115 高普考普通考試 地震測報 地球物理數學概要 考古題詳解

115 年・高普考・普通考試・地震測報
試題代碼 地球物理數學概要

第 一 題

在地球物理線性反演（逆推）問題中，觀測數據向量 d\mathbf{d} 與物理模型向量 m\mathbf{m} 有下列關係：

d=Gm\mathbf{d}=\mathbf{Gm}

上式中，G\mathbf{G} 稱為核矩陣（kernel matrix），為連結模型與數據之線性數學算子，而 m\mathbf{m} 為待求的物理模型參數向量。請回答下列問題：

(一) 若 d=Gm\mathbf{d}=\mathbf{Gm} 為超定問題（over-determined problem），亦即觀測數據 d\mathbf{d} 的維度大於地下模型 m\mathbf{m} 的維度，請利用最小平方法（least squares method）推導其估計解 m^\hat{\mathbf{m}} 的矩陣表達式。（15 分）

(二) 在實際地球物理反演中，如地震波速層析成像（Tomography）或有限斷層滑移分佈反演（Finite-fault inversion），核矩陣 G\mathbf{G} 經常呈現嚴重的病態特徵。為了避免反演時產生估計解的劇烈變動，實務上常引入一平滑矩陣（smoothing matrix）L\mathbf{L}，以約束相鄰模型參數間的平滑度。請利用廣義阻尼最小平方法（generalized damped least squares method）推導其估計解 m^\hat{\mathbf{m}} 的矩陣表達式。（10 分）

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核心觀念

本題考線性反演的最小平方法，以及加入平滑約束後的廣義阻尼最小平方法。設 G∈RN×M\mathbf{G}\in\mathbb{R}^{N\times M}、d∈RN\mathbf{d}\in\mathbb{R}^{N}、m∈RM\mathbf{m}\in\mathbb{R}^{M}，超定問題表示 N>MN>M。由於資料通常無法完全符合 d=Gm\mathbf{d}=\mathbf{Gm}，最小平方法以殘差平方和最小為原則；廣義阻尼最小平方法則在資料擬合之外，加入模型平滑度的懲罰項。

（一）超定問題的最小平方法

定義殘差向量為 r=d−Gm\mathbf{r}=\mathbf{d}-\mathbf{Gm}，最小平方法選擇模型 m\mathbf{m}，使殘差平方和最小：

Φ(m)=∥d−Gm∥22=(d−Gm)T(d−Gm).\Phi(\mathbf{m}) =\|\mathbf{d}-\mathbf{Gm}\|_2^2 =(\mathbf{d}-\mathbf{Gm})^{T}(\mathbf{d}-\mathbf{Gm}).

對 m\mathbf{m} 微分並令梯度為零：

∇mΦ=−2GT(d−Gm)=0.\nabla_{\mathbf{m}}\Phi =-2\mathbf{G}^{T}(\mathbf{d}-\mathbf{Gm})=\mathbf{0}.

整理得到正規方程：

GTGm^=GTd.\mathbf{G}^{T}\mathbf{G}\hat{\mathbf{m}} =\mathbf{G}^{T}\mathbf{d}.

若 G\mathbf{G} 的列滿秩，使 GTG\mathbf{G}^{T}\mathbf{G} 可逆，則估計解為：

m^=(GTG)−1GTd.\boxed{\hat{\mathbf{m}} =(\mathbf{G}^{T}\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^{T}\mathbf{d}}.

此解等價於將觀測數據投影到 G\mathbf{G} 的欄空間，使殘差與欄空間正交，即 GTr=0\mathbf{G}^{T}\mathbf{r}=\mathbf{0}。若 G\mathbf{G} 不具滿列秩，則正規方程的逆矩陣不存在，應以廣義逆或其他正則化方法處理。

（二）廣義阻尼最小平方法

平滑矩陣 L\mathbf{L} 用來衡量模型參數間的變化；例如，L\mathbf{L} 可採用相鄰參數差分，使 ∥Lm∥22\|\mathbf{L}\mathbf{m}\|_2^2 反映模型的粗糙程度。令平滑權重為 λ>0\lambda>0，最小化下列目標函數：

Φ(m)=∥d−Gm∥22+λ2∥Lm∥22.\Phi(\mathbf{m}) =\|\mathbf{d}-\mathbf{Gm}\|_2^2 +\lambda^2\|\mathbf{L}\mathbf{m}\|_2^2.

