107 高普考普通考試 地震測報 地球物理數學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查數列規律分析與分段定義函數在地球物理／天文經驗定律中的數學建構：

1. 等比數列的通項公式：首項為 $a$、公比為 $r$ 的等比數列，其第 $k$ 項為 $a \cdot r^{k-1}$。
2. 提丟斯－波德定律（Titius-Bode Law）：十八世紀提出的行星距離經驗公式，描述行星距太陽之平均距離（以天文單位 $\text{AU}$ 為單位）與行星軌道序數的幾何級數關係。
3. 初值斷點與分段函數：水星（$n=1$）為該數列的初始條件，數值不滿足後續項的倍數規律，需以分段函數或特殊指標形式予以精確定義。

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解題方法

步驟一：分析基底數列之數學規律

題目給定初始基底數列： $0,\ 0.3,\ 0.6,\ 1.2,\ 2.4,\ 4.8,\ 9.6,\ 19.2,\ 38.4,\ \ldots$

令此數列為 $a(n)$，其中 $n$ 為行星次序（$n = 1, 2, 3, \ldots$）：

• $n = 1$（水星）：$a(1) = 0$
• $n = 2$（金星）：$a(2) = 0.3 = 0.3 \times 2^0$
• $n = 3$（地球）：$a(3) = 0.6 = 0.3 \times 2^1$
• $n = 4$（火星）：$a(4) = 1.2 = 0.3 \times 2^2$
• $n = 5$（小行星帶）：$a(5) = 2.4 = 0.3 \times 2^3$
• $n = 6$（木星）：$a(6) = 4.8 = 0.3 \times 2^4$

觀察可知，自第二項（$n \ge 2$）開始，每一項均為前一項的 $2$ 倍，形成公比 $r = 2$ 的等比數列： $a(n) = 0.3 \times 2^{n-2} \quad (n \ge 2)$

步驟二：疊加常數項（平移 $0.4$）

依題意，將數列每一項加大 $0.4$，得到表示行星距離的數列 $d(n)$：

• $n = 1$ 時： $d(1) = a(1) + 0.4 = 0 + 0.4 = 0.4$
• $n \ge 2$ 時：

核心觀念

本題考查向量微積分（Vector Calculus）在質點運動學中的應用，核心概念與公式如下：

1. 質點位置、速度與加速度的微分與積分關係： 若質點在二維平面上的位置向量為 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$，其速度向量 $\mathbf{v}(t)$ 與加速度向量 $\mathbf{a}(t)$ 分別為位置向量對時間的一階與二階導數： $\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt}$ $\mathbf{a}(t) = \mathbf{r}''(t) = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}$ 反之，已知加速度向量時，位置向量可由兩次不定積分求得： $\mathbf{r}(t) = \iint \mathbf{r}''(t) \, dt \, dt$

2. 指數函數積分公式： $\int e^{kt} \, dt = \frac{1}{k} e^{kt} + C \quad (k \neq 0)$

3. 歐幾里得距離公式： 在二維卡氏座標系中，點 $(x, y)$ 相對座標原點 $(0, 0)$ 的距離 $d$ 為位置向量的長度（範數）： $d = \|\mathbf{r}(t)\| = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2}$

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解題方法

題目給定質點加速度向量函數為： $\mathbf{r}''(t) = (e^t, 4e^{2t})$

此向量可分解為 $x$ 與 $y$ 兩個互相獨立的分量處理： $x''(t) = e^t$ $y''(t) = 4e^{2t}$

步驟一：求速度向量 $\mathbf{r}'(t)$

分別對 $t$ 進行第一次積分： $x'(t) = \int x''(t) \, dt = \int e^t \, dt = e^t + C_1$ $y'(t) = \int y''(t) \, dt = \int 4e^{2t} \, dt = 4 \cdot \frac{1}{2}e^{2t} + C_2 = 2e^{2t} + C_2$ 其中 $C_1, C_2$ 為初次積分常數。

步驟二：求位置向量 $\mathbf{r}(t)$

分別對 $t$ 進行第二次積分： $x(t) = \int x'(t) \, dt = \int (e^t + C_1) \, dt = e^t + C_1 t + D_1$ $y(t) = \int y'(t) \, dt = \int (2e^{2t} + C_2) \, dt = 2 \cdot \frac{1}{2}e^{2t} + C_2 t + D_2 = e^{2t} + C_2 t + D_2$

