108 高普考高考二級 測量製圖 誤差理論 考古題詳解

核心觀念

本題評量衛星定位（GNSS）差分技術在《誤差理論》架構下的核心本質，涵蓋以下三項核心觀念：

1. 系統誤差之相關性與消除機制：衛星定位中的多項誤差來源（如衛星鐘差、接收儀鐘差、對流層延遲、電離層延遲、衛星軌道星曆誤差）具有高度的空間自相關性（Spatial Correlation）與時間自相關性（Temporal Correlation）。利用空間或時間上的幾何差分運算，可將共模誤差（Common Errors）消除或大幅削弱。
2. 偶然誤差之誤差傳播定律：差分運算本質上是原始獨立觀測量的「線性組合」（Linear Combination）。依據誤差傳播定律（Law of Propagation of Errors），線性運算會導致隨機噪聲（偶然誤差）的方差疊加，造成差分後觀測量的隨機誤差放大。
3. 數學相關性（Mathematical Correlation）與協方差矩陣：差分前各獨立觀測量一般視為互不相關（協方差矩陣為對角矩陣）；差分處理時因選取共同基準（基準站或基準星），導致差分觀測量之間產生非零的協方差，協方差矩陣轉為非對角矩陣。

解題方法

本題應自「系統誤差（幾何與物理特性）」與「偶然誤差及統計相關性（隨機誤差與協方差矩陣）」兩大維度切入，深入對比差分前與差分後的變化：

一、 系統誤差的變化：消除或大幅削弱

在差分前，原始載波相位或虛擬距離觀測方程式包含多種系統誤差： $L = \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) - I + T + d\rho + \lambda N + \varepsilon$ 其中 $\rho$ 為幾何距離，$c$ 為光速，$\delta t_r$ 為接收儀鐘差，$\delta t^s$ 為衛星鐘差，$I$ 為電離層延遲，$T$ 為對流層延遲，$d\rho$ 為軌道誤差，$\lambda N$ 為整數模糊度（載波），$\varepsilon$ 為隨機噪聲。

經差分處理後，系統誤差之變化如下：

1. 站間單差（Between-receivers Single Difference, SD）：

• 消除：兩測站同步觀測同一衛星，完全消除「衛星鐘差」（$\delta t^s$）。
• 削弱：當測站基線長度較短時，視線方向的大氣穿透路徑相近，可大幅消除「電離層延遲」（$I$）、「對流層延遲」（$T$）與「衛星軌道誤差」（$d\rho$）。

2. 星間單差（Between-satellites Single Difference, SD）：

• 同一測站同步觀測兩顆衛星，可完全消除「接收儀鐘差」（$\delta t_r$）及接收儀端之硬體延遲。

3. 雙差（Double Difference, DD）：

• 站間與星間聯合差分，同時完全消除「衛星鐘差」與「接收儀鐘差」，並基本消除短基線的大氣與軌道殘餘系統誤差，且保留載波相位的「整數模糊度特性」（Integer Nature of Ambiguity），使整數解算成為可能。

4. 三差（Triple Difference, TD）：

• 歷元間雙差差分，可進一步消除整數模糊度常數（$\lambda \nabla\Delta N$），並有效偵測與修復週波跳躍（Cycle Slip）。

二、 偶然誤差（隨機噪聲）的變化：方差放大

設原始獨立觀測量 $L_1, L_2$ 之偶然誤差相互獨立，其標準差皆為 $\sigma$（方差 $\sigma^2$）。

1. 單差觀測量：$\Delta L = L_2 - L_1$ 依據誤差傳播定律： $\sigma_{\Delta L}^2 = (1)^2 \sigma_{L_2}^2 + (-1)^2 \sigma_{L_1}^2 = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2 \implies \sigma_{\Delta L} = \sqrt{2}\sigma \approx 1.414\sigma$ 隨機噪聲放大為原始觀測量的 $\sqrt{2}$ 倍。

2. 雙差觀測量：$\nabla\Delta L = (L_2^j - L_1^j) - (L_2^i - L_1^i)$（共 4 個獨立觀測量相減） 依據誤差傳播定律：

核心觀念

本題旨在評量高階測量人員對於間接觀測平差（參數平差，Gauss-Markov Model）​中「未知參數精度評估」的理論推導能力，以及結合平差幾何與實務作業之物理意義解析能力。

