107 高普考高考三級 農業機械 熱力學 考古題詳解

核心觀念

本題評量純物質（水）在壓力—體積圖（$P$-$V$ 或 $P$-$v$ 相圖）中，相態判斷與熱力學基本過程之幾何與物理特性：

1. 純物質相態與飽和包絡線（Vapor Dome）分佈：

• 飽和液體線（Saturated Liquid Line）：鐘形包絡線左半側，乾度 $x = 0$，比容為 $v_f$。
• 飽和汽體線（Saturated Vapor Line）：鐘形包絡線右半側，乾度 $x = 1$，比容為 $v_g$。
• 臨界點（Critical Point, CP）：飽和液體線與飽和汽體線於頂端之交會點。
• 壓縮液體區（Compressed Liquid Region）：包絡線左側，狀態滿足 $P > P_{\text{sat}}(T)$ 或 $v < v_f$。
• 飽和液汽混合區（Wet Region / Mixture）：包絡線內部，氣液共存，乾度 $0 < x < 1$。依吉布斯相律（Gibbs Phase Rule），此區域自由度為 1，壓力與溫度互為相依變數，即 $P = P_{\text{sat}}(T)$。
• 過熱汽體區（Superheated Vapor Region）：包絡線右側，狀態滿足 $P < P_{\text{sat}}(T)$ 或 $v > v_g$。

2. 四大典型熱力學過程之幾何與熱力關係：

• 定壓過程（Isobaric Process）：$P = \text{常數}$，幾何表現為水平直線。
• 定容過程（Isochoric Process）：$V = \text{常數}$，幾何表現為垂直直線。
• 定溫過程（Isothermal Process）：$T = \text{常數}$。在單相區為向下傾斜之曲線；在兩相混合區內，因 $P = P_{\text{sat}}(T)$，等溫線必為水平線。
• 定熵過程（Isentropic Process）：$s = \text{常數}$（可逆絕熱過程）。其曲線在單相區與兩相區均向右下方傾斜，且斜率絕對值恆大於等溫線（$\left|\frac{\partial P}{\partial v}\right|_s > \left|\frac{\partial P}{\partial v}\right|_T$）。

3. 熱力學第一定律與功、熱計算式：

• 準平衡邊界功： $W_{12} = \int_1^2 P\, dV$
• 閉式系統能量方程式： $Q_{12} - W_{12} = \Delta U = m(u_2 - u_1)$
• 定壓過程吸放熱： $Q_{12} = \Delta H = m(h_2 - h_1)$

解題方法

本題切入點為依據純物質熱力狀態原理（State Postulate）與 $P$-$V$ 圖之幾何特徵判別路徑：

1. 依幾何軌跡判定過程：水平線對應壓力不變（定壓）；垂直線對應體積不變（定容）；在兩相區呈水平但在過熱區呈負斜率延伸者為等溫線（定溫）；全程呈陡峭負斜率下降者為等熵線（可逆絕熱）。
2. 依相對位置界定狀態相態：比對狀態點 1 與 2 落於包絡線之左側、線上、內部或右側，界定其為壓縮液體、飽和液體、飽和液汽混合物、飽和汽體或過熱汽體。
3. 結合熱力定律說明物理機制：分別列出功傳遞（$W$）、熱量交換（$Q$）及狀態參數（$P, V, T, u, h, s$）之消長。

