107 高普考高考二級 衛生技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題評量公職衛生技術類科《生物統計學》中「假說檢定（Hypothesis Testing）」、「參數估計（Parameter Estimation）」與「診斷測驗／分類評估（ROC Analysis）」的核心整合能力，涉及以下定義與公式：

1. 型一誤差（Type I error, $\alpha$）與型二誤差（Type II error, $\beta$）：

• 型一誤差機率 $\alpha$：當虛無假說為真（$H_0$ is true）時，檢定結果錯誤拒絕 $H_0$ 的機率，即偽陽性率（False Positive Rate, FPR）。
• 型二誤差機率 $\beta$：當對立假說為真（$H_1$ is true）時，檢定結果未能拒絕 $H_0$ 的機率，即偽陰性率（False Negative Rate, FNR）。
• 統計檢定力（Statistical Power, $1-\beta$）：當 $H_1$ 為真時，正確拒絕 $H_0$ 的機率，即真陽性率（True Positive Rate, TPR / Sensitivity）。

2. 兩獨立樣本連續變項比較（獨立雙樣本 $t$ 檢定）：

• 假說設定：$H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$ vs $H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq 0$。
• 檢定統計量： $t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - 0}{SE(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)}$
• 樣本數估算關聯式（雙尾檢定）： $n \approx \frac{2(z_{\alpha/2} + z_{\beta})^2 \sigma^2}{(\mu_1 - \mu_2)^2}$

3. 兩組平均數差之 $95\%$ 信賴區間（Confidence Interval, CI）： $(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \pm t_{0.025, df} \times SE(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)$ 其中 $(1 - \alpha) = 0.95$ 即 $\alpha = 0.05$。

4. 作業者接受特徵（ROC）曲線：

• 橫軸（X 軸）：$1 - \text{Specificity} = \text{False Positive Rate (FPR)} = \alpha$。
• 縱軸（Y 軸）：$\text{Sensitivity} = \text{True Positive Rate (TPR)} = \text{Power} = 1 - \beta$。

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解題方法

本題為申論題，須按題意依序從「假設檢定」、「$95\%$ 信賴區間」及「ROC 曲線」三大維度展開完整論述：

一、對兩組連續變項比較之「統計假說檢定」的影響

以評估實驗組與對照組連續型指標差異（雙樣本 $t$ 檢定）為例：

1. 型一誤差（$\alpha$）的影響：

• 決定拒絕域的臨界值（Critical value）：研究者事先設定顯著水準（Significance level）$\alpha$（如 $\alpha = 0.05$）。當雙尾檢定時，臨界值為 $\pm t_{\alpha/2, df}$。$\alpha$ 愈小，臨界值絕對值愈大，拒絕域愈嚴格，判定兩組有顯著差異的門檻愈高。
• 控制型一誤差風險：$\alpha$ 代表「兩組母體平均數實際上沒有差異（$H_0$ 為真），卻誤判為有療效差異」的偽陽性風險上限。

2. 型二誤差（$\beta$）的影響：

• 直接決定統計檢定力（Power $= 1 - \beta$）：若真實世界中兩組確有差異（$\mu_1 \neq \mu_2$），型二誤差代表錯失發現真實差異的機率。$\beta$ 愈大，檢定力（$1-\beta$）愈低，研究面臨「偽陰性」的威脅。
• 與 $\alpha$ 的權衡消長（Trade-off）：在固定樣本數 $N$ 與效應值（Effect size, $\Delta = |\mu_1 - \mu_2|/\sigma$）的前提下，調低 $\alpha$（減少型一誤差）會使臨界值向外推，直接導致 $\beta$ 增加（檢定力下降）。
• 決定實驗設計所需樣本數：若欲維持固定的型一誤差 $\alpha$ 並降低型二誤差 $\beta$（提高檢定力），唯一方法為增加樣本數 $N$。

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二、對「$95\%$ 信賴區間（CI）」的影響

兩組連續變項平均數差的信賴區間結構為： $\text{Point Estimate} \pm \text{Critical Value} \times \text{Standard Error} = (\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \pm t_{\alpha/2, df} \times SE$

1. 型一誤差（$\alpha$）的影響：

• 直接決定信賴水準（Confidence Level）：信賴水準定義為 $1 - \alpha$。因此題目所指的「$95\%$」信賴區間，本質即為預先固定 $\alpha = 0.05$。
• 決定區間寬度（Margin of Error）：$\alpha$ 決定了乘上的臨界值 $t_{\alpha/2, df}$。若要求更嚴格的型一誤差（例如改採 $99\%$ CI，$\alpha = 0.01$），臨界值變大，區間隨之變寬，估計精度（Precision）降低；反之若放寬 $\alpha$，區間變窄。
• 假說檢定與信賴區間的對偶性（Duality）：雙尾檢定在 $\alpha = 0.05$ 下拒絕 $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$，充要條件為其對應的 $95\%$ 信賴區間「不包含無效值 $0$」。

