109 高普考高考三級 農業機械 熱力學 考古題詳解

109 年・高普考・高考三級・農業機械
試題代碼 熱力學

第 一 題20 分

在下列之四個熱機 (a)、(b)、(c) 及 (d) 示意圖中，分別判定其為可逆熱機、不可逆熱機或不可能發生之熱機，並闡述其理由。

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核心觀念

熱機在循環運轉時，工作流體回到初態，內能變化為零，因此能量平衡為

Q˙H=W˙+Q˙L\dot Q_H=\dot W+\dot Q_L

其中 Q˙H\dot Q_H 是高溫熱源輸入熱量率，W˙\dot W 是輸出功率，Q˙L\dot Q_L 是排向低溫熱源的熱量率。

熱機還必須符合熱力學第二定律。兩熱源的總熵產生率為

S˙gen=−Q˙HTH+Q˙LTL≥0\dot S_{\mathrm{gen}} =-\frac{\dot Q_H}{T_H}+\frac{\dot Q_L}{T_L}\geq 0

等號代表可逆熱機；大於零代表不可逆熱機；小於零則違反第二定律，不可能發生。此題 TH=1000 KT_H=1000\ \mathrm{K}、TL=300 KT_L=300\ \mathrm{K}，卡諾效率為

ηCarnot=1−TLTH=0.7\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_L}{T_H}=0.7

解題方法

先檢查每個熱機是否符合第一定律，再以熵產生率判斷可逆性。也可在能量平衡成立後，比較熱效率 η=W˙/Q˙H\eta=\dot W/\dot Q_H 與卡諾效率：等於卡諾效率為可逆，低於卡諾效率為不可逆，高於卡諾效率則違反第二定律。

各圖判斷

  • (a) 能量平衡成立：500=350+150500=350+150。熵產生率為
S˙gen=−5001000+150300=0 kW/K\dot S_{\mathrm{gen}}=-\frac{500}{1000}+\frac{150}{300}=0\ \mathrm{kW/K}

因此是可逆熱機。

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第 二 題25 分

理想空氣在活塞汽缸裝置（Piston-cylinder device）中進行等溫壓縮過程，其起始壓力和體積分別為 100 kPa100\ \mathrm{kPa} 和 0.6 m30.6\ \mathrm{m^3}。

在此過程中，有 60 kJ60\ \mathrm{kJ} 的熱傳量由此理想空氣向外界環境（溫度維持在 25 ∘C25\ ^\circ\mathrm{C}）流出。理想空氣的質量為 1 kg1\ \mathrm{kg}，其定壓比熱為常數 Cp0=1.0035 kJ/(kg⋅K)C_{p0}=1.0035\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，空氣體常數 R=0.287 kJ/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。

請算出此過程結束時的體積和壓力，以及此過程中熵（Entropy）的變化量並說明其來源。

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核心觀念

本題考查理想氣體的等溫過程、閉系統第一定律，以及熵變的計算與來源。理想氣體等溫時，內能只與溫度有關，因此 ΔU=0\Delta U=0。採用「熱傳入系統為正、系統對外作功為正」的符號約定，閉系統第一定律為

ΔU=Q−W\Delta U=Q-W

理想氣體的狀態方程與等溫熵變公式為

PV=mRT,ΔSair=mRln⁡(V2V1)PV=mRT,\qquad \Delta S_{\mathrm{air}}=mR\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

解題方法

已知 Q=−60 kJQ=-60\ \mathrm{kJ}，負號表示熱量由空氣流出。由等溫條件 ΔU=0\Delta U=0，第一定律給出

0=Q−W⟹W=Q=−60 kJ0=Q-W \quad\Longrightarrow\quad W=Q=-60\ \mathrm{kJ}

這是空氣對外作功為負，亦即外界對空氣作壓縮功。

先由初態求空氣溫度：

T=P1V1mR=(100 kPa)(0.6 m3)(1 kg)(0.287 kJ/(kg⋅K))=209.06 KT=\frac{P_1V_1}{mR} =\frac{(100\ \mathrm{kPa})(0.6\ \mathrm{m^3})} {(1\ \mathrm{kg})(0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)})} =209.06\ \mathrm{K}

其中 1 kPa⋅m3=1 kJ1\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\ \mathrm{kJ}。

等溫理想氣體的邊界功為

W=∫V1V2P dV=mRTln⁡(V2V1)=P1V1ln⁡(V2V1)W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV =mRT\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) =P_1V_1\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

代入 W=−60 kJW=-60\ \mathrm{kJ}：

−60=(100)(0.6)ln⁡(V20.6)-60=(100)(0.6)\ln\left(\frac{V_2}{0.6}\right) V2=0.6exp⁡(−6060)=0.2207 m3V_2=0.6\exp\left(\frac{-60}{60}\right) =0.2207\ \mathrm{m^3}