選項分析

本題為申論問答題，無選擇選項。原卷題目附圖因掃描版面未標註數值座標，依命題常規判定圖形為純物質液汽平衡之四大基準熱力過程，分別針對（一）至（四）逐一深入剖析：

（一）定壓加熱膨脹過程（Isobaric Process）

• 狀態 1：位於飽和液體線上（乾度 $x_1 = 0$）或壓縮液體區。工質為飽和水（或過冷水），比容小，壓力為 $P_1$。
• 狀態 2：位於飽和汽體線上（乾度 $x_2 = 1$）或過熱汽體區。工質已完全汽化為乾飽和蒸汽（或過熱蒸汽），比容顯著增大（$V_2 \gg V_1$），壓力維持 $P_2 = P_1$。
• $1\rightarrow 2$ 過程：
• 過程性質：定壓加熱膨脹過程（在兩相區內同時為定壓定溫汽化相變過程）。
• 熱力分析：系統在此過程中吸熱，$P = \text{常數}$，對外作正邊界功： $W_{12} = P(V_2 - V_1) > 0$
• 輸入之熱量全數轉化為系統焓值的增加： $Q_{12} = \Delta H = m(h_2 - h_1)$ 在兩相區內所吸收之熱量即為汽化潛熱（$h_{fg}$），乾度隨熱量輸入由 $0$ 線性增至 $1$。

（二）定容加熱升壓過程（Isochoric Process）

• 狀態 1：位於較低壓力之飽和液汽混合區（濕蒸汽狀態），乾度為 $0 < x_1 < 1$。工質處於氣液共存，壓力為 $P_1$，溫度為 $T_1 = T_{\text{sat}}(P_1)$。
• 狀態 2：位於垂直路徑上方之高壓狀態。依初始比容與臨界比容之相對關係，終點通常落於較高壓力之兩相混合區、飽和線上或過熱汽體區。壓力 $P_2 > P_1$，溫度 $T_2 > T_1$。
• $1\rightarrow 2$ 過程：
• 過程性質：定容加熱升壓過程（如剛性密閉容器內之加熱過程）。
• 熱力分析：系統體積固定（$dV = 0$），系統不對外作邊界功： $W_{12} = \int_1^2 P\, dV = 0$

核心觀念

本題考查汽車渦輪增壓器（Turbocharger）之熱力循環分析，主要包含以下核心觀念與公式：

1. 理想氣體狀態方程式與比熱關係： 空氣視為理想氣體且比熱為常數，定壓比熱 $C_{p0}$ 與氣體常數 $R$ 之間的關係滿足： $\frac{k-1}{k} = \frac{R}{C_{p0}}, \quad \frac{k}{k-1} = \frac{C_{p0}}{R}$ 其中比熱比 $k = \frac{C_{p0}}{C_v} = \frac{C_{p0}}{C_{p0} - R}$。

2. 等熵過程（Isentropic Process）之壓力與溫度關係： 理想氣體在可逆絕熱過程中，溫度與壓力之關係式為： $\frac{T_b}{T_a} = \left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{\frac{k-1}{k}} = \left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{\frac{R}{C_{p0}}}$

3. 渦輪機等熵效率（Turbine Isentropic Efficiency, $\eta_T$）： 渦輪機為產生功之設備，實體輸出功小於理想等熵功： $\eta_T = \frac{w_T}{w_{Ts}} = \frac{h_3 - h_4}{h_3 - h_{4s}} = \frac{T_3 - T_4}{T_3 - T_{4s}}$

4. 壓縮機等熵效率（Compressor Isentropic Efficiency, $\eta_C$）： 壓縮機為消耗功之設備，實體輸入功大於理想等熵功： $\eta_C = \frac{w_{Cs}}{w_C} = \frac{h_{2s} - h_1}{h_2 - h_1} = \frac{T_{2s} - T_1}{T_2 - T_1}$

5. 渦輪增壓器軸功平衡： 渦輪機由引擎排氣驅動，輸出軸功全數用於帶動壓縮機以壓縮進氣。在無傳動損失假設下，兩者功率相等： $\dot{W}_C = \dot{W}_T \implies \dot{m}_C w_C = \dot{m}_T w_T$ 若忽略燃油質量加入（空氣標準假設，$\dot{m}_C = \dot{m}_T = \dot{m}$），則兩者之比功相等：$w_C = w_T$。