2. 型二誤差（$\beta$）的影響：

• 公式表面無 $\beta$，但實質決定區間涵蓋無效值的機率：在已收集完成的單一樣本資料中，計算 $95\%$ CI 的數學式並不包含 $\beta$。然而在研究規劃視角下，若母體間確實存在特定差異 $\Delta$，該 $95\%$ CI 能夠成功「排除 0」（即不包含無效值）的機率，恰好等於統計檢定力 $1 - \beta$。
• 未控制 $\beta$ 的後果：若研究因樣本數不足而具有過高的型二誤差 $\beta$（低檢定力），所估算出的 $95\%$ 信賴區間會非常寬，極易同時包含 $0$ 與具有臨床重要性的效應值，使研究結論陷入無結論（Inconclusive）的狀態。

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三、利用 ROC 曲線描述統計檢定力與型一誤差之關係

核心觀念

本題評量流行病學與生物統計學中二變項類別資料（$2 \times 2$ 列聯表）關聯性測量的核心能力，涉及以下關鍵觀念：

1. 危險度測量指標（Measures of Association）：描述「危險之倍數關係」時，依研究設計（Study Design）採用相對危險度（Relative Risk, $RR$）或勝算比（Odds Ratio, $OR$）。

• 世代研究（Cohort Study）：可直接計算疾病發生率，使用相對危險度（$RR$）。
• 病例對照研究（Case-Control Study）或橫斷研究（Cross-Sectional Study）：無法直接計算發生率，使用勝算比（$OR$）；在疾病罕見（Rare Disease Assumption）或橫斷盛行率偏低時，$OR \approx RR$。

2. 假設檢定（Hypothesis Testing）：檢定暴露與疾病是否獨立無關，設定母體參數之虛無假說（$H_0: RR = 1$ 或 $H_0: OR = 1$），並以 Pearson 卡方檢定（$\chi^2$ 檢定）或兩樣本比例差 $Z$ 檢定作為檢定統計量。
3. 對數轉換與信賴區間（Log Transformation & Confidence Interval）：比值型參數（$RR$、$OR$）具有非對稱、正向偏斜（範圍介於 $0$ 至 $\infty$）的特性，在大樣本下須先經自然對數轉換（$\ln$）以符合漸近常態分配，透過 Delta 法求得標準誤（Standard Error），計算出對數尺度的信賴區間後，再取指數函數（$\exp$）反轉換求得 $95\%$ 信賴區間。

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解題方法

1. 資料結構設定（$2 \times 2$ 列聯表）

設暴露因子為「是否參加成人健檢」（$E^+$：參加，$E^-$：未參加），結果為「是否罹患糖尿病」（$D^+$：有糖尿病，$D^-$：無糖尿病），樣本資料彙整如下表：

組別	糖尿病（$D^+$）	無糖尿病（$D^-$）	合計	糖尿病發生率（盛行率）
參加健檢（$E^+$）	$a$	$b$	$n_1 = a+b$	$\hat{p}_1 = \frac{a}{a+b}$
未參加健檢（$E^-$）	$c$	$d$	$n_0 = c+d$	$\hat{p}_0 = \frac{c}{c+d}$
合計	$m_1 = a+c$	$m_0 = b+d$	$N = a+b+c+d$	$\bar{p} = \frac{a+c}{N}$

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2. 適當估計值之選用與定義

• 前瞻性世代研究設計（首選指標：相對危險度 Relative Risk, $RR$） 若研究為追蹤未罹病者，觀察其後續發生糖尿病之風險，則適當估計值為相對危險度： $\widehat{RR} = \frac{\hat{p}_1}{\hat{p}_0} = \frac{a / (a+b)}{c / (c+d)}$ 意義：參加健檢者發生糖尿病的危險性為未參加健檢者的 $\widehat{RR}$ 倍。

• 橫斷研究或病例對照研究設計（次選指標：勝算比 Odds Ratio, $OR$） 若研究屬於調查當前盛行狀況或病例對照架構，則適當估計值為勝算比（交叉比）： $\widehat{OR} = \frac{a / b}{c / d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$ 意義：參加健檢者罹患糖尿病的勝算（Odds）為未參加健檢者的 $\widehat{OR}$ 倍。