第一項要求模型符合觀測數據；第二項懲罰模型不平滑的變化。展開並對 m\mathbf{m} 微分：

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第 二 題

若一解析函數（analytic function）f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 處展開為泰勒級數（Taylor series），可表示為：

f(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+a3(x−x0)3+⋯+an(x−x0)n+⋯f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots

上式中之 a0,a1,a2,a3,…,an,…a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots 為該泰勒級數之展開係數。請回答下列問題：

(一) 請利用尋求待定係數之思路（推導各階係數與函數導數之關係），透過逐項比較的方法，證明其一般項係數如下：（10 分）

an=f(n)(x0)n!a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}

(二) 請寫出馬克勞林級數（Maclaurin series）的形式。（5 分）

(三) 請推導函數 f(x)=ln⁡(1+x)f(x)=\ln(1+x) 的馬克勞林級數展開式，並明確寫出其級數的一般項（第 nn 項）表達式（不用考慮該級數的收斂區間）。（10 分）

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核心觀念

泰勒級數是以 x0x_0 為中心的冪級數表示。若 ff 在 x0x_0 附近可展開為

f(x)=∑k=0∞ak(x−x0)k,f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k,

逐項微分後代入 x=x0x=x_0，即可依序求出各階係數。馬克勞林級數則是以 00 為展開中心的泰勒級數。

（一）泰勒級數係數

令 h=x−x0h=x-x_0，則

f(x0+h)=a0+a1h+a2h2+a3h3+⋯ .f(x_0+h)=a_0+a_1h+a_2h^2+a_3h^3+\cdots.

先令 h=0h=0，得

f(x0)=a0,f(x_0)=a_0,

因此 a0=f(x0)a_0=f(x_0)。

對 hh 微分一次：

f′(x0+h)=a1+2a2h+3a3h2+⋯ .f'(x_0+h)=a_1+2a_2h+3a_3h^2+\cdots.

令 h=0h=0，得 f′(x0)=a1f'(x_0)=a_1。

再微分一次：

f′′(x0+h)=2!a2+3⋅2a3h+4⋅3a4h2+⋯ ,f''(x_0+h)=2!a_2+3\cdot2a_3h+4\cdot3a_4h^2+\cdots,

故令 h=0h=0，得 f′′(x0)=2!a2f''(x_0)=2!a_2。

依此類推，對原級數逐項微分 nn 次後，在 h=0h=0 時，含 hh 的高次項都為零，只留下第 nn 次項：

f(n)(x0)=n!an.f^{(n)}(x_0)=n!a_n.

所以一般項係數為

an=f(n)(x0)n!.\boxed{a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}}.

（二）馬克勞林級數形式

將泰勒級數的展開中心設為 x0=0x_0=0，得到

f(x)=∑n=0∞f(n)(0)n!xn=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯.\boxed{ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n =f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots }.

（三）f(x)=ln⁡(1+x)f(x)=\ln(1+x) 的馬克勞林級數

先求導數：

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第 三 題

考慮地球岩石圈的熱傳導問題，令地層密度為 ρ\rho、比熱為 cc、熱導率（thermal conductivity）為 kk。隨深度 zz 的一維熱傳導方程式為：

ρc∂T(z,t)∂t=k∂2T(z,t)∂z2\rho c\frac{\partial T(z,t)}{\partial t}=k\frac{\partial^2T(z,t)}{\partial z^2}

上式中之 T(z,t)T(z,t) 表示沿 zz 方向隨時間 tt 之溫度變化。請回答下列問題：

(一) 請利用傅立葉熱傳導定律（Fourier's Law of Heat Conduction）與能量守恆原則，推導出此一維熱傳導方程式（如上式）。（5 分）

(二) 請利用分離變數法（separation of variables）求解此一維熱傳導方程式，並寫出其一般解（general solution）的通式。（10 分）

