0.3\sigma_x=\pm0.3、σy=±0.1\sigma_y=\pm0.1，且 xx 與 yy 無相關，則 aa 以及 bb 之標準差以及相關係數各為何？

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核心觀念

本題考查線性函數的誤差傳播，以及兩個函數值之間的協方差與相關係數。

若 u=c1x+c2y+ku=c_1x+c_2y+k，其中 kk 為常數，則 kk 不影響標準差；其變異數為

σu2=c12σx2+c22σy2+2c1c2Cov⁡(x,y).\sigma_u^2=c_1^2\sigma_x^2+c_2^2\sigma_y^2+2c_1c_2\operatorname{Cov}(x,y).

題目指出 xx 與 yy 無相關，因此 Cov⁡(x,y)=0\operatorname{Cov}(x,y)=0。兩個線性函數 a,ba,b 的協方差則為

Cov⁡(a,b)=(2)(5)σx2+(3)(−6)σy2.\operatorname{Cov}(a,b) =(2)(5)\sigma_x^2+(3)(-6)\sigma_y^2.

相關係數定義為 ρab=Cov⁡(a,b)/(σaσb)\rho_{ab}=\operatorname{Cov}(a,b)/(\sigma_a\sigma_b)。

解題方法

由 σx=0.3\sigma_x=0.3、σy=0.1\sigma_y=0.1，先計算 aa 的變異數：

σa2=22(0.3)2+32(0.1)2=4(0.09)+9(0.01)=0.45,\sigma_a^2 =2^2(0.3)^2+3^2(0.1)^2 =4(0.09)+9(0.01) =0.45,

因此

σa=0.45≈0.6708.\sigma_a=\sqrt{0.45}\approx 0.6708.

同理，b=5x−6y−1b=5x-6y-1 的變異數為

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第 二 題25 分

請說明在何種條件下，重複觀測某一個物理量多次後取其平均值，該平均值之精度會隨著重複觀測數量增加而提高？

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核心觀念

本題考查重複觀測取平均時，觀測數增加是否能提升平均值精度。此結論成立的關鍵，是觀測誤差必須是隨機誤差，且不同次觀測的誤差具有相同精度、彼此獨立，並且平均誤差為零。系統誤差不會因取平均而消除。

解題方法

設某物理量的真值為 XX，第 ii 次觀測為

xi=X+εi,x_i = X + \varepsilon_i,

其中 εi\varepsilon_i 是第 ii 次觀測的隨機誤差。若各次觀測的誤差滿足

E(εi)=0,Var⁡(εi)=σ2,E(\varepsilon_i)=0,\qquad \operatorname{Var}(\varepsilon_i)=\sigma^2,

而且彼此獨立，則 nn 次觀測的算術平均值為

xˉ=1n∑i=1nxi.\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.

其期望值為

E(xˉ)=1n∑i=1nE(xi)=X,E(\bar{x})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(x_i)=X,

故平均值沒有偏差。又因各次誤差彼此獨立，

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第 三 題25 分

在非線性平差計算問題中，應先選定適當的參數起始值進行迭代後以獲得收斂解，請說明應該如何判斷迭代是否已達收斂？請提出至少兩種方式作為迭代收斂停止條件。

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核心觀念

非線性平差須先將非線性觀測方程在近似參數處線性化，再反覆計算參數改正數，更新參數並重新線性化，直到迭代結果符合預先設定的收斂標準。

令第 kk 次迭代的參數向量為 x(k)\boldsymbol{x}^{(k)}，本次求得的改正數為 Δx(k)\Delta\boldsymbol{x}^{(k)}，則更新式為

x(k+1)=x(k)+Δx(k).\boldsymbol{x}^{(k+1)} =\boldsymbol{x}^{(k)}+\Delta\boldsymbol{x}^{(k)}.

收斂判斷不宜只看單一現象；常見作法是檢查參數改正數是否足夠小，以及觀測殘差或目標函數是否已穩定。

解題方法

方式一：參數改正數小於門檻

計算本次改正數的最大分量，或其範數，並與預先設定的容許值比較：

∥Δx(k)∥<εx.\left\|\Delta\boldsymbol{x}^{(k)}\right\| < \varepsilon_x.

也可逐項檢查：

∣Δxi(k)∣<εi對所有參數 i.\left|\Delta x_i^{(k)}\right| < \varepsilon_i \quad\text{對所有參數 }i.

若所有參數改正量都小於相應門檻，即表示參數更新已很小，可停止迭代。門檻應依參數單位、量級及所需精度設定；不同單位的參數宜採用各自的容許值，或使用尺度化範數。

方式二：觀測殘差或目標函數變化小於門檻

以殘差向量 v(k)\boldsymbol{v}^{(k)} 計算加權平方和：

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第 四 題25 分

於一直線上 aa、bb、cc、dd 四點間進行距離觀測，得觀測值分別為 L1=2.1 mL_1=2.1\ \mathrm{m}、L2=3.6 mL_2=3.6\ \mathrm{m}、L3=4.5 mL_3=4.5\ \mathrm{m}、L4=5.8 mL_4=5.8\ \mathrm{m}、L5=8.0 mL_5=8.0\ \mathrm{m}、L6=10.3 mL_6=10.3\ \mathrm{m}，請以直接觀測平差解算該四點間之距離。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

圖中六個距離觀測值並非彼此獨立，設四點間之真實相鄰距離為

x=ab,y=bc,z=cdx=ab,\qquad y=bc,\qquad z=cd

則各觀測量之函數關係為

L1=x,L2=y,L3=z,L4=x+y,L5=y+z,L6=x+y+z.\begin{aligned} L_1&=x, & L_2&=y, & L_3&=z,\\ L_4&=x+y, & L_5&=y+z, & L_6&=x+y+z. \end{aligned}

題目未給各觀測值之權，採各觀測值等精度、等權之最小平方法進行直接觀測平差。

解題方法

觀測方程式寫成矩陣形式：

l=Ax+v\boldsymbol{l}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{v}

其中

l=[2.13.64.55.88.010.3],x=[xyz],\boldsymbol{l} = \begin{bmatrix} 2.1\\3.6\\4.5\\5.8\\8.0\\10.3 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}, A=[100010001110011111].\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&1&1 \end{bmatrix}.

等權最小平方法之正規方程式為

ATAx^=ATl.\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{A}\hat{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{l}.

計算得

[321242123][x^y^z^]=[18.227.722.8].\begin{bmatrix} 3&2&1\\ 2&4&2\\ 1&2&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{x}\\\hat{y}\\\hat{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18.2\\27.7\\22.8 \end{bmatrix}.

因此：

x^=2.175 m,y^=3.600 m,z^=4.475 m.\hat{x}=2.175\ \mathrm{m},\qquad \hat{y}=3.600\ \mathrm{m},\qquad \hat{z}=4.475\ \mathrm{m}.

四點間各平差後距離為

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