解題方法

基本物性指數計算

由題意，$C_{p0} = 1.0035\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，$R = 0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$： $\frac{R}{C_{p0}} = \frac{0.287}{1.0035} \approx 0.2860$ $\frac{C_{p0}}{R} = \frac{1.0035}{0.287} \approx 3.4965$

（一）求解渦輪機出口溫度與所輸出的功

1. 渦輪機進口狀態與理想出口溫度： 進口狀態 3：$P_3 = 170\ \mathrm{kPa}$，$T_3 = 650^\circ\mathrm{C} = 650 + 273.15 = 923.15\ \mathrm{K}$。 出口狀態 4：$P_4 = 100\ \mathrm{kPa}$。 若為等熵膨脹，理想出口溫度 $T_{4s}$ 為： $T_{4s} = T_3 \left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{\frac{R}{C_{p0}}} = 923.15 \times \left(\frac{100}{170}\right)^{0.2860} = 923.15 \times (0.5882)^{0.2860} \approx 793.17\ \mathrm{K}$

2. 實際出口溫度 $T_4$： 根據渦輪機等熵效率 $\eta_T = 85\% = 0.85$： $\eta_T = \frac{T_3 - T_4}{T_3 - T_{4s}} \implies T_3 - T_4 = \eta_T (T_3 - T_{4s})$ $T_3 - T_4 = 0.85 \times (923.15 - 793.17) = 0.85 \times 129.98 = 110.48\ \mathrm{K}$ $T_4 = 923.15 - 110.48 = 812.67\ \mathrm{K} \approx 539.52^\circ\mathrm{C}$

3. 渦輪機輸出功：

• 單位質量輸出比功（$w_T$）： $w_T = C_{p0}(T_3 - T_4) = 1.0035\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \times 110.48\ \mathrm{K} \approx 110.87\ \mathrm{kJ/kg}$

核心觀念

本題屬於熱力學中「反應系統與燃燒（Reacting Systems and Combustion）」的經典題型，考查固體燃料（燃煤）的元素分析（Ultimate Analysis）與燃燒計算。核心觀念與公式包含：

1. 元素分析質量分率（Mass Fraction, $w_i$）與莫耳數換算： 以 $100\text{ kg}$ 燃煤為基準，各成分質量即為其質量分率數值。成分莫耳數 $n_i = \frac{m_i}{M_i}$。
2. 完全燃燒化學計量方程式：

• 碳燃燒：$\mathrm{C} + \mathrm{O_2} \to \mathrm{CO_2}$
• 氫燃燒：$2\mathrm{H} + \frac{1}{2}\mathrm{O_2} \to \mathrm{H_2O}$（即 $1\text{ kmol}$ 的 $\mathrm{H}$ 需 $\frac{1}{4}\text{ kmol}$ 的 $\mathrm{O_2}$）
• 硫燃燒：$\mathrm{S} + \mathrm{O_2} \to \mathrm{SO_2}$

3. 燃料自帶氧的折抵： 煤炭本身含有氧元素（$\mathrm{O}$），在燃燒過程中會提供部分氧化劑，因此由外部空氣供給的理論氧氣量必須扣除燃料自身所含的氧。
4. 理論空氣量（Theoretical Air）與過剩空氣： $120\%$ 理論空氣代表實際供給的空氣量為理論空氣量的 $1.2$ 倍（即過剩空氣量為 $20\%$）： $n_{\mathrm{O_2, act}} = 1.2 \times n_{\mathrm{O_2, th}}$
5. 質量基底空燃比（Air-Fuel Ratio on Mass Basis, $AF$）： $AF = \frac{m_{\text{air}}}{m_{\text{fuel}}} = \frac{n_{\text{air}} \times M_{\text{air}}}{m_{\text{fuel}}}$