(三) 考慮溫度只在垂直方向（zz 方向）變化，且內部有熱源 HH（單位體積之產熱率）。若地熱場達到穩定狀態（steady-state），即 ∂T∂t=0\frac{\partial T}{\partial t}=0，則其熱導方程式為：

d2Tdz2=−Hk\frac{d^2T}{dz^2}=-\frac{H}{k}

已知地表（z=0z=0）處之溫度與熱流觀測值分別滿足：

T(0)=T0T(0)=T_0

與

q(0)=−kdTdz∣z=0=q0q(0)=-k\left.\frac{dT}{dz}\right|_{z=0}=q_0

（地表的熱流值），請推導出地溫分佈 T(z)T(z) 為何？

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核心觀念

本題考查傅立葉熱傳導定律、能量守恆，以及用分離變數法求解一維熱方程式。

採用 zz 軸正向向下的座標約定。令熱流密度 qq 的正向也指向 +z+z，則傅立葉定律為

q=−k∂T∂z,q=-k\frac{\partial T}{\partial z},

負號表示熱流由高溫流向低溫。熱擴散率定義為

α=kρc.\alpha=\frac{k}{\rho c}.

(一) 由傅立葉定律與能量守恆推導熱方程式

取厚度為 dzdz、單位水平面積的薄層。流入薄層的熱量與流出熱量之差，等於薄層內能的增加率：

q(z,t)−q(z+dz,t)=ρc dz ∂T∂t.q(z,t)-q(z+dz,t) = \rho c\,dz\,\frac{\partial T}{\partial t}.

將左側除以 dzdz 並取極限，得到

−∂q∂z=ρc∂T∂t,-\frac{\partial q}{\partial z} = \rho c\frac{\partial T}{\partial t},

亦即

∂q∂z=−ρc∂T∂t.\frac{\partial q}{\partial z} = -\rho c\frac{\partial T}{\partial t}.

代入傅立葉定律 q=−k ∂T/∂zq=-k\,\partial T/\partial z。若 kk 為常數，則

−∂∂z(k∂T∂z)=ρc∂T∂t,-\frac{\partial}{\partial z} \left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right) = \rho c\frac{\partial T}{\partial t},

因此

ρc∂T∂t=k∂2T∂z2.\boxed{\rho c\frac{\partial T}{\partial t} =k\frac{\partial^2T}{\partial z^2}}.

(二) 分離變數法與一般解

先令 T(z,t)=X(z)τ(t)T(z,t)=X(z)\tau(t)，代入熱方程式並除以 XτX\tau：

1ατ′τ=X′′X=−λ.\frac{1}{\alpha}\frac{\tau'}{\tau} = \frac{X''}{X} =-\lambda.

其中 λ\lambda 為分離常數，因此得到兩個常微分方程：

τ′+αλτ=0,X′′+λX=0.\tau'+\alpha\lambda\tau=0, \qquad X''+\lambda X=0.

當 λ>0\lambda>0 時，令 μ=λ\mu=\sqrt{\lambda}，可得

τ(t)=e−αμ2t,X(z)=Acos⁡(μz)+Bsin⁡(μz).\tau(t)=e^{-\alpha\mu^2t}, \qquad X(z)=A\cos(\mu z)+B\sin(\mu z).

故一個分離解為

Tμ(z,t)=[Acos⁡(μz)+Bsin⁡(μz)]e−αμ2t.T_\mu(z,t) = \bigl[A\cos(\mu z)+B\sin(\mu z)\bigr]e^{-\alpha\mu^2t}.
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第 四 題

地震定位是地震學研究的基本核心問題之一。令某一地震的真實地震定位參數為：

m=[x,y,z,t0]\mathbf{m}=[x,y,z,t_0]

其中 (x,y,z)(x,y,z) 為震源的三維空間座標，t0t_0 是發震時間。現有若干地震測站，而第 ii 個測站的座標為 (xi,yi,zi)(x_i,y_i,z_i)，其記錄到 P 波的到時（arrival time）為 tit_i，表示如下：

ti(x,y,z,t0)=t0+Ti(x,y,z)t_i(x,y,z,t_0)=t_0+T_i(x,y,z)

其中 TiT_i 是震源到第 ii 個測站的 P 波走時。請回答下列問題：

(一) 由於到時 tit_i 與地震定位參數的關係是非線性問題，若給一初始猜測之震源參數為：

m0=[x0,y0,z0,t0,0]\mathbf{m}_0=[x_0,y_0,z_0,t_{0,0}]

