108 高普考高考二級 測量製圖 高等大地測量學（包括幾何大地、衛星定位測量） 考古題詳解

核心觀念

本題為高考二級測量製圖類科《高等大地測量學》之經典綜合題，共分為五個子題，分別評量物理大地測量、精密幾何水準測量規範、衛星軌道力學、幾何大地測量（橢球面幾何）以及衛星導航定位學的核心基礎：

1. 正高系統（Orthometric Height System）：探討以大地水準面（Geoid）為起算基準，沿重力垂線（Plumb Line）至地表測點的幾何距離，及其與重力位能（Geopotential Number）之物理關係。
2. 精密水準測量作業規範（偶數測站原則）：涉及內政部水準測量規範中消除標尺零點誤差（Zero-point Error / Index Error）之對稱觀測架構與誤差傳播原理。
3. 克卜勒軌道要素之近地點（Perigee）：涉及二體運動軌道橢圓幾何定義、近地點距離與拱線（Line of Apsides），並結合軌道根數之相對幾何關係。
4. 橢球體面之大地線（Geodesic）：評量旋轉橢球面上兩點間最短距離之空間曲線特性、測地曲率為零之性質，以及克萊勞定理（Clairaut's Theorem）。
5. 精度幾何因子（DOP, Dilution of Precision）：評量 GNSS 最小二乘法觀測方程式中，由衛星與接收機幾何空間構形所決定之誤差放大係數及其矩陣推導。

解題方法

(一) 正高（Orthometric Height）系統之定義與內涵

1. 幾何與物理定義： 地面上一點 $P$ 之正高（以符號 $H$ 表示），是指自大地水準面（Geoid，即 $W = W_0$ 的重力等位面）起，沿著通過該點之實際重力垂線（Plumb line，為彎曲的重力線）積分量測至該點的空間幾何距離。

2. 數學推導與重力位之關係： 重力位能差（位數，Geopotential Number）$C$ 定義為： $C = W_0 - W_P = \int_{0}^{H} g \, dh$ 其中 $W_0$ 為大地水準面之重力位，$W_P$ 為 $P$ 點之重力位，$g$ 為垂線上任一點的實際重力值。 正高 $H$ 與位數 $C$ 之關係式為： $H = \frac{C}{\bar{g}} = \frac{W_0 - W_P}{\bar{g}}$ 其中 $\bar{g}$ 為由大地水準面至地表 $P$ 點間，沿垂線路徑之平均重力值（Mean Gravity along the plumb line）。

3. 實務計算之海爾默特（Helmert）近似法： 因地球內部地殼密度無法精確探知，實際計算時常採用海爾默特近似公式估算平均重力值 $\bar{g}$： $\bar{g} \approx g_P + 0.0424 \cdot H$ （式中地表重力 $g_P$ 單位為 $\text{Gal}$，正高 $H$ 單位為 $\text{km}$）。正高具備明確的物理意義，完全反映水流受重力驅動之方向，是大規模高程控制測量的主要基準系統。

(二) 一等水準測量規範中每測段測站數為偶數之目的

法規依據說明：本題以命題當年（民國 108 年）有效之內政部《一、二等水準測量作業規範》為準（現行規定亦維持此核心技術要求）。

規範明定每一測段（即兩已知水準點或固定點間）之測站數必須為「偶數站」（Even number of instrument stations），其主要目的在於完全消除兩支水準標尺之零點誤差（Zero-point Error / Scale Index Error）對測段總高差的累積影響。

數學與作業原理解析：

1. 標尺交替作業程序： 一等水準測量作業必定同時使用一組（兩支）精密因瓦（Invar）水準標尺，分別標註為標尺 1（尺 A）與標尺 2（尺 B）。作業時採前後視交替推進：

• 第 1 站：後視尺 A、前視尺 B。
• 第 2 站：後視尺 B、前視尺 A。
• 第 3 站：後視尺 A、前視尺 B。
• 第 $2n$ 站（偶數站）：後視尺 B、前視尺 A。