解題方法

步驟一：選定計算基準

取 $100\text{ kg}$ 之燃煤（As-received coal） 作為計算基準：

• 碳（$\mathrm{C}$）：$m_{\mathrm{C}} = 48.6\text{ kg}$
• 氫（$\mathrm{H}$）：$m_{\mathrm{H}} = 3.5\text{ kg}$
• 硫（$\mathrm{S}$）：$m_{\mathrm{S}} = 0.5\text{ kg}$
• 氧（$\mathrm{O}$）：$m_{\mathrm{O}} = 12.0\text{ kg}$
• 氮（$\mathrm{N}$）：$m_{\mathrm{N}} = 0.7\text{ kg}$
• 水分（$\mathrm{H_2O}$）：$m_{\mathrm{H_2O}} = 28.9\text{ kg}$
• 灰分（$\mathrm{Ash}$）：$m_{\mathrm{Ash}} = 5.8\text{ kg}$

步驟二：計算各元素莫耳數及理論需氧量

依題目提供之原子量（$\mathrm{H}=1, \mathrm{C}=12, \mathrm{S}=32, \mathrm{O}=16$）：

1. 碳氧化為 $\mathrm{CO_2}$ 所需氧量： $n_{\mathrm{C}} = \frac{48.6\text{ kg}}{12\text{ kg/kmol}} = 4.05\text{ kmol}$ $\mathrm{C} + \mathrm{O_2} \to \mathrm{CO_2} \implies n_{\mathrm{O_2, C}} = 4.05\text{ kmol}$

2. 氫氧化為 $\mathrm{H_2O}$ 所需氧量： $n_{\mathrm{H}} = \frac{3.5\text{ kg}}{1\text{ kg/kmol}} = 3.5\text{ kmol}$ $2\mathrm{H} + \frac{1}{2}\mathrm{O_2} \to \mathrm{H_2O} \implies n_{\mathrm{O_2, H}} = \frac{3.5}{4} = 0.875\text{ kmol}$

3. 硫氧化為 $\mathrm{SO_2}$ 所需氧量： $n_{\mathrm{S}} = \frac{0.5\text{ kg}}{32\text{ kg/kmol}} = 0.015625\text{ kmol}$ $\mathrm{S} + \mathrm{O_2} \to \mathrm{SO_2} \implies n_{\mathrm{O_2, S}} = 0.015625\text{ kmol}$

4. 燃料自帶氧之當量莫耳數（扣除項）： $n_{\mathrm{O}} = \frac{12.0\text{ kg}}{16\text{ kg/kmol}} = 0.75\text{ kmol (O 原子)}$ 換算為 $\mathrm{O_2}$ 分子： $n_{\mathrm{O_2, fuel}} = \frac{0.75}{2} = 0.375\text{ kmol}$

步驟三：計算自外部空氣供給的理論氧氣量（$n_{\mathrm{O_2, th}}$）

$n_{\mathrm{O_2, th}} = n_{\mathrm{O_2, C}} + n_{\mathrm{O_2, H}} + n_{\mathrm{O_2, S}} - n_{\mathrm{O_2, fuel}}$ $n_{\mathrm{O_2, th}} = 4.05 + 0.875 + 0.015625 - 0.375 = 4.565625\text{ kmol }\mathrm{O_2}$

核心觀念

本題為典型的理想再熱朗肯循環（Ideal Reheat Rankine Cycle）​熱力分析，主要測驗以下觀念與公式：

1. 循環各過程之熱力學特性：

• 狀態 $1 \to 2$：給水泵（Pump）可逆等熵壓縮，工作流體為不可壓縮液體，$w_{p,\mathrm{in}} \approx v_1(P_2 - P_1) = h_2 - h_1$。
• 狀態 $2 \to 3$：鍋爐內定壓吸熱，$q_{\mathrm{in,1}} = h_3 - h_2$。
• 狀態 $3 \to 4$：高壓渦輪機（HP Turbine）可逆等熵膨脹，$s_4 = s_3$，$w_{t,\mathrm{HP}} = h_3 - h_4$。
• 狀態 $4 \to 5$：再熱器（Reheater）定壓吸熱，$q_{\mathrm{reheat}} = h_5 - h_4$。
• 狀態 $5 \to 6$：低壓渦輪機（LP Turbine）可逆等熵膨脹，$s_6 = s_5$，$w_{t,\mathrm{LP}} = h_5 - h_6$。
• 狀態 $6 \to 1$：冷凝器（Condenser）定壓放熱，$q_{\mathrm{out}} = h_6 - h_1$。

