108 高普考普通考試 地震測報 地球物理數學概要 考古題詳解

核心觀念

1. 一階常微分方程式（First-order Ordinary Differential Equation）： 本題為標準的一階常微分方程式初值問題（Initial Value Problem, IVP）。求解目標包含兩步驟：先求出含任意常數 $C$ 的「通解（General Solution）」，再由初始值條件決定特定常數，得到「特解（Particular Solution）」。
2. 導數乘積法則（Product Rule）與正合形式： 由微積分乘積法則可知： $\frac{d}{dx}[x \cdot y] = x \frac{dy}{dx} + \frac{dx}{dx} y = xy' + y$ 因此，凡是出現 $xy' + y$ 形式的項，均可直接視為全微分 $\frac{d}{dx}(xy) = 0$。
3. 可分離變數法（Separation of Variables）： 若將方程式改寫為 $M(x)dx + N(y)dy = 0$ 的形式，可藉由同除以適當項將變數分別集中於等號兩側進行直接積分。

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解題方法

本題有兩種最標準且迅速的切入方式：

方法一：乘積法則觀察法（最速解）

1. 重組微分算子： 觀察微分方程式左式： $xy' + y = 0$ 利用微分乘積法則，左式可直接化為： $\frac{d}{dx}(xy) = 0$

2. 兩邊對 $x$ 積分： $\int \frac{d}{dx}(xy)\,dx = \int 0\,dx$ $xy = C \quad (C \text{ 為積分常數})$ 故通解為： $y(x) = \frac{C}{x}$

3. 代入初始值條件確定常數： 已知 $y(4) = 6$，即當 $x = 4$ 時 $y = 6$： $4 \times 6 = C \implies C = 24$

4. 求得特解： $y(x) = \frac{24}{x} \quad (x > 0)$

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方法二：可分離變數法（正規推導）

1. 分離變數： 將方程式改寫為萊布尼茲標記（Leibniz notation）： $x \frac{dy}{dx} = -y$ 當 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$ 時，移項使變數分離：

核心觀念

本題評量三元一次線性聯立方程組（System of Linear Equations）的求解能力。在工程與地球物理數學中，線性系統是數據逆推、坐標轉換及微分方程離散化的基礎。主要運用之觀念與定理如下：

1. 增廣矩陣與高斯消去法（Augmented Matrix & Gaussian Elimination）： 將線性系統 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 表示為增廣矩陣 $[A|\mathbf{b}]$，透過三種「初等列運算」（列對調、列乘常數、列倍加），將係數矩陣化為列梯形矩陣（Row Echelon Form），再以回代法（Back-Substitution）求出精確解。
2. 唯一解判定準則（克拉瑪法則／矩陣秩）： 當係數矩陣 $A$ 之行列式 $\det(A) \neq 0$（或矩陣之秩 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}([A|\mathbf{b}]) = 3$）時，該系統恰有一組唯一解。

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解題方法

本題採用高斯消去法（配合初等列運算）​求解。此方法在國考閱卷中最具標準性，計算步驟模組化且不易出錯。

原線性系統如下：

$$\begin{cases} 8y + 6z = -4 & \cdots (1) \\ -2x + 4y - 6z = 18 & \cdots (2) \\ x + y - z = 2 & \cdots (3) \end{cases}$$

步驟一：建立增廣矩陣並簡化係數

觀察式 $(1)$ 可同除以 $2$，式 $(2)$ 可同除以 $-2$：

$$\begin{cases} 4y + 3z = -2 \\ x - 2y + 3z = -9 \\ x + y - z = 2 \end{cases}$$

寫成增廣矩陣型式：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 4 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & 3 & -9 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right]$$

步驟二：列對調與消去 $x$ 項

為利於運算，將含樞紐元（pivot）為 $1$ 的第三列與第一列對調（$R_1 \leftrightarrow R_3$）：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 3 & -9 \\ 0 & 4 & 3 & -2 \end{array}\right]$$

執行列運算消去第二列的 $x$ 項（$R_2 - R_1 \to R_2$）：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -3 & 4 & -11 \\ 0 & 4 & 3 & -2 \end{array}\right]$$