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3. 統計虛無假說與對立假說

檢定「參加成人健檢與否」與「糖尿病罹患風險」是否具有顯著關聯：

• 以相對危險度（$RR$）表述： $H_0: RR = 1 \quad (\text{兩組糖尿病發生風險相同，即關聯性不存在})$ $H_1: RR \neq 1 \quad (\text{兩組糖尿病發生風險不同，存在倍數關係})$
• 以勝算比（$OR$）表述： $H_0: OR = 1 \quad (\text{兩組罹患糖尿病之勝算相同})$ $H_1: OR \neq 1 \quad (\text{兩組罹患糖尿病之勝算不同})$
• 等價之母體比例表述： $H_0: p_1 = p_0 \quad \text{vs.} \quad H_1: p_1 \neq p_0$

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4. 檢定統計量（Test Statistic）

在大樣本條件下，可採用以下兩種完全等價的檢定統計量：

1. Pearson 卡方獨立性檢定統計量（$\chi^2$ 檢定）： $\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} = \frac{N(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 在虛無假說 $H_0$ 成立下，該統計量漸近服從自由度為 $1$ 的卡方分配： $\chi^2 \sim \chi^2(1)$ 拒絕域（顯著水準 $\alpha = 0.05$）：當 $\chi^2 \ge \chi^2_{0.95}(1) = 3.84$ 時，拒絕 $H_0$。

2. 兩母體比例差之常態近似檢定統計量（$Z$ 檢定）： $Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_0}{\sqrt{\bar{p}(1 - \bar{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_0}\right)}}$ 在 $H_0$ 成立下，$Z \sim N(0, 1)$，且 $Z^2 = \chi^2$。雙尾檢定拒絕域為 $|Z| \ge 1.96$。

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5. $95\%$ 信賴區間推導

(1) 相對危險度（$RR$）之 $95\%$ 信賴區間

1. 對數轉換標準誤（Katz 法）： $SE(\ln\widehat{RR}) = \sqrt{\frac{1 - \hat{p}_1}{n_1 \hat{p}_1} + \frac{1 - \hat{p}_0}{n_0 \hat{p}_0}} = \sqrt{\frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{c+d}}$

核心觀念

本題評量流行病學與生物統計學中探討「二元結局變項」、「多變項調整」與「交互作用（效應修飾）」的核心能力，主要包含以下觀念與公式：

1. 二元結果變項之迴歸模式：當結果變項 $Y$ 為二元變項（如：得病與否），且指標為勝算比（Odds Ratio, OR）時，最適用的統計模式為羅吉斯迴歸模式（Logistic Regression Model）。
2. 對數勝算（Log-odds / Logit）轉換： 設 $p = P(Y=1 \mid X, Z)$，則勝算（Odds）定義為 $\frac{p}{1-p}$，其自然對數為： $\text{logit}(p) = \ln\left(\frac{p}{1-p}\right)$
3. 效應修飾（Effect Modification）與交互作用（Interaction）： 題目中指出「$X$ 對 $Y$ 之得病危險如何受第三變項 $Z$ 影響」，在統計上代表 $X$ 與 $Y$ 的關聯強度隨 $Z$ 的水準而改變，此即統計上的「交互作用項（Interaction term）」或流行病學上的「效應修飾作用」。
4. 調整勝算比（Adjusted Odds Ratio, aOR）： 暴露組（$X=1$）相對於非暴露組（$X=0$）在控制第三變項 $Z$ 之後的勝算比值。當模式中包含交互作用項時，調整勝算比將是 $Z$ 的函數。
5. 參數檢定方法： 檢定交互作用項係數是否顯著不為零，常用概似比檢定（Likelihood Ratio Test, LRT）或華德檢定（Wald Test）。

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解題方法

一、 統計模式之選取與數學定義

因應結果變項 $Y$ 為得病與否之二元變項，且需估計調整勝算比及考量 $Z$ 的修飾作用，常使用的統計模式為多變項羅吉斯迴歸模式（Multiple Logistic Regression Model）。

變項定義如下：

• $Y$（反應變項／依變項）：得病危險之狀態變項。 $Y = \begin{cases} 1, & \text{得病} \\ 0, & \text{未得病} \end{cases}$ 令 $p = P(Y = 1 \mid X, Z)$ 表示在給定 $X$ 與 $Z$ 下個體的得病機率。
• $X$（自變項／暴露變項）：兩組別之二元指示變項（Dummy variable）。 $X = \begin{cases} 1, & \text{暴露組（組別 1）} \\ 0, & \text{非暴露組／對照組（組別 0）} \end{cases}$
• $Z$（第三變項／協變項）：可能為連續變項（如年齡）或類別變項（如性別、吸菸狀態）。