2. 飽和液汽混合物性質與乾度（Quality, $x$）公式：

• $x = \frac{s - s_f}{s_{fg}} = \frac{s - s_f}{s_g - s_f}$
• $h = h_f + x \cdot h_{fg} = h_f + x(h_g - h_f)$

3. 循環熱效率（Thermal Efficiency, $\eta_{\mathrm{th}}$）：

• $\eta_{\mathrm{th}} = \frac{w_{\mathrm{net}}}{q_{\mathrm{in}}} = \frac{w_{t,\mathrm{total}} - w_{p,\mathrm{in}}}{q_{\mathrm{in,1}} + q_{\mathrm{reheat}}} = 1 - \frac{q_{\mathrm{out}}}{q_{\mathrm{in}}}$

解題方法

步驟一：確定各狀態點之熱力性質

狀態 1（冷凝器出口飽和液體）：

• 壓力 $P_1 = 10\ \mathrm{kPa}$
• 查飽和蒸汽表得： $h_1 = h_{f@10\mathrm{kPa}} = 191.81\ \mathrm{kJ/kg}$ $v_1 = v_{f@10\mathrm{kPa}} = 0.001010\ \mathrm{m^3/kg}$

狀態 2（給水泵出口）：

• 壓力 $P_2 = 5.0\ \mathrm{MPa} = 5000\ \mathrm{kPa}$
• 給水泵功： $w_{p,\mathrm{in}} = v_1(P_2 - P_1) = 0.001010\ \mathrm{m^3/kg} \times (5000 - 10)\ \mathrm{kPa} = 5.04\ \mathrm{kJ/kg}$
• 泵出口焓值： $h_2 = h_1 + w_{p,\mathrm{in}} = 191.81 + 5.04 = 196.85\ \mathrm{kJ/kg}$

狀態 3（高壓渦輪機進口）：

• 壓力 $P_3 = 5.0\ \mathrm{MPa}$，$T_3 = 400^\circ\mathrm{C}$
• 查過熱蒸汽表得： $h_3 = 3195.6\ \mathrm{kJ/kg}$ $s_3 = 6.6458\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

狀態 4（高壓渦輪機出口）：

• 壓力 $P_4 = 0.8\ \mathrm{MPa}$
• 理想等熵膨脹：$s_4 = s_3 = 6.6458\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$
• 查 $0.8\ \mathrm{MPa}$ 飽和表：$s_f = 2.0461\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，$s_g = 6.6627\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$
• 因 $s_f < s_4 < s_g$，狀態 4 位於微量濕蒸汽混合區，求乾度 $x_4$： $x_4 = \frac{s_4 - s_f}{s_g - s_f} = \frac{6.6458 - 2.0461}{6.6627 - 2.0461} = \frac{4.5997}{4.6166} \approx 0.99634$
• 焓值 $h_4$： $h_4 = h_f + x_4(h_g - h_f) = 721.10 + 0.99634 \times (2769.1 - 721.10) = 721.10 + 2040.50 = 2761.60\ \mathrm{kJ/kg}$

狀態 5（再熱後，低壓渦輪機進口）：

• 壓力 $P_5 = 0.8\ \mathrm{MPa}$，$T_5 = 400^\circ\mathrm{C}$
• 查過熱蒸汽表得： $h_5 = 3267.1\ \mathrm{kJ/kg}$ $s_5 = 7.5715\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

狀態 6（低壓渦輪機出口）：

• 壓力 $P_6 = 10\ \mathrm{kPa}$