108 高普考普通考試 交通技術 統計學概要 考古題詳解

**核心觀念：**兩者都以長條呈現資料，但直方圖用來呈現數值型資料的分布；長條圖則用來比較不同類別的數量或比例。

**解題技巧：**先看橫軸是否代表連續數值的組距。若是，通常用直方圖；若是彼此分開的類別，通常用長條圖。

（二）及格人數比例

**核心觀念：**將原始分數轉成標準分數，判斷及格門檻距離平均數幾個標準差，再利用鐘形分布的經驗法則估算比例。

解題方法：

平均數為 $\mu=76$，標準差為 $\sigma=8$，及格門檻為 $60$ 分，其標準分數為：

因此，$60$ 分位於平均數下方 $2$ 個標準差。依鐘形分布的經驗法則，約 $95\%$ 的分數落在平均數上下 $2$ 個標準差內；約 $2.5\%$ 落在平均數下方 $2$ 個標準差之外。故超過 $60$ 分的比例約為：

核心觀念

本題評量古典機率與基礎機率運算之核心公理與定理，涵蓋以下關鍵觀念與公式：

1. 事件的獨立性（Independence of Events）： 若事件 $A$ 與事件 $B$ 為相互獨立事件，則兩者同時發生的機率等於各自機率之乘積： $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ 在此前提下，$A$ 與 $B'$（餘事件）、$A'$ 與 $B$、以及 $A'$ 與 $B'$ 亦互為獨立事件。
2. 餘事件定理（Complement Rule）： 任一事件 $A$ 不發生的機率為： $P(A') = 1 - P(A)$
3. 機率加法規則（Addition Rule of Probability / 排容原理）： 對於任意兩事件 $A$ 與 $B$，其聯集（至少一者發生）之機率為兩者個別機率之和減去交集機率： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 若兩事件互斥（Mutually Exclusive, 即 $A \cap B = \emptyset$），則 $P(A \cap B) = 0$，加法規則簡化為 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。
4. 狄摩根定律（De Morgan's Laws）： 兩事件皆不發生之交集等於其聯集之餘事件： $(A \cup B)' = A' \cap B' \implies P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$

解題方法

符號定義與已知條件：

• 設事件 $A$ 代表「獲得公司 $A$ 的面試」，已知 $P(A) = 0.32$。
• 設事件 $B$ 代表「獲得公司 $B$ 的面試」，已知 $P(B) = 0.20$。
• $A$ 與 $B$ 為獨立事件。
• $A'$ 代表「未獲得公司 $A$ 的面試」，$P(A') = 1 - 0.32 = 0.68$。
• $B'$ 代表「未獲得公司 $B$ 的面試」，$P(B') = 1 - 0.20 = 0.80$。

（一）申請者同時獲得兩家公司面試

此事件為兩公司面試之交集，記為 $A \cap B$。 因為事件 $A$ 與事件 $B$ 相互獨立，由獨立事件乘法規則： $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.32 \times 0.20 = 0.064$

（二）申請者至少獲得一家公司的面試

此事件為兩公司面試之聯集，記為 $A \cup B$。 利用機率加法規則求解： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 代入已知值及第（一）小題所得結果： $P(A \cup B) = 0.32 + 0.20 - 0.064 = 0.456$

（三）沒有任何公司提供申請者面試

此事件代表公司 $A$ 與公司 $B$ 皆未錄取面試，記為 $A' \cap B'$（或 $(A \cup B)'$）。 由狄摩根定律與餘事件性質求解： $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$ 代入第（二）小題之結果： $P(A' \cap B') = 1 - 0.456 = 0.544$ （另解：因 $A'$ 與 $B'$ 亦相互獨立，$P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = 0.68 \times 0.80 = 0.544$）

（四）公司 $A$ 沒有提供申請者面試，但公司 $B$ 有提供申請者面試

此事件記為 $A' \cap B$（即屬於 $B$ 但不屬於 $A$ 之差集區域）。 因為 $A$ 與 $B$ 獨立，故其餘事件 $A'$ 與 $B$ 亦相互獨立：

核心觀念

本題檢定「年齡組別」與「是否求償」兩個類別變數是否相互獨立，使用 卡方獨立性檢定。

• 虛無假設 $H_0$：年齡與是否求償相互獨立，兩者無關。
• 對立假設 $H_1$：年齡與是否求償不獨立，兩者有關。
• 顯著水準：$\alpha=0.05$。

各格的期望次數為：

檢定統計量為：

其中 $O_{ij}$ 是觀察次數，$E_{ij}$ 是期望次數。

解題方法與計算

先計算列合計與欄合計：

自由度為：

核心觀念

本題以 7 個部門的女性人數 $X$ 與男性人數 $Y$ 作為 7 組配對資料，使用簡單線性迴歸檢定兩者是否有線性關係，並依迴歸模型估計女性人數為 21 時的男性人數。

檢定斜率的假設為：

若斜率為 0，表示女性人數與男性人數之間沒有線性關係。顯著水準為 $\alpha=0.05$，採雙尾檢定。

解題方法與計算

令 $x_i$ 為第 $i$ 個部門的女性人數，$y_i$ 為男性人數。由題目資料計算：

（一）檢定女性與男性員工人數是否有關係

迴歸斜率估計值為：

截距估計值為：

因此迴歸式為：

由於

斜率檢定統計量可寫成：

自由度為 $n-2=5$。雙尾檢定的臨界值為 $t_{0.025,5}=2.571$。因為