2. 誤差抵消推導： 設尺 A 之零點誤差為 $\delta_A$，尺 B 之零點誤差為 $\delta_B$。各站觀測高差 $\Delta h_i = (\text{後視讀數} - \text{前視讀數})$：

• 奇數站高差觀測值：$\Delta h_{\text{odd}} = (h_{R} + \delta_A) - (h_{F} + \delta_B) = (h_{R} - h_{F}) + (\delta_A - \delta_B)$
• 偶數站高差觀測值：$\Delta h_{\text{even}} = (h_{R} + \delta_B) - (h_{F} + \delta_A) = (h_{R} - h_{F}) + (\delta_B - \delta_A)$

當一測段包含 $2n$ 個測站（偶數站）時，累積總高差為： $\sum_{i=1}^{2n} \Delta h_i = \sum_{i=1}^{2n} (h_{R} - h_{F})_i + n(\delta_A - \delta_B) + n(\delta_B - \delta_A) = \sum_{i=1}^{2n} (h_{R} - h_{F})_i + 0$ 因此，零點差之系統誤差項完全相互抵消。若測站為奇數（$2n+1$），則殘留差值 $(\delta_A - \delta_B)$ 將直接計入該測段之總高差中，導致系統誤差累積。

(三) 克卜勒軌道元素之近地點（Perigee）說明與圖示

1. 定義： 在克卜勒二體問題中，人造衛星繞地球運動的軌跡為一橢圓，地球質心（地球中心）位於該橢圓的其中一個焦點（Focus, $F$）。衛星在該橢圓軌道上運行時，距離地心最近的點即稱為「近地點（Perigee）」；相對應地，距離地心最遠的點稱為「遠地點（Apogee）」。

2. 軌道幾何要素之關聯：

• 長半軸（$a$）與偏心率（$e$）：近地點距地心距離為 $r_p = a(1 - e)$；遠地點距地心距離為 $r_a = a(1 + e)$。
• 拱線（Line of Apsides）：連接近地點、地心焦點與遠地點之長軸連線。
• 近地點幅角（Argument of Perigee, $\omega$）：克卜勒六大軌道根數之一，定義為軌道面上由升交點（Ascending Node）沿衛星運動方向量至「近地點」之地心夾角。
• 真近點角（True Anomaly, $\nu$ 或 $f$）：衛星即時位置與近地點之間的夾角，以近地點作為空間運動角度的起算基準點（$\nu = 0^\circ$）。

3. 近地點示意圖：

 軌道短軸
 ^
 |
 . - - - - - + - - - - - .
 ' | '
 ' | '
 / | \
 | | |
 | A (遠地點) | F (地心焦點) | P (近地點)
====+===================+====O==============+====> 長軸 (拱線)
 | ra = a(1+e) | |<-- rp=a(1-e)->|
 \ | | (地球質心) /
 ' | | '
 ' | | '
 . - - - - - + - -+- - - - .
 | |
 |<--- a ---------->| (長半軸)

(四) 假設地球為橢球體，說明大地線（Geodesic）並輔以圖示

1. 定義： 在旋轉橢球面上，連接兩點間距離最短的表面幾何曲線，稱為大地線（Geodesic），又稱測地線。

2. 幾何特性：

• 主法線重合性質：大地線上任意點的曲線主法線（Principal Normal，即曲線曲率向量方向），必定與該點在橢球面上的表面法線（Surface Normal）重合。換言之，大地線在橢球面上的測地曲率恆等於零（$\kappa_g = 0$）。
• 與法截線（Normal Section）之關係： 在旋轉橢球面上，由 $P_1$ 點瞄準 $P_2$ 點所形成的法截面，與由 $P_2$ 點瞄準 $P_1$ 點所形成的法截面並不重合（互為相對法截線）。大地線並非平面曲線，而是一條介於正向法截線與反向法截線之間的空間扭曲曲線（距離在數百公里內時極為接近兩法截線之夾中位置）。