為探討 $X$ 對 $Y$ 之作用是否受 $Z$ 影響，模式必須包含主效應項與交乘項（交互作用項 $X \times Z$）： $\text{logit}(p) = \ln\left(\frac{p}{1-p}\right) = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 Z + \beta_3 (X \times Z)$ 其中：

• $\beta_0$ 為截距項。
• $\beta_1$ 為 $Z=0$ 時，$X$ 對對數勝算的效應。
• $\beta_2$ 為 $X=0$ 時，$Z$ 對對數勝算的效應。
• $\beta_3$ 為 $X$ 與 $Z$ 之交互作用項係數（反映 $X$ 對得病之影響如何隨 $Z$ 改變）。

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二、 調整勝算比（Adjusted Odds Ratio, aOR）之計算推導

在固定第三變項數值為 $Z$ 的條件下，比較組別 $X=1$ 相對於 $X=0$ 之勝算比：

1. 計算暴露組（$X=1$）之對數勝算： $\text{logit}(p_1) = \beta_0 + \beta_1(1) + \beta_2 Z + \beta_3(1 \times Z) = (\beta_0 + \beta_2 Z) + (\beta_1 + \beta_3 Z)$ 其勝算為： $\text{Odds}_1 = \frac{p_1}{1 - p_1} = \exp\left[(\beta_0 + \beta_2 Z) + (\beta_1 + \beta_3 Z)\right]$

2. 計算對照組（$X=0$）之對數勝算： $\text{logit}(p_0) = \beta_0 + \beta_1(0) + \beta_2 Z + \beta_3(0 \times Z) = \beta_0 + \beta_2 Z$ 其勝算為： $\text{Odds}_0 = \frac{p_0}{1 - p_0} = \exp(\beta_0 + \beta_2 Z)$

3. 計算調整勝算比（aOR）： 兩組勝算之比值（亦即兩組對數勝算之差取指數）： $\ln(aOR) = \text{logit}(p_1) - \text{logit}(p_0) = \beta_1 + \beta_3 Z$ $aOR = \frac{\text{Odds}_1}{\text{Odds}_0} = \exp(\beta_1 + \beta_3 Z)$

• 推論意涵：
• 當 $\beta_3 \neq 0$ 時，$aOR$ 的大小取決於 $Z$ 的水準，證實兩組之得病危險比值受到第三變項 $Z$ 的影響（效應修飾）。

核心觀念

本題評量獨立雙樣本平均數差的假說檢定與信賴區間估計（Independent Two-sample $t$-test and Confidence Interval）。 核心考點包含：

1. 研究設計與資料型態識別：自變項為互斥兩組（營養改善介入組 vs. 無介入組，為獨立雙樣本）；依變項為血色素濃度（連續變項，Continuous variable）。
2. 統計方法選擇：當母體變異數未知且母體呈常態分佈（或大樣本符合中央極限定理）時，採用獨立雙樣本 $t$ 檢定（Independent two-sample $t$-test）。
3. 統計檢定與區間估計之對偶性（Duality）：在雙尾檢定下，顯著水準 $\alpha=0.05$ 的統計假說檢定與 $95\%$ 信賴區間之決策具有等價性（$95\%$ 信賴區間不包含 $0$ 等價於在 $\alpha=0.05$ 下拒絕虛無假說）。

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解題方法

步驟一：符號定義（Symbol Definition）

• 第 1 組（營養改善介入組）：
• 母體平均數為 $\mu_1$，母體變異數為 $\sigma_1^2$。
• 隨機樣本數為 $n_1$，樣本平均數為 $\bar{X}_1$，樣本變異數為 $S_1^2$。
• 第 2 組（無介入組）：
• 母體平均數為 $\mu_2$，母體變異數為 $\sigma_2^2$。
• 隨機樣本數為 $n_2$，樣本平均數為 $\bar{X}_2$，樣本變異數為 $S_2^2$。
• 真實母體平均數差異：$\delta = \mu_1 - \mu_2$。

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步驟二：基本統計假設（Model Assumptions）

1. 獨立性（Independence）：兩組樣本相互獨立，且各組內樣本觀察值亦互相獨立。
2. 常態性（Normality）：兩組血色素濃度分別服從常態分佈，即 $X_{1i} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 且 $X_{2j} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$（若樣本數夠大，可依中央極限定理放寬此限制）。
3. 變異數同質性（Homoscedasticity）：假設兩組母體變異數相等，即 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$。

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步驟三：建立統計假說（Hypotheses Formulation）