核心概念涵蓋：

1. 間接觀測平差模型之解算：觀測方程式、法方程式建立與未知參數之最小二乘估計式。
2. 協方差傳播定律（誤差傳播定律）：由觀測量協方差矩陣 $\Sigma_{LL}$ 推導參數協方差矩陣 $\Sigma_{\hat{X}\hat{X}}$。
3. 後驗單位權中誤差（Posterior Reference Standard Deviation）：由平差後殘差計算 $\hat{\sigma}_0$。
4. 影響參數精度之決定性因子：拆解 $\hat{\Sigma}_{\hat{X}\hat{X}} = \hat{\sigma}_0^2 (A^T P A)^{-1}$，從「觀測品質（$\hat{\sigma}_0$）」與「網形結構／觀測權配置（$A$ 與 $P$）」兩大層面深入論述。

解題方法

一、 參數精度之數學式推導

設有一組維度為 $n \times 1$ 之觀測量向量 $L$，其先驗權矩陣為 $P$（$n \times n$ 正定對稱矩陣），待求未知參數向量為 $\hat{X}$（$u \times 1$）。

1. 建立線性化間接觀測方程式： $V = A\hat{X} - L$ 其中：

• $A$ 為 $n \times u$ 之設計矩陣（係數矩陣，$\operatorname{rank}(A) = u$）。
• $V$ 為 $n \times 1$ 之平差殘差向量。
• $L$ 為常數項向量（觀測值減去近似值）。

2. 最小二乘法平差解算： 依最小二乘原理 $V^T P V = \min$，導出法方程式： $(A^T P A) \hat{X} = A^T P L$ 令法方程式係數矩陣 $N = A^T P A$，則未知參數之估計式為： $\hat{X} = (A^T P A)^{-1} A^T P L = N^{-1} A^T P L$

3. 應用協方差傳播定律求參數協方差矩陣： $\hat{X}$ 可視為觀測向量 $L$ 之線性組合 $\hat{X} = J L$，其中轉換矩陣 $J = (A^T P A)^{-1} A^T P$。 根據協方差傳播定律，參數的先驗協方差矩陣為： $\Sigma_{\hat{X}\hat{X}} = J \Sigma_{LL} J^T$ 已知觀測量協方差矩陣為 $\Sigma_{LL} = \sigma_0^2 P^{-1}$（$\sigma_0^2$ 為先驗單位權變異數），代入得： $\Sigma_{\hat{X}\hat{X}} = \left[(A^T P A)^{-1} A^T P\right] \left(\sigma_0^2 P^{-1}\right) \left[P A (A^T P A)^{-1}\right] = \sigma_0^2 (A^T P A)^{-1}$ 定義參數協因數矩陣（權逆陣）為： $Q_{\hat{X}\hat{X}} = (A^T P A)^{-1} = N^{-1}$

4. 後驗參數精度數學式： 平差後以平差殘差 $V$ 估計後驗單位權變異數 $\hat{\sigma}_0^2$（或後驗單位權中誤差 $\hat{\sigma}_0$）： $\hat{\sigma}_0^2 = \frac{V^T P V}{r} = \frac{V^T P V}{n - u}$ 其中 $r = n - u$ 為平差之多餘觀測數（自由度）。

因此，平差後驗參數之協方差矩陣表示為： $\hat{\Sigma}_{\hat{X}\hat{X}} = \hat{\sigma}_0^2 (A^T P A)^{-1} = \hat{\sigma}_0^2 Q_{\hat{X}\hat{X}}$

各單項未知參數 $\hat{x}_i$ 之後驗中誤差（標準差）​則表示為： $\hat{\sigma}_{\hat{x}_i} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{q_{ii}} = \sqrt{\hat{\sigma}_0^2 \cdot (N^{-1})_{ii}}$ 其中 $q_{ii}$ 為協因數矩陣 $Q_{\hat{X}\hat{X}}$ 第 $i$ 行第 $i$ 列之對角線元素。