核心觀念

1. 國際地球參考框架（ITRF）之定義與實現差異 不同的 ITRF 實現（如 ITRF2014 與 ITRF94）在原點（地心位置）、方位定向（坐標軸指向）及尺度上存在微小的系統性差異。空間中任意點在兩框架間的卡氏坐標轉換，依據國際地球自轉與參考系統服務（IERS）規範，採用三維微小旋轉的布爾莎－沃爾夫（Bursa-Wolf）7 參數相似轉換模型（Helmert 轉換）。
2. 時變 14 參數轉換模型（Time-Dependent Transformation） 由於板塊運動構造模型（如 NNR-NUVEL-1A）的設定、觀測網形與觀測資料時間跨度的差異，兩參考框架之間的相對幾何關係會隨時間呈線性演化。因此，IERS 提供的轉換參數包含基準曆元 $t_0$ 下的 7 項靜態參數（平移量 $T_x, T_y, T_z$、旋轉量 $R_x, R_y, R_z$、尺度參數 $D$）以及其對應的 7 項年變率（Rates of change：$\dot{T}_x, \dot{T}_y, \dot{T}_z, \dot{R}_x, \dot{R}_y, \dot{R}_z, \dot{D}$），合稱 14 參數模型。
3. 坐標曆元演變的雙重機制 由曆元 2010.0 轉換至 1997.0，坐標變化來自兩部分：

• 框架本身的時間漂移：兩框架之間的相對平移、旋轉與尺度隨時間變化，透過 14 參數模型的年變率進行修正。
• 測站本體的板塊運動：地表測站隨構造板塊位移，理論上需透過測站自身的運動速度向量 $\mathbf{V} = (\dot{X}, \dot{Y}, \dot{Z})^T$ 將實體位置外推至目標曆元。

解題方法

本題目標是將 ITRF2014 於曆元 $t_1 = 2010.0$ 的坐標 $(X, Y, Z)$，轉換為 ITRF94 於曆元 $t_2 = 1997.0$ 的坐標 $(X', Y', Z')$。轉換流程分為三大步驟：

步驟一：計算目標曆元之框架轉換參數

題目給定轉換參數的基準曆元為 $t_0 = 2010.0$。目標曆元為 $t = 1997.0$。 計算目標曆元與基準曆元之時間差 $\Delta t$： $\Delta t = t - t_0 = 1997.0 - 2010.0 = -13.0 \text{ 年}$

利用各參數之年變量，將 7 項轉換參數外推至目標曆元 $1997.0$： $T_x(1997.0) = T_x(2010.0) + \dot{T}_x \cdot \Delta t = T_x - 13.0 \cdot \dot{T}_x$ $T_y(1997.0) = T_y(2010.0) + \dot{T}_y \cdot \Delta t = T_y - 13.0 \cdot \dot{T}_y$ $T_z(1997.0) = T_z(2010.0) + \dot{T}_z \cdot \Delta t = T_z - 13.0 \cdot \dot{T}_z$ $R_x(1997.0) = R_x(2010.0) + \dot{R}_x \cdot \Delta t = R_x - 13.0 \cdot \dot{R}_x$ $R_y(1997.0) = R_y(2010.0) + \dot{R}_y \cdot \Delta t = R_y - 13.0 \cdot \dot{R}_y$ $R_z(1997.0) = R_z(2010.0) + \dot{R}_z \cdot \Delta t = R_z - 13.0 \cdot \dot{R}_z$ $D(1997.0) = D(2010.0) + \dot{D} \cdot \Delta t = D - 13.0 \cdot \dot{D}$