核心觀念

本題考查週期為 $T = 2L = 2\pi$（即半週期 $L = \pi$）之週期函數的傅利葉級數（Fourier Series）展開，核心考核重點包含：

1. 傅利葉級數標準形式： 定義於區間 $(-\pi, \pi)$ 且週期為 $2\pi$ 的函數 $f(x)$，其傅利葉級數為： $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right]$ 各係數定義如下（歐拉公式 Euler's Formulas）： $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$ $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$ $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$

2. 函數奇偶性（Parity）與正交性簡化：

• 偶函數性質：若 $f(-x) = f(x)$，則 $f(x)$ 為偶函數。
• 偶函數與奇函數乘積為奇函數，其對稱區間積分為零： $b_n = 0$
• 偶函數與偶函數乘積為偶函數，積分區間可縮減為半區間 $[0, \pi]$ 的兩倍： $a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x)\,dx,\qquad a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$ 此展開式亦稱為傅利葉餘弦級數（Fourier Cosine Series）。

3. 分部積分法（Integration by Parts）： 求 $a_n$ 涉及多項式與三角函數乘積之積分，運用分部積分 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ 或連續微分積分之表格法。

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解題方法

步驟一：判別對稱性

給定函數 $f(x) = x^2$ 於區間 $(-\pi, \pi)$： $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ $f(x)$ 為偶函數。因此其正弦項係數全為零： $b_n = 0,\qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$

步驟二：計算常數項係數 $a_0$

利用偶函數半區間積分公式： $a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x^2\,dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}$ 因此傅利葉級數中的常數項（直流分量）為： $\frac{a_0}{2} = \frac{\pi^2}{3}$

步驟三：計算餘弦項係數 $a_n$

對於 $n \ge 1$： $a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x^2 \cos(nx)\,dx$

採用分部積分法： 設 $u = x^2 \implies du = 2x\,dx$ 設 $dv = \cos(nx)\,dx \implies v = \frac{\sin(nx)}{n}$

第一次分部積分： $\int_0^{\pi} x^2 \cos(nx)\,dx = \left[ \frac{x^2 \sin(nx)}{n} \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \frac{2x \sin(nx)}{n}\,dx$

因 $\sin(n\pi) = 0$ 且 $\sin(0) = 0$，第一項在邊界值均為 $0$： $\int_0^{\pi} x^2 \cos(nx)\,dx = -\frac{2}{n} \int_0^{\pi} x \sin(nx)\,dx$

進行第二次分部積分： 設 $u_1 = x \implies du_1 = dx$ 設 $dv_1 = \sin(nx)\,dx \implies v_1 = -\frac{\cos(nx)}{n}$

$\int_0^{\pi} x \sin(nx)\,dx = \left[ -\frac{x \cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \left(-\frac{\cos(nx)}{n}\right)dx$

核心觀念

1. 幾何級數展開（等比級數公式）： 對於複數 $u$，當 $|u| < 1$ 時，具備基本級數展開式： $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$
2. 泰勒級數（馬克勞林級數）： 以 $z_0 = 0$ 為展開中心的泰勒級數即為馬克勞林級數（Maclaurin series），其形式為： $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$
3. 收斂半徑（Radius of Convergence, $R$）：

• 級數判定法：利用柯西－阿達馬公式（Cauchy-Hadamard Formula）$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ 或由等比級數收斂條件求得。
• 複變函數幾何意義：若 $f(z)$ 為有理函數，其以 $z_0$ 為中心之泰勒級數收斂半徑 $R$，等於展開中心 $z_0$ 至函數「最近奇異點（Singularity，即分母為零的點）」的距離。

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解題方法

本題要求以 $z_0 = 0$ 展開有理函數 $f(z) = \frac{z+2}{1-z^2}$。解題時可直接利用基本幾何級數代入化簡，亦可搭配部分分式展開法。以下示範最直觀且不易出錯的「幾何級數代換法」為主要推導步驟，並輔以「部分分式法」相互佐證。

步驟一：求泰勒級數展開式

將原函數拆解為多項式部分與幾何級數部分的乘積： $f(z) = (z+2) \cdot \frac{1}{1-z^2}$

令 $u = z^2$，當 $|z^2| < 1$（即 $|z| < 1$）時，由標準幾何級數展開式可得： $\frac{1}{1-z^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (z^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} z^{2n} = 1 + z^2 + z^4 + z^6 + \cdots$

將其乘回 $(z+2)$： $f(z) = (z+2)\sum_{n=0}^{\infty} z^{2n} = 2\sum_{n=0}^{\infty} z^{2n} + z\sum_{n=0}^{\infty} z^{2n}$ $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} 2z^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} z^{2n+1}$