二、 利用數學式闡述影響平差後驗參數精度之主要因素

由 $\hat{\sigma}_{\hat{x}_i} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{q_{ii}}$ 與 $\hat{\Sigma}_{\hat{X}\hat{X}} = \hat{\sigma}_0^2 (A^T P A)^{-1}$ 可知，影響後驗參數精度的因子可嚴密分解為兩大部分：「尺度比例因子 $\hat{\sigma}_0$」​與​「結構幾何因子 $Q_{\hat{X}\hat{X}} = (A^T P A)^{-1}$」。

1. 後驗單位權中誤差 $\hat{\sigma}_0$ 的影響（反映觀測水準與模型品質）： $\hat{\sigma}_0 = \sqrt{\frac{V^T P V}{n - u}}$

• 觀測儀器與作業精度：測量儀器等級（如測角精度、測距精度）與現場施測環境直接影響殘差 $V$ 的離散程度。隨機誤差越小，$V^T P V$ 越小，$\hat{\sigma}_0$ 越低，參數精度越高。

核心觀念

1. 法方程式（Normal Equations）與係數矩陣： 在最小自乘平差（間接觀測平差）模型 $V = A\hat{X} - L$ 中（權矩陣為 $P$），法方程式為： $N\hat{X} = U$ 其中法方程係數矩陣 $N = A^T P A$。若有 $u$ 個未知參數，則 $N$ 為 $u \times u$ 的實對稱正半定（或正定）矩陣。
2. 秩虧（Rank Defect）與病態（Ill-conditioned）：

• 代數秩虧（本質秩虧）：$\text{rank}(N) = r < u$，矩陣行列式 $\det(N) = 0$，存在零特徵值，法方程式無唯一解（存在自由度/基準虧損）。
• 數值秩虧（近秩虧/病態）：$\text{rank}(N) = u$，但矩陣極度接近奇異（Singular），數值運算時極易受捨入誤差（Round-off Error）與觀測微小擾動影響，導致平差解發散或失真。

3. 矩陣條件數（Condition Number, $\text{cond}(N)$）： 條件數是用以量測線性方程組 $N\hat{X} = U$ 在數值解算時「敏感度」與「穩定性」之指標。條件數愈小（接近 1）表示系統愈穩定（良態）；條件數過大（$\text{cond}(N) \gg 1$）則表示矩陣病態或呈現數值秩虧。

解題方法

一、法方程係數矩陣條件數之計算方式

1. 矩陣範數（Matrix Norm）通用定義： 設 $\|\cdot\|$ 為某種矩陣算子範數，法方程係數矩陣 $N$ 之條件數定義為： $\text{cond}(N) = \|N\| \cdot \|N^{-1}\|$ 若 $N$ 為奇異矩陣（完全秩虧），則 $N^{-1}$ 不存在，此時定義 $\text{cond}(N) = \infty$。

2. 2-範數（譜範數，Spectral Norm）下的計算公式： 由於平差法方程係數矩陣 $N = A^T P A$ 必定為實對稱矩陣（Real Symmetric Matrix），其特徵值（Eigenvalues）皆為實數。若設 $N$ 為正定矩陣，其特徵值由大至小排列為： $\lambda_{\max} = \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_u = \lambda_{\min} > 0$ 在 2-範數下： $\|N\|_2 = \lambda_{\max}$ $\|N^{-1}\|_2 = \frac{1}{\lambda_{\min}}$ 因此，條件數 $\text{cond}(N)_2$（亦常記為 $\kappa(N)$）的計算方式為最大特徵值與最小特徵值之比值： $\text{cond}(N)_2 = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}$

3. 奇異值分解（SVD）計算方式： 若對設計矩陣 $A$ 進行權常態化處理（設 $P = I$ 時，$N = A^T A$），利用奇異值分解 $A = U \Sigma V^T$，其中 $\Sigma$ 之非零對角元素為奇異值 $\sigma_i$（$\sigma_{\max} = \sigma_1 \ge \dots \ge \sigma_u = \sigma_{\min}$），則 $N$ 之特徵值滿足 $\lambda_i = \sigma_i^2$。故條件數亦可表示為： $\text{cond}(N)_2 = \left( \frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)} \right)^2$

4. 數值判斷基準：

• 當 $\lambda_{\min} \to 0$ 時，$\text{cond}(N) \to \infty$，代表法方程處於實質秩虧狀態。
• 若計算機浮點數精度為 $\epsilon$（如雙精度浮點數約 $10^{-16}$），當 $\text{cond}(N) \ge \epsilon^{-1} \approx 10^{16}$ 時，該矩陣在數值上已無法有效求逆，視為數值秩虧。

