113 高普考普通考試 地震測報 地球物理數學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查球座標中的體積微分、分層密度模型，以及轉動慣量定義。

地球模型為：

其中地核半徑為 $r_1$，地球最大半徑為 $r_2$。以地球自轉軸為極軸，球座標中的體積微分為

繞自轉軸旋轉一整圈後，方位角 $\phi$ 的積分結果為 $2\pi$。

（一）質量微分的幾何表示

在半徑 $r$ 到 $r+dr$、極角 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的薄小區域中：

• 徑向厚度為 $dr$；
• 子午線方向弧長為 $r\,d\theta$；
• 繞自轉軸旋轉所形成的圓周半徑為 $r\sin\theta$；
• 圓周長為 $2\pi r\sin\theta$。

因此，該微小環帶體積為

乘上密度 $\rho(r)$，得到質量微分：

積分範圍為

圖形應表示：以自轉軸為中心軸，在半徑 $r$、極角 $\theta$ 處取一個厚度為 $dr$、角寬為 $d\theta$ 的微小環帶。

（二）以積分法求地球質量

地球總質量為

先對角度積分：

因此

依地核與地函分段積分：

計算得

所以

（三）以積分法求地球轉動慣量

質點到地球自轉軸的距離為

核心觀念

本題考一維熱方程式在兩端固定為零的邊界條件下，如何用分離變數法與傅立葉正弦級數求解。零邊界條件決定空間特徵函數為 $\sin(n\pi x/L)$，而熱擴散會使各模態隨時間按指數衰減。

解題方法

令 $u(x,t)=X(x)T(t)$，代入方程式 $u_t=\alpha u_{xx}$：

因此得到

邊界條件 $u(0,t)=u(L,t)=0$ 要求 $X(0)=X(L)=0$。非零解須有 $\lambda>0$，令 $\sqrt{\lambda}=k$，則

由 $X(0)=0$ 得 $A=0$；再由 $X(L)=0$ 得 $\sin(kL)=0$，故

相應的空間與時間解為

利用線性疊加，通解寫成

令 $t=0$，以初始條件 $u(x,0)=f(x)$ 決定係數：

核心觀念

地溫變化最快的方向由溫度函數的梯度決定。對純量場 $T(x,y,z)$ 而言，梯度 $\nabla T$ 指向函數增加最快的方向；其大小 $|\nabla T|$ 則是該方向上的最大方向導數，也就是最大變化率。

解題方法

已知

先分別計算三個偏導數：

因此

核心觀念

本題考查二維應力張量、座標軸旋轉，以及主應力的求法。

採用「張應力為正、壓應力為負」的符號 convention。圖中：

• $x$ 軸方向為張應力 $9$；
• $y$ 軸方向為壓應力 $3$，故 $\sigma_y=-3$；
• 垂直於 $x$ 軸的面上剪應力為 $8$，依圖示方向取 $\tau_{xy}=8$。

（一）應力張量矩陣

二維應力張量為

由力矩平衡可知剪應力互等，即

又因為 $x$ 方向為張應力 $9$，$y$ 方向為壓應力 $-3$，因此

（二）使剪切應力變為零的旋轉角度

當座標軸逆時針旋轉 $\theta$ 後，新座標系中的剪應力為

令剪應力為零：

整理得

因此

所以

此角度代表新的 $x'$ 軸由原 $x$ 軸逆時針旋轉約 $26.565^\circ$。另一組互相垂直的主軸方向為

（三）剪切應力為零時的垂直應力

剪切應力為零的面即為主平面，其垂直應力為主應力。主應力公式為

核心觀念

利用二階行列式等於 $ad-bc$，將題目化為一元二次方程式；並注意

是模長為 $1$、幅角為 $\frac{\pi}{3}$ 的複數，因此 $A^3=-1$，可用來簡化計算。

解題方法

先依二階行列式公式展開：

展開並整理：

所以

由