依題意設定雙尾檢定：

• 虛無假說（Null Hypothesis）： $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0 \quad (\text{或 } \mu_1 = \mu_2)$
• 對立假說（Alternative Hypothesis）： $H_a: \mu_1 - \mu_2 \neq 0 \quad (\text{或 } \mu_1 \neq \mu_2)$

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步驟四：檢定統計量與抽樣分配（Test Statistic）

1. 混合樣本變異數（Pooled Sample Variance, $S_p^2$）： $S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$
2. 樣本平均數差的估計標準誤（Standard Error, $SE$）： $SE(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$
3. 檢定統計量（$t$ 統計量）： $t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - 0}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$ 在 $H_0$ 為真的條件下，$t$ 統計量服從自由度為 $df = n_1 + n_2 - 2$ 的學生氏 $t$ 分佈（Student's $t$-distribution），記為 $t \sim t(n_1 + n_2 - 2)$。

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步驟五：判定準則（Decision Rule at $\alpha = 0.05$）

在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，自由度為 $df = n_1 + n_2 - 2$：

• 臨界值為 $t_{0.025, \, n_1+n_2-2}$。
• 決策規則：

核心觀念

本題旨在考查兩份獨立估計資料之統計合併方法（Meta-analysis / Data Synthesis）。在生物統計學與流行病學中，整合先驗資訊與新樣本資料主要有兩種標準典範：

1. 逆變異數加權法（Inverse-Variance Weighting Method）： 屬於古典頻率學派（統合分析固定效應模型，Fixed-effect Model）。當有兩個針對同一母體比例 $p$ 的獨立估計量時，以各估計量「變異數的倒數」作為權重進行加權平均，此加權平均數具備**最佳線性不偏估計量（BLUE）**之性質，能使合併後的估計量變異數達到最小。

• 權重：$w_i = \frac{1}{\text{Var}(\hat{p}_i)}$
• 合併比例：$\hat{p}_{\text{combined}} = \frac{\sum w_i \hat{p}_i}{\sum w_i}$
• 合併後變異數：$\text{Var}(\hat{p}_{\text{combined}}) = \frac{1}{\sum w_i}$

2. 貝氏推論法（Bayesian Inference / Beta-Binomial Conjugate Model）： 將先前調查視為先驗分佈（Prior Distribution），設定為 Beta 分佈；將本次調查的二項試驗視為概似函數（Likelihood）。利用共軛性（Conjugacy）推導出事後分佈（Posterior Distribution），進而求出最後的事後平均得病比例與事後變異數。

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解題方法

一、整理兩份資料之統計量

1. 第一份資料（先前調查）：

• 得病比例估計值：$\hat{p}_1 = 0.40$
• 變異數：$V_1 = \text{Var}(\hat{p}_1) = 0.02$

2. 第二份資料（本次調查）：

• 樣本數：$n_2 = 30$；得病人數：$x_2 = 10$
• 樣本得病比例： $\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$
• 樣本比例之抽樣變異數： $V_2 = \text{Var}(\hat{p}_2) = \frac{\hat{p}_2(1 - \hat{p}_2)}{n_2} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}}{30} = \frac{\frac{2}{9}}{30} = \frac{2}{270} = \frac{1}{135} \approx 0.007407$

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二、統計合併推導（提供兩種標準解法）

【解法一】逆變異數加權法（頻率學派／統合分析標準解法）

1. 計算各份資料之權重：

• 先前資料權重： $w_1 = \frac{1}{V_1} = \frac{1}{0.02} = 50$
• 本次資料權重： $w_2 = \frac{1}{V_2} = \frac{1}{\frac{1}{135}} = 135$
• 總權重： $w_{\text{total}} = w_1 + w_2 = 50 + 135 = 185$

2. 計算合併後得病比例： $\hat{p}_{\text{combined}} = \frac{w_1 \hat{p}_1 + w_2 \hat{p}_2}{w_1 + w_2} = \frac{50 \times 0.40 + 135 \times \frac{1}{3}}{185} = \frac{20 + 45}{185} = \frac{65}{185} = \frac{13}{37} \approx 0.3514 \ (35.14\%)$

3. 計算合併後變異數： $\text{Var}(\hat{p}_{\text{combined}}) = \frac{1}{w_1 + w_2} = \frac{1}{185} \approx 0.005405$

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【解法二】貝氏推論法（Beta-Binomial 共軛分析）

1. 設定先驗分佈： 設母體得病率 $p \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$。

• 先驗平均數：$E[p] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} = 0.4$
• 先驗變異數： $\text{Var}(p) = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)} = \frac{0.4 \times 0.6}{\alpha + \beta + 1} = \frac{0.24}{\alpha + \beta + 1} = 0.02$