步驟二：測站坐標之曆元推算（板塊運動考量）

實體測站在空間中的幾何位置隨時間變動。嚴密計算下，若已知測站在 ITRF2014 框架下的運動速度向量 $\mathbf{V}_{ITRF2014} = [V_X, V_Y, V_Z]^T$，測站坐標應先由曆元 2010.0 外推至曆元 1997.0： $\begin{bmatrix} X(1997.0) \\ Y(1997.0) \\ Z(1997.0) \end{bmatrix}_{ITRF2014} = \begin{bmatrix} X(2010.0) \\ Y(2010.0) \\ Z(2010.0) \end{bmatrix}_{ITRF2014} + \begin{bmatrix} V_X \\ V_Y \\ V_Z \end{bmatrix}_{ITRF2014} \cdot \Delta t$ 若題目僅提供框架轉換參數而無測站個別速度向量，則在純幾何框架轉換架構下，視測站無自主性板塊漂移（或速度項已由框架整體變量概括吸收），直接以給定坐標代入。

步驟三：列出三維布爾莎－沃爾夫（Bursa-Wolf）相似轉換矩陣式

依據 IERS 標準轉換模型，將 ITRF2014 坐標轉換至 ITRF94 坐標之公式如下：

核心觀念

1. 正球體表面之最短距離（大圓弧長，Great Circle Distance）： 在曲率均勻的正球體表面上，兩點之間的最短路徑必為通過該兩點及球心 $O$ 所構成之「大圓」（Great Circle）在兩點間的劣弧長度（弧長 $S$）。若該大圓弧所對應的地心夾角（中心角）為 $\sigma$（以弧度 $\text{rad}$ 為單位），正球體半徑為 $R$，則最短距離公式為： $S = R \cdot \sigma$

2. 極距三角形（球面三角形 $P\text{-}A\text{-}B$）之幾何要素： 在北半球取北極點 $P$（緯度 $\phi = +90^\circ$）與地表兩點 $A(\lambda_A, \phi_A)$、$B(\lambda_B, \phi_B)$，三點由大圓弧相連可構成一球面三角形 $\triangle PAB$：

• 極距（餘緯度，Colatitude）：
• 弧段 $PA$ 之角距離 $b = 90^\circ - \phi_A$
• 弧段 $PB$ 之角距離 $a = 90^\circ - \phi_B$
• 頂點夾角（經度差，Difference in Longitude）：
• 北極頂點 $P$ 處之夾角 $\Delta\lambda = |\lambda_B - \lambda_A|$（若大於 $180^\circ$，取 $360^\circ - |\lambda_B - \lambda_A|$）
• 待求邊（地心角，Central Angle）：
• 弧段 $AB$ 對應之角距離 $c = \sigma$

3. 球面三角學之「邊的餘弦定理」（Spherical Law of Cosines for Sides）： 在任意球面三角形 $\triangle ABC$ 中，對應頂點 $C$ 之邊長 $c$ 與夾邊 $a, b$ 滿足： $\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C$

解題方法

步驟一：繪製球面幾何示意圖

設正球體球心為 $O$，北極點為 $P$。將北極點 $P$ 與兩點 $A$、$B$ 分別以經線大圓弧相連，並以大圓弧連接 $A$、$B$ 兩點，構成球面三角形 $\triangle PAB$。

 北極點 P (φ = 90°)
 / \
 / \
 極距 b / \ 極距 a
 (90° - φ_A)/ Δλ \ (90° - φ_B)
 / \
 / \
 A ●-----------● B
 \ 弧長 S /
 \ (角距 σ)/
 \ /
 R \ / R
 \ /
 ● 球心 O

步驟二：推導兩點之地心夾角 $\sigma$

在球面三角形 $\triangle PAB$ 中，以北極點 $P$ 為頂角，應用「球面邊之餘弦定理」： $\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos P$

將各幾何要素代入：

• $c = \sigma$
• $a = 90^\circ - \phi_B$
• $b = 90^\circ - \phi_A$
• $P = \Delta\lambda = \lambda_B - \lambda_A$