核心觀念

1. 基本函數積分公式： 對於 $x > 0$，反導函數為自然對數函數： $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C = \log_e(x) + C$
2. 微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）： 若 $F'(x) = f(x)$，則定積分計算公式為： $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
3. 對數基底的辨識與基本性質：

• 微積分中涉及之對數預設為自然對數（以常數 $e \approx 2.71828$ 為底，記為 $\ln x$ 或 $\log_e(x)$），而非以 10 為底之常用對數 $\log_{10}(x)$。
• 對數基本值：$\ln 1 = 0$。

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解題方法

步驟一：求出不定積分（反導函數） 在積分區間 $[1, 4]$ 內，$x > 0$，反導函數為： $F(x) = \ln x = \log_e(x)$

步驟二：套用微積分基本定理代入上下限 $\int_1^4 \frac{1}{x}\,dx = \Big[\log_e(x)\Big]_1^4 = \log_e(4) - \log_e(1)$

核心觀念

本題考查微積分中定積分的對稱性與函數奇偶性，並可延伸至傅立葉級數（Fourier Series）餘弦係數的本質觀念：

1. 定積分對稱區間性質： 若函數 $f(x)$ 為奇函數（即滿足 $f(-x) = -f(x)$），且積分區間對稱於原點 $[-L, L]$，則該定積分恆為零： $\int_{-L}^{L} f(x)\,dx = 0$
2. 函數積的奇偶性：

• 奇函數與偶函數相乘，其結果仍為奇函數： $\text{奇函數} \times \text{偶函數} = \text{奇函數}$

3. 傅立葉級數係數特性： 在對稱區間 $[-L, L]$ 上展開函數 $f(x)$ 時，若 $f(x)$ 為奇函數，則其傅立葉展開式僅包含正弦項（$\sin$），其所有餘弦係數 $a_n$（包含常數項 $a_0$）皆恆等於零。

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解題方法

本題可透過「觀念判斷法（奇偶性性質）」直接求解，亦可透過「分部積分法」進行嚴謹驗算。

方法一：利用函數奇偶性判斷（最精簡標準解法）

設被積函數為： $f(x) = x\cos\left(\frac{n\pi}{2}x\right)$

檢驗 $f(x)$ 在區間 $[-1, 1]$ 上的奇偶性： $f(-x) = (-x)\cos\left(\frac{n\pi}{2}(-x)\right)$

由於餘弦函數 $\cos(\theta)$ 為偶函數，滿足 $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$，故： $f(-x) = -x\cos\left(\frac{n\pi}{2}x\right) = -f(x)$

證明 $f(x)$ 為奇函數。

因為積分區間為 $[-1, 1]$，對稱於原點，根據奇函數在對稱區間上的定積分性質： $\int_{-1}^{1} x\cos\left(\frac{n\pi}{2}x\right)\,dx = 0$

因此，對任意實數或整數 $n$，皆有： $a_n = \frac{1}{2} \times 0 = 0$

特別地，當 $n = 5$ 與 $n = 7$ 時： $a_5 = 0$ $a_7 = 0$

故所求為： $a_5 + a_7 = 0 + 0 = 0$

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方法二：利用分部積分法計算（推導驗算）

令 $k = \frac{n\pi}{2} \neq 0$。對不定積分 $\int x\cos(kx)\,dx$ 使用分部積分法 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$：

設：

• $u = x \implies du = dx$
• $dv = \cos(kx)\,dx \implies v = \frac{1}{k}\sin(kx)$

核心觀念

1. 勘根定理（Intermediate Value Theorem / 介值定理應用）： 設實係數多項式函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續。若 $f(a) \cdot f(b) < 0$（即兩端點函數值異號），則在開區間 $(a, b)$ 內至少存在一個實數 $c$，使得 $f(c) = 0$。
2. 代數基本定理與實根完備性： 一元三次實係數多項式在複數系中恰有 3 個根。若能在三個互不重疊的開區間中各找到一個實根，則此方程式的 3 個根全為相異實根，且已全數找出。
3. 區間精確度要求： 題目規定「精確度不得超過整數絕對值 $1$」，意指所求之各零位所在區間長度 $|b - a| \le 1$。採用連續相鄰整數作為區間端點（區間長度為 $1$），即可滿足題意。

