113 高普考高考三級 農業行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考的是投資組合的期望報酬與風險（變異數）計算，屬於統計學中「隨機變數線性組合」的應用，核心公式有三組：

1. 投資組合期望報酬率（線性組合的期望值）： $E(R_p) = w_A E(R_A) + w_B E(R_B)$

2. 投資組合變異數（線性組合的變異數，須考慮共變異數）： $Var(R_p) = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_A w_B \, Cov(R_A,R_B)$ 其中 $Cov(R_A,R_B) = \rho_{AB}\sigma_A\sigma_B$

3. 變異係數（衡量相對風險，消除單位/量級差異）： $CV = \frac{\sigma}{\mu}$

另外第(三)小題涉及經驗法則（68-95-99.7 法則）：若報酬率近似常態分配，則 $\mu \pm 1\sigma$ 區間約涵蓋 68% 的機率，可作為「合理波動範圍」的估計依據，是投資實務上簡化版的風險值（VaR）概念。

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解題方法

(一) 投資組合平均報酬率

$$E(R_p) = w_A \mu_A + w_B \mu_B = 0.7 \times 0.12 + 0.3 \times 0.05$$ $$= 0.084 + 0.015 = 0.0990$$

平均數 $= 9.90\%$

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(二) 投資組合標準差與 $\pm 1\sigma$ 上下限

Step 1：代入變異數公式

$$\sigma_p^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2w_Aw_B\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B$$

分項計算：

• $w_A^2\sigma_A^2 = 0.7^2 \times 0.15^2 = 0.49 \times 0.0225 = 0.011025$
• $w_B^2\sigma_B^2 = 0.3^2 \times 0.08^2 = 0.09 \times 0.0064 = 0.000576$
• $2w_Aw_B\rho\sigma_A\sigma_B = 2\times0.7\times0.3\times(-0.3)\times0.15\times0.08$

逐步相乘：$2\times0.7\times0.3=0.42$；$0.42\times(-0.3)=-0.126$；$-0.126\times0.15=-0.0189$；$-0.0189\times0.08=-0.001512$

Step 2：加總

$$\sigma_p^2 = 0.011025 + 0.000576 - 0.001512 = 0.010089$$

Step 3：開根號

$$\sigma_p = \sqrt{0.010089} \approx 0.10044$$

（驗算：$0.1004^2=0.01008016$，$0.1005^2=0.01010025$，用線性插值得 $\sigma_p\approx0.10044$，四捨五入至第4位為 $0.1004$）

Step 4：計算上下限

• 上限：$\mu_p + \sigma_p = 0.0990 + 0.1004 = 0.1994$（即 $19.94\%$）
• 下限：$\mu_p - \sigma_p = 0.0990 - 0.1004 = -0.0014$（即 $-0.14\%$）

上限 $= 19.94\%$，下限 $= -0.14\%$

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(三) 理專建議的統計理由

若假設投資組合報酬率近似常態分配，則依據經驗法則（68-95-99.7 法則）：

$$P(\mu_p - \sigma_p \le R_p \le \mu_p + \sigma_p) \approx 68\%$$

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核心觀念

本題考的是最小平方法（OLS）在變數變換下的性質，涉及三個統計學核心結論：

1. OLS 正規方程式：對模型 $Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$，最小化 $\sum(Y_i-\beta_0-\beta_1X_i)^2$，得到

$$\hat\beta_1=\dfrac{\sum(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sum(X_i-\bar X)^2}=\dfrac{S_{XY}}{S_{XX}},\qquad \hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X$$

2. 迴歸線必過樣本平均點 $(\bar X,\bar Y)$：這是正規方程式 $\sum Y_i=n\hat\beta_0+\hat\beta_1\sum X_i$ 兩邊除以 $n$ 直接得到的性質，本題三小題都會反覆用到。
3. 平移（centering）不改變斜率、標準化（standardizing）會把斜率變成相關係數、0/1 虛擬變數迴歸等價於兩組平均數比較——這三個結論是本題要推導的標的，也是往後考「虛擬變數迴歸」「標準化迴歸係數」的基礎。