二、條件數過大之可能成因

法方程係數矩陣條件數過大，本質上源自「幾何結構缺陷」、「基準定義缺失」、「參數冗餘」或「數值尺度失衡」，具體成因如下：

1. 基準缺陷（Datum Defect，未完全消除自由網虧損）：

• 測網平差需藉由控制點固定以消除平移、旋轉、尺度等幾何自由度（如二維網需 3 個基準條件，三維網需 7 個基準條件）。

核心觀念

本題的核心在於測量學與誤差理論中最重要的基礎理論——誤差傳播定律（Law of Error Propagation），主要涵蓋以下知識點：

1. 多元非線性函數的一階線性化（Taylor Series Expansion）： 當觀測量與待求量之間存在非線性關係時，須在觀測值處將函數展開為泰勒級數並截取至一階微小項： $dF = \left.\frac{\partial F}{\partial x_1}\right|_{x_0} dx_1 + \left.\frac{\partial F}{\partial x_2}\right|_{x_0} dx_2 + \cdots + \left.\frac{\partial F}{\partial x_n}\right|_{x_0} dx_n$

2. 一般誤差傳播定律之矩陣形式： 若隨機向量 $Y = F(X)$，其雅可比矩陣（Jacobian Matrix）為 $J = \frac{\partial Y}{\partial X}$，則變異數－共變異數矩陣之傳播公式為： $\Sigma_{YY} = J \Sigma_{XX} J^T$

3. 標準誤差與相關係數之定義：

• 變數 $u$ 之標準誤差（Standard Error）：$\sigma_u = \sqrt{\sigma_u^2}$
• 變數 $u$ 與 $v$ 之相關係數（Correlation Coefficient）： $\rho_{uv} = \frac{\sigma_{uv}}{\sigma_u \sigma_v}$ 其中 $\sigma_{uv}$ 為共變異數（Covariance），$\sigma_u$ 與 $\sigma_v$ 分別為兩者之標準誤差。

解題方法

本題要求計算 $y$ 與 $z$ 之標準誤差以及其互相關係數 $\rho_{yz}$。最嚴謹且不易出錯的方法是建立向量函數 $Y = \begin{Bmatrix} y \\ z \end{Bmatrix}$，直接藉由矩陣形式的誤差傳播定律求得聯合共變異數矩陣 $\Sigma_{YY}$。

步驟一：計算評估點數值與偏導函數

已知隨機向量之觀測值（或平均值）為： $x = \begin{Bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 21 \\ 5 \end{Bmatrix}$

1. 計算 $y$ 在觀測點之數值： $y = 2x_1 + x_2 = 2(21) + 5 = 47$

2. 對 $y$ 進行偏微分： $\frac{\partial y}{\partial x_1} = 2, \quad \frac{\partial y}{\partial x_2} = 1$

3. 對 $z$ 進行微分： 已知 $z = 2y^2 + y + 8$，利用微分連鎖律（Chain Rule）： $\frac{dz}{dy} = 4y + 1$ 在 $y = 47$ 處的導數值為： $\left.\frac{dz}{dy}\right|_{y=47} = 4(47) + 1 = 188 + 1 = 189$

因此，$z$ 對原始變數 $x_1$ 與 $x_2$ 之偏微分分別為： $\frac{\partial z}{\partial x_1} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{\partial y}{\partial x_1} = 189 \times 2 = 378$ $\frac{\partial z}{\partial x_2} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{\partial y}{\partial x_2} = 189 \times 1 = 189$

步驟二：建立雅可比矩陣（Jacobian Matrix）

定義轉換向量 $F = \begin{Bmatrix} y \\ z \end{Bmatrix}$，其對變數向量 $X = \begin{Bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{Bmatrix}$ 的雅可比矩陣為： $J = \begin{bmatrix} \frac{\partial y}{\partial x_1} & \frac{\partial y}{\partial x_2} \\ \frac{\partial z}{\partial x_1} & \frac{\partial z}{\partial x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 378 & 189 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 189 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix}$

步驟三：應用矩陣誤差傳播定律求解共變異數矩陣