請利用蓋格法（Geiger's method）將之轉換成到時殘差 Δti\Delta t_i 與地震定位參數修正量 (Δx,Δy,Δz,Δt0)(\Delta x,\Delta y,\Delta z,\Delta t_0) 的線性方程表達式。（10 分）

(二) 承(一)，將若干個測站的到時殘差與地震定位參數修正量線性方程組改寫成矩陣形式，表示為：

Δt=GΔm\Delta\mathbf{t}=\mathbf{G}\Delta\mathbf{m}

其中 G\mathbf{G} 稱為核矩陣（kernel matrix），Δm=[Δx,Δy,Δz,Δt0]T\Delta\mathbf{m}=[\Delta x,\Delta y,\Delta z,\Delta t_0]^{T} 為地震定位參數修正量向量，Δt\Delta\mathbf{t} 為各測站的到時殘差向量。若 G\mathbf{G} 為病態矩陣（ill-conditioned matrix），請利用阻尼最小平方法（damped least squares method）推導其估計解 Δm\Delta\mathbf{m} 的矩陣表達式。（15 分）

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核心觀念

蓋格法（Geiger’s method）以初始震源位置與發震時間為基準，將非線性的到時函數在該初始值附近作一階泰勒展開，得到到時殘差與震源參數修正量之間的線性關係。對多個測站建立線性方程組後，可用最小平方法估計修正量；若核矩陣病態，則加入阻尼項以提升解的穩定性。

解題方法

（一）到時殘差的線性化

第 ii 個測站的理論到時為

ti(m)=t0+Ti(x,y,z).t_i(\mathbf m)=t_0+T_i(x,y,z).

在初始參數 m0=[x0,y0,z0,t0,0]\mathbf m_0=[x_0,y_0,z_0,t_{0,0}] 處，計算預測到時

ti(0)=t0,0+Ti(x0,y0,z0).t_i^{(0)}=t_{0,0}+T_i(x_0,y_0,z_0).

定義到時殘差為「觀測到時減初始模型預測到時」：

Δti=tiobs−ti(0).\Delta t_i=t_i^{\mathrm{obs}}-t_i^{(0)}.

以初始參數為展開點作一階泰勒展開：

ti(m0+Δm)≈ti(m0)+∂ti∂xΔx+∂ti∂yΔy+∂ti∂zΔz+∂ti∂t0Δt0.t_i(\mathbf m_0+\Delta\mathbf m) \approx t_i(\mathbf m_0) +\frac{\partial t_i}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial t_i}{\partial y}\Delta y +\frac{\partial t_i}{\partial z}\Delta z +\frac{\partial t_i}{\partial t_0}\Delta t_0.

因為 ∂ti/∂t0=1\partial t_i/\partial t_0=1，且走時只依賴震源空間座標，所以線性方程為

Δti=∂Ti∂x∣m0Δx+∂Ti∂y∣m0Δy+∂Ti∂z∣m0Δz+Δt0.\Delta t_i = \left.\frac{\partial T_i}{\partial x}\right|_{\mathbf m_0}\Delta x +\left.\frac{\partial T_i}{\partial y}\right|_{\mathbf m_0}\Delta y +\left.\frac{\partial T_i}{\partial z}\right|_{\mathbf m_0}\Delta z +\Delta t_0.

這就是單一測站對震源位置與發震時間修正量所提供的線性約束。

（二）阻尼最小平方法

將 NN 個測站的線性方程疊合，可得

Δt=GΔm,\Delta\mathbf t=\mathbf G\Delta\mathbf m,

其中

Δt=[Δt1Δt2⋮ΔtN],Δm=[ΔxΔyΔzΔt0].\Delta\mathbf t= \begin{bmatrix} \Delta t_1\\ \Delta t_2\\ \vdots\\ \Delta t_N \end{bmatrix}, \qquad \Delta\mathbf m= \begin{bmatrix} \Delta x\\ \Delta y\\ \Delta z\\ \Delta t_0 \end{bmatrix}.

核矩陣各列為相應測站的到時偏導數：

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