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解題方法與詳細推導

(一) 中心化變換 $Y_i'=Y_i-\bar Y,\ X_i'=X_i-\bar X$

對 $Y_i'=c+dX_i'+e_i$ 做 OLS，公式結構與原模型相同，只是把 $X,Y$ 換成 $X',Y'$：

$$d=\dfrac{\sum(X_i'-\bar{X'})(Y_i'-\bar{Y'})}{\sum(X_i'-\bar{X'})^2},\qquad c=\bar{Y'}-d\,\bar{X'}$$

關鍵一步：先算 $X',Y'$ 的樣本平均數：

$$\bar{X'}=\frac{1}{n}\sum(X_i-\bar X)=\bar X-\bar X=0,\qquad \bar{Y'}=\bar Y-\bar Y=0$$

代回去：

$$d=\dfrac{\sum(X_i-\bar X-0)(Y_i-\bar Y-0)}{\sum(X_i-\bar X-0)^2} =\dfrac{\sum(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sum(X_i-\bar X)^2}=\hat\beta_1$$ $$c=\bar{Y'}-d\,\bar{X'}=0-d\cdot 0=0$$

結論：

$$\boxed{c=0,\qquad d=\hat\beta_1}$$

直觀理解：中心化只是把座標原點平移到 $(\bar X,\bar Y)$，斜率是「變化率」，不受平移影響；而平移後的資料本身平均數為 0，迴歸線又必過 $(\bar X',\bar Y')=(0,0)$，故截距自然為 0。

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(二) 標準化變換 $Y_i^*=Y_i/s_Y,\ X_i^*=X_i/s_X$

先求 $X^*,Y^*$ 的平均數：

$$\bar{X^*}=\dfrac{\bar X}{s_X},\qquad \bar{Y^*}=\dfrac{\bar Y}{s_Y}$$

斜率：

$$h=\dfrac{\sum(X_i^*-\bar{X^*})(Y_i^*-\bar{Y^*})}{\sum(X_i^*-\bar{X^*})^2}$$

因為 $X_i^*-\bar{X^*}=\dfrac{X_i-\bar X}{s_X}$，$Y_i^*-\bar{Y^*}=\dfrac{Y_i-\bar Y}{s_Y}$，代入：

$$h=\dfrac{\displaystyle\sum\frac{(X_i-\bar X)}{s_X}\cdot\frac{(Y_i-\bar Y)}{s_Y}}{\displaystyle\sum\frac{(X_i-\bar X)^2}{s_X^{2}}} =\dfrac{s_X}{s_Y}\cdot\dfrac{\sum(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sum(X_i-\bar X)^2} =\dfrac{s_X}{s_Y}\,\hat\beta_1$$

進一步化簡成相關係數：設 $S_{XY}=\sum(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$，$S_{XX}=\sum(X_i-\bar X)^2=(n-1)s_X^2$（用 $n$ 或 $n-1$ 皆可，比值不受影響），則

$$h=\dfrac{s_X}{s_Y}\cdot\dfrac{S_{XY}}{(n-1)s_X^2}=\dfrac{S_{XY}}{(n-1)s_Xs_Y}=r$$

其中 $r$ 即樣本（皮爾森）相關係數。

再求截距 $c$：利用迴歸線必過平均點的性質，

$$c=\bar{Y^*}-h\,\bar{X^*}=\dfrac{\bar Y}{s_Y}-\dfrac{s_X}{s_Y}\hat\beta_1\cdot\dfrac{\bar X}{s_X} =\dfrac{\bar Y-\hat\beta_1\bar X}{s_Y}=\dfrac{\hat\beta_0}{s_Y}$$

