113 高普考普通考試 地震測報 地球物理概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 地表重力與地球質量的關係： $g=\frac{GM}{R^2}$
2. 球體體積： $V=\frac{4}{3}\pi R^3$
3. 平均密度定義： $\bar{\rho}=\frac{M}{V}$
4. 地球內部由地震波資料推得的分層密度，以及地球平均密度與局部密度的差異。

題目所列萬有引力常數的單位若確為 $\mathrm{dyne\cdot mm^2/g^2}$，與標準物理單位不相容。地球物理常用值應為：

以下依標準物理單位及命題慣例計算。

解題方法與計算

一、估算地球質量

已知：

$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$

由

$g=\frac{GM}{R^2}$

整理得：

$M=\frac{gR^2}{G}$

代入數值：

因此，地球質量約為：

$\boxed{M\approx5.96\times10^{24}\ \mathrm{kg}}$

二、估算地球體積

將地球視為半徑為 $R$ 的球體：

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

代入：

因此，地球體積約為：

$\boxed{V\approx1.08\times10^{21}\ \mathrm{m^3}}$

換算成 $\mathrm{cm^3}$：

$V\approx1.083\times10^{27}\ \mathrm{cm^3}$

三、估算地球平均密度

由密度定義：

$\bar{\rho}=\frac{M}{V}$

由於 $1000\ \mathrm{kg/m^3}=1\ \mathrm{g/cm^3}$，故：

$\boxed{\bar{\rho}\approx5.50\ \mathrm{g/cm^3}}$

與地球內部密度的比較

圖中顯示地球內部密度大致呈現由外向內增加的趨勢：

核心觀念

布蓋異常用來比較觀測重力與理論重力，並修正觀測點高程及地形質量的影響。本題採用完整布蓋異常公式：

其中 $h$ 為觀測點高程（公尺）、$\rho$ 為平均密度（$\mathrm{g/cm^3}$）、$T$ 為地形修正值。公式中的 $0.3h$ 是自由空氣修正，$0.0419\rho h$ 是布蓋板修正。

解題方法

先計算觀測重力與理論重力的差值：

高程為 $30\ \mathrm{m}$，自由空氣修正為：

核心觀念

本題考查四種地震規模的定義、所依據的震波種類與週期，以及不同規模尺度在大型地震時出現的「規模飽和」。

地震規模是以對數表示地震大小的無因次量；規模增加 1，所代表的地震波振幅約增加 10 倍，但能量約增加 $10^{1.5}\approx 31.6$ 倍。

一、$M_w$：矩震級（moment magnitude）

$M_w$ 由地震矩 $M_0$ 換算而得。地震矩反映斷層破裂的物理尺度，定義為

其中：

• $\mu$：岩石剪切模數；
• $A$：斷層破裂面積；
• $D$：平均滑移量。

常用換算式為

其中 $M_0$ 的單位為 $\text{N}\cdot\text{m}$。

$M_w$ 直接以地震矩為基礎，具有明確的物理意義，能反映斷層面積與滑移量，因此特別適合表示中、大型地震。由於地震矩可利用長週期波形及地震學模型估算，$M_w$ 對大型地震原則上不會像傳統規模那樣明顯飽和。

二、$M_s$：表面波規模（surface-wave magnitude）

$M_s$ 主要利用週期約 $20$ 秒的瑞利波等表面波振幅計算，典型形式為

其中：

• $A$：表面波最大振幅；
• $T$：波的週期，通常約為 $20$ 秒；
• $C(\Delta,h)$：與震央距離及震源深度有關的修正項。

$M_s$ 對淺源地震特別有用，因為表面波在淺部地殼中傳播時振幅較明顯。

由圖可見，$M_s$ 在約 $M_w=8$ 以上逐漸趨於平緩，約在 $8.3\sim 8.5$ 附近出現飽和。原因是大型地震的破裂長度已大於所使用表面波週期所能有效解析的尺度，振幅不再隨地震矩等比例增加，因此 $M_s$ 低估超大型地震。

三、$m_b$：體波規模（body-wave magnitude）

$m_b$ 主要使用體波，尤其是遠震的 $P$ 波振幅計算。其典型形式為

其中：

• $A$：體波最大振幅；
• $T$：體波週期，通常約為 $1$ 秒；
• $Q(\Delta,h)$：距離、深度及震波傳播效應的修正項。

$m_b$ 可在地震發生後較早由 $P$ 波資料估算，適合快速判定遠震大小，但它使用的是短週期體波，對大型地震的長破裂過程反應不足。

由圖可見，$m_b$ 約在 $M_w=6\sim 7$ 時便趨於平緩，飽和值約為 $6.3\sim 6.5$。因此，大型地震即使實際地震矩繼續增加，$m_b$ 仍可能維持在約 $6.5$，這是典型的體波規模飽和。