展開式子： $\cos \sigma = \cos(90^\circ - \phi_B) \cos(90^\circ - \phi_A) + \sin(90^\circ - \phi_B) \sin(90^\circ - \phi_A) \cos(\lambda_B - \lambda_A)$

由三角函數餘角關係可知：

• $\cos(90^\circ - \phi) = \sin \phi$
• $\sin(90^\circ - \phi) = \cos \phi$

代入整理可得地心角 $\sigma$ 之餘弦通式： $\cos \sigma = \sin \phi_A \sin \phi_B + \cos \phi_A \cos \phi_B \cos(\lambda_B - \lambda_A)$

取反餘弦函數（$\arccos$），即可求得地心角 $\sigma$： $\sigma = \arccos\left(\sin \phi_A \sin \phi_B + \cos \phi_A \cos \phi_B \cos(\lambda_B - \lambda_A)\right)$

步驟三：計算球面最短距離 $S$

球面上連接 $A$、$B$ 之大圓劣弧長度即為最短距離 $S$： $S = R \cdot \sigma = R \cdot \arccos\left(\sin \phi_A \sin \phi_B + \cos \phi_A \cos \phi_B \cos(\lambda_B - \lambda_A)\right)$ 注意：公式中反餘弦計算所得之 $\sigma$ 必須以「弧度（radians）」表示；若為角度制（度），須乘以 $\frac{\pi}{180^\circ}$ 轉換。

補充推導（向量法驗證與數值穩定性）

1. 空間直角坐標（向量內積法）： 設球心為原點，兩點之單位方向向量分別為： $\vec{u}_A = \begin{bmatrix} \cos \phi_A \cos \lambda_A \\ \cos \phi_A \sin \lambda_A \\ \sin \phi_A \end{bmatrix}, \quad \vec{u}_B = \begin{bmatrix} \cos \phi_B \cos \lambda_B \\ \cos \phi_B \sin \lambda_B \\ \sin \phi_B \end{bmatrix}$ 兩向量內積為： $\vec{u}_A \cdot \vec{u}_B = |\vec{u}_A| |\vec{u}_B| \cos \sigma = \cos \sigma$ 展開後直接得到：

核心觀念

本題旨在測驗大地測量學中「高程系統之物理與幾何定義」、「幾何高與物理高之轉換關係」，以及「跨海（本島與離島間）無水準實體聯測條件下的垂直基準統一技術」。

1. 三大高程系統之定義與基準面：

• 橢球高（Ellipsoidal height, $h$）：幾何高程。點沿參考橢球面法線至參考橢球面（如 GRS80）的幾何距離，無物理意義，由 GNSS 定位直接求得。
• 正高（Orthometric height, $H$）：物理高程。點沿真實重力鉛垂線至大地水準面（Geoid, $W=W_0$ 等位面）的弧長距離： $H = \frac{C}{\bar{g}}$ 其中 $C = W_0 - W_P$ 為重力位數（Geopotential number），$\bar{g}$ 為由地表至大地水準面沿鉛垂線之平均重力值。
• 正常高（Normal height, $H^*$）：物理高程。點沿正常重力垂線至似大地水準面（Quasi-geoid）的距離： $H^* = \frac{C}{\bar{\gamma}}$ 其中 $\bar{\gamma}$ 為地表至似大地水準面沿正常鉛垂線之平均正常重力值。

2. 高程系統間之基本轉換關係：

• 橢球高與正高：$h = H + N$（$N$ 為大地水準面差距，Geoidal undulation）
• 橢球高與正常高：$h = H^* + \zeta$（$\zeta$ 為高程異常，Height anomaly）
• 正高與正常高：$H - H^* = \zeta - N$