（這裡用了原模型正規方程式 $\hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X$。）

結論：

$$\boxed{c=\dfrac{\hat\beta_0}{s_Y},\qquad h=\dfrac{s_X}{s_Y}\hat\beta_1=r}$$

這是統計學的經典結果：兩變數都標準化後做迴歸，斜率恰為兩變數的相關係數。

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(三) $X$ 為 0/1 虛擬變數

設第一組（$X_i=1,\ i=1,\dots,n_1$）之 $Y$ 平均數為 $\bar Y_1$，第二組（$X_i=0,\ i=n_1+1,\dots,n$）之 $Y$ 平均數為 $\bar Y_2$：

核心觀念

本題整合三個統計推論主題：

1. 兩獨立樣本比例差異的 $Z$ 檢定：在大樣本（可用中央極限定理近似為常態分配）下，檢定兩個獨立二項分配的成功機率 $p_F$、$p_M$ 是否相等。
2. $2\times2$ 列聯表的卡方齊一性檢定：把同樣的資料放進列聯表框架，用卡方適合度統計量檢定兩組內部比例分布是否一致。
3. 卡方三大檢定的區分：適合度檢定（goodness-of-fit）、齊一性檢定（homogeneity）、獨立性檢定（independence），關鍵在於「抽樣設計」——邊際總數（margin）是否為抽樣前就固定的常數。

三小題背後有一條隱藏的重要關係：當卡方檢定的自由度為 1 時，$\chi^2 = Z^2$，兩者是完全等價的檢定，這也是驗算答案的最佳工具。

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解題方法

(一) 兩獨立樣本比例差異的 $Z$ 檢定

資料整理

	樣本數 $n$	偏好 A 人數 $x$	樣本比例 $\hat p$
女性	$n_F=100$	$x_F=85$	$\hat p_F=0.85$
男性	$n_M=100$	$x_M=75$	$\hat p_M=0.75$

假設設立

$H_0: p_F = p_M \quad \text{vs} \quad H_1: p_F \neq p_M$

檢定統計量推導

在 $H_0$ 成立下，兩組共用同一個機率 $p$，故應以「合併比例」（pooled proportion）估計共同的 $p$：

$\hat p = \dfrac{x_F+x_M}{n_F+n_M} = \dfrac{85+75}{100+100} = \dfrac{160}{200} = 0.8$

由中央極限定理，$\hat p_F - \hat p_M$ 近似常態分配，其變異數在 $H_0$ 下為

$\mathrm{Var}(\hat p_F-\hat p_M) = \hat p(1-\hat p)\left(\dfrac{1}{n_F}+\dfrac{1}{n_M}\right)$

代入數值：

$\mathrm{Var} = 0.8\times0.2\times\left(\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{100}\right) = 0.16\times0.02 = 0.0032$

$\text{標準誤} = \sqrt{0.0032}\approx 0.05657$

檢定統計量：

$Z = \dfrac{\hat p_F-\hat p_M}{\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_F}+\frac{1}{n_M}\right)}} = \dfrac{0.85-0.75}{0.05657}\approx 1.768$

決策

顯著水準 $\alpha=0.05$，雙尾檢定臨界值 $Z_{0.025}=1.96$。

因為 $|Z| = 1.768 < 1.96$，不拒絕 $H_0$，表示無充分證據顯示女性與男性對 A 手機的偏好度有差異。

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(二) $2\times2$ 列聯表卡方檢定

列聯表（觀察值）

	偏好 A	非 A	合計
女性	85	15	100
男性	75	25	100
合計	160	40	200

假設設立

$H_0:\ \text{女性組內 A 與非 A 之比例} = \text{男性組內 A 與非 A 之比例}$ $H_1:\ \text{兩者比例不同}$

期望值計算

在 $H_0$ 下，每一格的期望值 $E_{ij}=\dfrac{(\text{該列合計})\times(\text{該欄合計})}{\text{總合計}}$：

$E_{11}=\dfrac{100\times160}{200}=80,\quad E_{12}=\dfrac{100\times40}{200}=20$ $E_{21}=\dfrac{100\times160}{200}=80,\quad E_{22}=\dfrac{100\times40}{200}=20$