展開各階項次觀察： $f(z) = (2 + 2z^2 + 2z^4 + 2z^6 + \cdots) + (z + z^3 + z^5 + z^7 + \cdots)$ $f(z) = 2 + z + 2z^2 + z^3 + 2z^4 + z^5 + \cdots$

若合併寫為單一無窮級數形式 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$，其通項係數 $a_n$ 在偶數項為 $2$、奇數項為 $1$，即： $a_n = \frac{3 + (-1)^n}{2}$ 故泰勒級數可表示為： $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{3 + (-1)^n}{2}\right] z^n$ （或表示為奇偶分項和：$\sum_{n=0}^{\infty} 2z^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} z^{2n+1}$）

核心觀念

本題為向量分析（Vector Calculus）的基本運算題，主要評量四個核心微分算符（Differential Operators）在笛卡兒坐標系（Cartesian coordinates）下的定義與偏微分運算能力：

1. 梯度（Gradient）：作用於純量場，輸出為向量場，表示純量場在空間中變化率最大之方向與量值：

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix}$$

若純量函數僅含二變數 $(x, y)$，則 $z$ 方向偏導數恆為 $0$。

2. 拉普拉斯算子（Laplacian）：純量場梯度的散度（$\nabla^2 = \nabla\cdot\nabla$），為二階純量微分算符：

$$\nabla^2 g = \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial z^2}$$

3. 散度（Divergence）：作用於向量場，輸出為純量場，物理上代表向量場通量向外發散的源（source）或匯（sink）之強度：

$$\nabla\cdot\mathbf{w} = \frac{\partial w_x}{\partial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} + \frac{\partial w_z}{\partial z}$$

4. 旋度（Curl）：作用於向量場，輸出為向量場，物理上代表空間中渦旋（circulation）的旋轉軸與旋轉強度，利用形式行列式（formal determinant）展開：

$$\nabla\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\mathbf{i} - \left(\frac{\partial v_z}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial z}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\mathbf{k}$$

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解題方法

(1) 計算 $\nabla f$

已知純量場為 $f(x, y) = (x-1)(4y-2) = 4xy - 2x - 4y + 2$。

分別計算各空間變數的一階偏導數：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big[(x-1)(4y-2)\big] = 1\cdot(4y-2) = 4y-2$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big[(x-1)(4y-2)\big] = (x-1)\cdot 4 = 4x-4$$ $$\frac{\partial f}{\partial z} = 0$$

若以題幹採用的列向量（Row vector）形式表示：

$$\nabla f = \begin{bmatrix} 4y-2 & 4x-4 & 0 \end{bmatrix}$$

（若視為二維平面純量場，則記為 $\begin{bmatrix} 4y-2 & 4x-4 \end{bmatrix}$ 或 $(4y-2)\mathbf{i} + (4x-4)\mathbf{j}$）。

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(2) 計算 $\nabla^2 g$

已知純量場為 $g(x, y) = \cos^2 x + \sin^2 y$。

依序求各變數的一階與二階偏導數： 對 $x$ 偏微：

$$\frac{\partial g}{\partial x} = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x = -\sin(2x)$$ $$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\big[-\sin(2x)\big] = -2\cos(2x)$$

對 $y$ 偏微：

$$\frac{\partial g}{\partial y} = 2\sin y \cdot \cos y = \sin(2y)$$ $$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\big[\sin(2y)\big] = 2\cos(2y)$$

對 $z$ 偏微：

$$\frac{\partial^2 g}{\partial z^2} = 0$$

將二階導數相加：

$$\nabla^2 g = \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial z^2} = -2\cos(2x) + 2\cos(2y) = 2\big(\cos(2y) - \cos(2x)\big)$$

亦可寫為未化簡為倍角公式之恆等形式：

$$\nabla^2 g = 2(\cos^2 y - \sin^2 y) - 2(\cos^2 x - \sin^2 x)$$

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(3) 計算 $\nabla\cdot\mathbf{w}$

已知向量場分量為：

$$\mathbf{w} = \begin{bmatrix} w_x & w_y & w_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2yz & xy^2z & xyz^2 \end{bmatrix}$$

計算各分量對相應變數之偏導數：

$$\frac{\partial w_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2yz) = 2xyz$$