四、$M_L$：地方規模或里氏規模（local magnitude）

核心觀念

本題考查地震儀記錄的波形如何由時間域（seismogram）轉換為時間—頻率域（spectrogram），以及如何利用時頻分布辨識環境振動來源與特徵。

• Seismogram（地震圖）：記錄振動量隨時間變化的波形。本圖縱軸為速度，橫軸為時間。
• Spectrogram（時頻圖）：將波形分成許多短時間窗，對每一小段資料進行傅立葉轉換，顯示訊號能量或振幅在不同時間與頻率上的分布。
• 圖中：
• 橫軸為時間（秒）。
• 縱軸為頻率（Hz）。
• 顏色代表振幅或能量大小，通常以分貝（dB）表示；顏色越顯著，代表該時間與頻率的振動能量越強。

spectrogram 的定義與公式

設地震儀記錄的時間序列為 $x(t)$，以窗函數 $w(t-\tau)$ 擷取中心在 $\tau$ 的短時間資料，短時傅立葉轉換（Short-Time Fourier Transform, STFT）為

spectrogram 通常定義為其功率或能量：

若以分貝表示，則可寫成

其中 $S_0$ 為參考能量。

spectrogram 的用途

spectrogram 可將單純的時間波形進一步分解，觀察振動能量隨時間及頻率的變化，主要用途包括：

1. 判斷振動是持續性、週期性或瞬時性。
2. 找出振動的主要頻率範圍。
3. 觀察不同事件的開始時間、持續時間及重複性。
4. 分辨地震訊號、人工噪訊、交通振動、機械振動及人員行走等環境訊號。
5. 判斷訊號是否具有頻率隨時間改變的特徵，例如頻率漂移、掃頻或衰減。
6. 協助地震監測、噪訊分析、震源辨識及儀器資料品質檢查。

解題方法

本題應同時比較左側 seismogram 與右側 spectrogram：

• 先由 seismogram 判斷振動事件在何時發生、是否重複，以及振幅是否集中在短時間內。
• 再由 spectrogram 觀察各事件的頻率範圍、能量強弱及持續時間。
• 最後將時間上的重複性與頻率上的分布結合，推論振動來源及其物理特徵。

核心觀念

本題考查臺灣地震活動與地體構造的關係，重點包括：

1. 臺灣位於歐亞板塊與菲律賓海板塊的聚合型板塊邊界。
2. 菲律賓海板塊向西北方向運動，與歐亞板塊碰撞，形成臺灣造山帶。
3. 地震分布受活動斷層、板塊界面、隱沒帶及地殼內部應力控制。
4. 歷史災害地震的紀錄會受到人口分布、建築物集中程度、交通與觀測能力影響，因此圖中的地震分布不完全等於真實地震活動分布。

（一）災害地震的空間與時間分布特徵及原因

1. 空間分布特徵

由圖可見，1600 年以來臺灣災害地震具有下列特徵：

（1）主要集中於臺灣東部、東北部及其近海

花蓮、臺東外海，以及宜蘭、基隆附近的地震較為密集，且部分地震規模較大。例如：

• 1910 年基隆外海地震；
• 1920 年花蓮地震；
• 花蓮、臺東外海亦有多起較大地震。

臺灣東部鄰近菲律賓海板塊與歐亞板塊的碰撞帶，地殼縮短、抬升及變形最為劇烈，因此地震活動頻繁。

（2）臺灣西部亦有地震，但多沿活動斷層呈帶狀分布

臺灣西部人口密集，歷史上有許多災害地震，例如臺中、嘉義、梅山及臺南一帶。西部地震常與逆斷層、盲逆斷層及褶皺構造有關。

臺灣西部麓山帶及前緣地區，受到板塊碰撞所產生的水平壓縮作用，形成許多東南傾或向東傾的逆斷層。地震發生時，斷層兩側沿壓縮方向錯動，容易造成地表破裂、地面隆起及嚴重建築物損害。

（3）地震並非只分布在臺灣本島

部分大型災害地震位於臺灣東部、東北部或西南部外海，例如：

• 1604 年福建泉州地震；
• 1910 年基隆外海地震；
• 1920 年花蓮地震。

這表示臺灣附近海域的板塊界面、隱沒帶及海域活動斷層，也是重要的地震來源。

2. 時間分布特徵

（1）地震發生時間不均勻，具有群聚性

圖中的地震並非以固定週期發生，而是在某些時期較為密集，另一些時期則相對稀少。20 世紀以後地震數量明顯增加，尤其約 1900 年至 1970 年間較為密集。

這種增加不一定代表地震活動突然變強，還可能受到下列因素影響：

• 近代地震儀器開始設置，地震較容易被偵測；
• 報紙、政府及科學調查制度逐漸完善；
• 人口增加及都市化，使地震造成災害的機會提高；
• 早期歷史紀錄不完整，許多中小地震未被記載。

（2）大型地震發生間隔不規則

圖中規模約 $M 7$ 以上的地震分布不具明顯固定週期，顯示大型地震的發生具有隨機性與斷層個別週期性並存的特徵。

斷層在長期應力作用下累積應變，當剪應力超過斷層摩擦強度時發生錯動。地震後應力重新分配，鄰近斷層可能受到促發或抑制，因此地震活動可能呈現群聚現象。

3. 分布特徵的構造原因

（1）板塊聚合與碰撞

菲律賓海板塊大致向西北方向移動，與歐亞板塊碰撞。碰撞作用使臺灣地區受到強烈壓縮，產生：

• 逆斷層；
• 褶皺；
• 地殼縮短與增厚；
• 山脈快速抬升；
• 地殼內部應力累積。

因此臺灣成為全球地震活動相當旺盛的地區。

（2）北部與東北部的琉球隱沒系統

臺灣東北部連接琉球島弧—琉球海溝系統。菲律賓海板塊向北或北西方向隱沒至歐亞板塊之下，形成：

• 琉球海溝；
• 琉球島弧；
• 板塊聚合界面；
• 近海逆衝型地震。

因此基隆、宜蘭及臺灣東北部外海容易發生較大地震。

（3）南部與西南部的馬尼拉隱沒系統

臺灣南部至西南部外海鄰近馬尼拉海溝。歐亞板塊的海洋地殼向東隱沒至菲律賓海板塊之下，形成另一個聚合型板塊邊界。

此區可能發生板塊界面地震及海域地震，若規模很大且震源較淺，亦可能引發海嘯。

（4）臺灣西部活動斷層