3. 臺灣本島與離島高程轉換之核心問題：

• 臺灣海峽相隔，無法實施跨海幾何水準測量與重力聯測。
• 本島採用「臺灣高程基準2001（TWVD2001）」（以基隆潮位站平均海水面為零點）；離島（澎湖、金門、馬祖、綠島、蘭嶼）歷來各自依當地驗潮站獨立建立局部平均海水面（Local Mean Sea Level, LMSL）作為零高程。
• 由於海面地形（Sea Surface Topography, SST）的存在，各島局部大地水準面與本島 TWVD2001 存在未知基準偏差（Datum Offset, $\Delta H_0$）。

解題方法

本題之解題切入點應分為兩層次：第一層為「同一測區內三大高程系統之理論轉換公式」，第二層為「跨海情況下，本島與離島高程基準之統一與轉換模式」。

一、三大高程系統之數學轉換列式

1. 橢球高與正高之轉換： $H = h - N$ 若已知測點之 GNSS 橢球高 $h$ 及該點之大地水準面差距 $N$，即可求得正高 $H$。

2. 橢球高與正常高之轉換： $H^* = h - \zeta$ 若已知測點之 GNSS 橢球高 $h$ 及該點之高程異常 $\zeta$，即可求得正常高 $H^*$。

3. 正高與正常高之互轉： 由兩者定義，正高與正常高之差可推導為： $H - H^* = \zeta - N = \frac{C}{\bar{g}} - \frac{C}{\bar{\gamma}} = C \cdot \frac{\bar{\gamma} - \bar{g}}{\bar{g}\bar{\gamma}} \approx H \cdot \frac{\bar{\gamma} - \bar{g}}{\bar{\gamma}}$ 在大地測量實務中，利用普雷重力補正（Prey reduction）或赫爾默特（Helmert）近似，平均重力 $\bar{g}$ 與平均正常重力 $\bar{\gamma}$ 之差值主要由布格重力異常（Bouguer gravity anomaly, $\Delta g_B$）主導： $H - H^* = \zeta - N \approx \frac{\Delta g_B}{\bar{\gamma}} H$

• 當 $\Delta g_B > 0$（如高山重力實測值偏高），則 $\zeta > N$，$H > H^*$；
• 平原或離島海域若 $\Delta g_B \approx 0$，則正高與正常高極為接近。

二、臺灣本島與離島間跨海高程系統轉換步驟

由於幾何水準無法跨海，本島與離島間之轉換必須藉由「統一幾何基準（GNSS）」與「連續物理重力場模型（混合大地水準面模型）」作為中介橋梁。

[本島系統: TWVD2001] [離島系統: Local Datum]
 │ │
 (水準聯測) (水準聯測)
 ▼ ▼
 H_TWVD, N_TWVD H_Local, N_Local
 │ │
 └───────► [ 統一幾何橢球高 h (TWD97/ITRF) ] ◄───────┘
 ▲
 │
 [ 跨海高精度重力大地水準面模型 ]

步驟一：以 GNSS 衛星定位技術統一本島與離島之橢球高（$h$）

1. 納入全臺灣與各離島之中央氣象署、內政部衛星追蹤站（CORS），以 TWD97（或最新 ITRF 框架）進行高精度長基線網平差。
2. 由於參考橢球（GRS80）為全域數學幾何曲面，不具跨海阻隔性，本島與各離島之空間三維幾何坐標 $(X, Y, Z)$ 與橢球高 $h$ 自然納入同一統一基準架構： $h_{\text{島}} = h_{\text{TWD97}}$

步驟二：建置涵蓋海峽的跨海高精度混合大地水準面模型（$N$ 或 $\zeta$）

1. 結合空載重力測量（Airborne Gravimetry）、船測重力、衛星測高（Satellite Altimetry）與 GOCE/GRACE 全球重力位模型，建立覆蓋臺灣本島、臺灣海峽及各離島連續的無縫純重力大地水準面模型 $N_{\text{grav}}$ 與似大地水準面模型 $\zeta_{\text{grav}}$。
2. 該模型在海域與島嶼間具備連續性，克服了跨海缺乏水準點之限制。