卡方統計量

$\chi^2 = \sum \dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$

核心觀念

本題考「兩獨立樣本平均數差異檢定」的兩種等價作法：

1. 兩獨立樣本 $t$ 檢定（假設變異數相等，用混合變異數（pooled variance））。
2. 單因子變異數分析（One-Way ANOVA），檢定 $k=2$ 組平均數是否相等。

理論核心在於：當只有兩組時，ANOVA 的 $F$ 檢定與兩樣本 $t$ 檢定完全等價，關係式為

$t^2 = F_{1,\,n}$

這是因為 $t$ 分配與 $F$ 分配的定義都是由「標準常態 $Z$」與「卡方分配」建構出來的。本題用到的公式：

• 樣本變異數：$s^2=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}$
• 混合變異數：$S_p^2=\dfrac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2}$
• 兩樣本 $t$ 統計量：$t=\dfrac{\bar X_A-\bar X_B}{\sqrt{S_p^2\left(\frac1{n_A}+\frac1{n_B}\right)}}$
• ANOVA 分解：$SST=SSB+SSW$
• $t$ 分配與 $F$ 分配的建構式定義（見第(三)小題）

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解題方法

(一) 兩樣本 $t$ 檢定統計量

基本統計量

$$\bar X_A=\frac{29+31+32+32+33+35}{6}=\frac{192}{6}=32,\qquad \bar X_B=\frac{32+33+34+35+41+41}{6}=\frac{216}{6}=36$$

離均差平方和

A 產業（以 $\bar X_A=32$ 為中心）： $(-3)^2+(-1)^2+0^2+0^2+1^2+3^2=9+1+0+0+1+9=20$ $s_A^2=\frac{20}{6-1}=4$

B 產業（以 $\bar X_B=36$ 為中心）： $(-4)^2+(-3)^2+(-2)^2+(-1)^2+5^2+5^2=16+9+4+1+25+25=80$ $s_B^2=\frac{80}{6-1}=16$

混合變異數

$S_p^2=\frac{(6-1)(4)+(6-1)(16)}{6+6-2}=\frac{20+80}{10}=10$

t 統計量

$$t=\frac{\bar X_A-\bar X_B}{\sqrt{S_p^2\left(\dfrac1{n_A}+\dfrac1{n_B}\right)}} =\frac{32-36}{\sqrt{10\left(\dfrac16+\dfrac16\right)}} =\frac{-4}{\sqrt{10\times \frac13}} =\frac{-4}{\sqrt{10/3}}$$

$t=\frac{-4}{1.8257}\approx -2.191,\qquad df=n_A+n_B-2=10$

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(二) 單因子變異數分析（ANOVA）

總平均數

$\bar X=\frac{192+216}{12}=\frac{408}{12}=34$

組間平方和（SSB, Treatment）

$$SSB=n_A(\bar X_A-\bar X)^2+n_B(\bar X_B-\bar X)^2 =6(32-34)^2+6(36-34)^2=6(4)+6(4)=48$$

組內平方和（SSW, Error）：即兩組各自的離均差平方和相加（與 (一) 相同）

$SSW=SS_A+SS_B=20+80=100$

總平方和（SST）

$SST=SSB+SSW=48+100=148$

（可直接以 $\sum(x_{ij}-\bar X)^2$ 驗算，結果同樣為 $148$，兩者一致。）

自由度

• 組間：$df_{B}=k-1=2-1=1$
• 組內：$df_{W}=N-k=12-2=10$
• 總和：$df_{T}=N-1=11$

均方（MS）

$MSB=\frac{SSB}{df_B}=\frac{48}{1}=48,\qquad MSW=\frac{SSW}{df_W}=\frac{100}{10}=10$

F 統計量

$F=\frac{MSB}{MSW}=\frac{48}{10}=4.8$

ANOVA 表整理

變異來源	SS	df	MS	F
組間（Treatment）	$48$	$1$	$48$	$4.8$
組內（Error）	$100$	$10$	$10$
總和（Total）	$148$	$11$