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解題方法

設三次多項式函數為： $f(x) = 8x^3 - 20x^2 - 2x + 5$

$f(x)$ 為實係數多項式，在整個實數軸 $\mathbb{R}$ 上處處連續。本題採用連續函數數值勘根法（整數點檢驗法）尋找符號變換點：

步驟一：計算關鍵相鄰整數之函數值

• 當 $x = -1$ 時： $f(-1) = 8(-1)^3 - 20(-1)^2 - 2(-1) + 5 = -8 - 20 + 2 + 5 = -21 < 0$
• 當 $x = 0$ 時： $f(0) = 8(0)^3 - 20(0)^2 - 2(0) + 5 = 5 > 0$
• 當 $x = 1$ 時： $f(1) = 8(1)^3 - 20(1)^2 - 2(1) + 5 = 8 - 20 - 2 + 5 = -9 < 0$
• 當 $x = 2$ 時： $f(2) = 8(2)^3 - 20(2)^2 - 2(2) + 5 = 64 - 80 - 4 + 5 = -15 < 0$
• 當 $x = 3$ 時： $f(3) = 8(3)^3 - 20(3)^2 - 2(3) + 5 = 216 - 180 - 6 + 5 = 35 > 0$

步驟二：由勘根定理判別各零位所在區間

1. 由於 $f(-1) < 0$ 且 $f(0) > 0$（$f(-1) \cdot f(0) < 0$），依勘根定理，在開區間 $(-1, 0)$ 內至少存在一實根 $x_1$。
2. 由於 $f(0) > 0$ 且 $f(1) < 0$（$f(0) \cdot f(1) < 0$），依勘根定理，在開區間 $(0, 1)$ 內至少存在一實根 $x_2$。

核心觀念

本題考查向量微積分中直角坐標系（笛卡兒坐標系）下的**散度（Divergence）**運算。

1. 散度定義： 設三維空間中的向量場為 $\mathbf{T}(x,y,z) = (T_x, T_y, T_z) = T_x\mathbf{i} + T_y\mathbf{j} + T_z\mathbf{k}$，其散度記為 $\text{div}\,\mathbf{T}$ 或 $\nabla \cdot \mathbf{T}$，定義為 Del 運算子（$\nabla$）與向量場 $\mathbf{T}$ 的內積： $\nabla \cdot \mathbf{T} = \left(\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}\right) \cdot \left(T_x\mathbf{i} + T_y\mathbf{j} + T_z\mathbf{k}\right) = \frac{\partial T_x}{\partial x} + \frac{\partial T_y}{\partial y} + \frac{\partial T_z}{\partial z}$
2. 物理意義： 散度表示該點單位體積向外發散的淨通量率（通量密度）。在地球物理學中，散度運算廣泛應用於連續方程式、重力位場之高斯定律（$\nabla \cdot \mathbf{g} = -4\pi G\rho$）以及彈性力學中的體積膨脹量（$\theta = \nabla \cdot \mathbf{u}$）。散度的運算結果為純量場。

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解題方法

1. 提取向量各分量： 根據題目給定之向量 $\mathbf{T} = (x^2, y, 2z)$：

• $x$ 方向分量：$T_x = x^2$
• $y$ 方向分量：$T_y = y$
• $z$ 方向分量：$T_z = 2z$

核心觀念

本題評量複變數函數與**歐拉公式（Euler's formula）**的基本運算，此函數型態亦是地球物理信號處理中方波（Boxcar function）進行傅立葉轉換（Fourier Transform）時所得的 $\text{sinc}$ 函數原型。涉及的核心公式如下：

1. 歐拉公式與特殊角取值： $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 當 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 時： $e^{i\pi/2} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i = i$ 當 $\theta = -\frac{\pi}{2}$ 時： $e^{-i\pi/2} = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 - i = -i$

2. 正弦函數的複數指數定義： $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \implies e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin\theta$

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解題方法

方法一：直接代入數值計算（最直接迅速）

將 $\omega = \pi$ 代入題目給定的函數式 $f(\omega)$：

$f(\pi) = \frac{1}{-i\pi} \left( e^{-i\pi/2} - e^{i\pi/2} \right)$

利用複數指數在單位圓上的值：

• $e^{-i\pi/2} = -i$
• $e^{i\pi/2} = i$

將兩項代入括號中： $e^{-i\pi/2} - e^{i\pi/2} = (-i) - (i) = -2i$

再乘上分母項： $f(\pi) = \frac{-2i}{-i\pi} = \frac{-2i}{-i\pi} = \frac{2}{\pi}$

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方法二：化為三角函數形式後求值（具信號分析物理意義）

利用正弦函數定義改寫括號內容： $e^{-i\omega/2} - e^{i\omega/2} = -\left(e^{i\omega/2} - e^{-i\omega/2}\right) = -2i\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)$