再由等溫過程的 P1V1=P2V2P_1V_1=P_2V_2 求末壓力：

P2=P1V1V2=(100)(0.6)0.2207=271.9 kPaP_2=\frac{P_1V_1}{V_2} =\frac{(100)(0.6)}{0.2207} =271.9\ \mathrm{kPa}

空氣熵變與熵的來源

空氣的熵變為

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第 三 題25 分

以克拉珀龍方程式（Clapeyron equation）

(dPdT)sat=hfgTvfg\left(\frac{dP}{dT}\right)_{\mathrm{sat}}=\frac{h_{fg}}{T v_{fg}}

根據下表冷媒 R-134（氣體常數 R=0.0815 kJ/(kg⋅K)R=0.0815\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}）在 −40 ∘C-40\ ^\circ\mathrm{C} 的飽和狀態數據，來推算其在 −42 ∘C-42\ ^\circ\mathrm{C} 時的飽和壓力。

在上述方程式中，PP 為壓力，TT 為溫度，hh 為焓（Enthalpy），vv 為比體積（Specific volume），下標 sat\mathrm{sat} 代表飽和狀態（Saturated state），下標 ff 為飽和液態，下標 gg 為飽和氣態。

🖼️【此處有附表，請對照原卷】

溫度 TT：−40 ∘C-40\ ^\circ\mathrm{C}
飽和壓力 PsatP_{\mathrm{sat}}：51.25 kPa51.25\ \mathrm{kPa}
vfv_f：0.00071 m3/kg0.00071\ \mathrm{m^3/kg}
vgv_g：0.36064 m3/kg0.36064\ \mathrm{m^3/kg}
hfgh_{fg}：225.86 kJ/kg225.86\ \mathrm{kJ/kg}

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核心觀念

本題考查克拉珀龍方程式，用飽和液、飽和氣的性質估算飽和壓力隨溫度的變化率：

(dPdT)sat=hfgT(vg−vf)\left(\frac{dP}{dT}\right)_{\mathrm{sat}} =\frac{h_{fg}}{T(v_g-v_f)}

式中的溫度須使用絕對溫度，且 vfg=vg−vfv_{fg}=v_g-v_f。因為題目提供的是 −40∘C-40^\circ\mathrm{C} 的性質，而要求 −42∘C-42^\circ\mathrm{C} 的壓力，採用該狀態的斜率近似這段溫度範圍內的平均斜率。

解題方法

先將 −40∘C-40^\circ\mathrm{C} 換算為絕對溫度：

T1=273.15−40=233.15 KT_1=273.15-40=233.15\ \mathrm{K}

飽和氣液比體積差為：

vfg=vg−vf=0.36064−0.00071=0.35993 m3/kgv_{fg}=v_g-v_f =0.36064-0.00071 =0.35993\ \mathrm{m^3/kg}

代入克拉珀龍方程式：

(dPdT)sat≈225.86233.15(0.35993)=2.690 kJm3⋅K=2.690 kPa/K\left(\frac{dP}{dT}\right)_{\mathrm{sat}} \approx \frac{225.86}{233.15(0.35993)} =2.690\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{m^3\cdot K}} =2.690\ \mathrm{kPa/K}
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第 四 題30 分

有一以水為工作流體之再生循環如下圖所示，蒸氣離開鍋爐（Boiler）進入渦輪機（Turbine）的狀態為 4 MPa4\ \mathrm{MPa}（P5P_5）及 400 ∘C400\ ^\circ\mathrm{C}（T5T_5）。經渦輪機之膨脹過程至 500 kPa500\ \mathrm{kPa} 時（P6P_6），部分蒸氣會被抽離至飼水加熱器（Feedwater heater, FWH）用來加熱飼水（Feedwater）。

在飼水加熱器的壓力為 500 kPa500\ \mathrm{kPa}，而飼水離開飼水加熱器的狀態為壓力 500 kPa500\ \mathrm{kPa} 的飽和水（Saturated water）。而在渦輪機中未被抽離的蒸氣會繼續膨脹至 10 kPa10\ \mathrm{kPa}（P7P_7）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

根據下表數據，計算在渦輪機中被抽離加熱飼水蒸氣的比例以及整個循環的效率。假設膨脹過程為等熵過程（Isentropic process），且工作流體流經鍋爐或冷凝器（Condenser）的前後並未產生壓力變化。

已知資料：

P=4 MPaP=4\ \mathrm{MPa}、T=400 ∘CT=400\ ^\circ\mathrm{C}，Superheated vapor：

h=3213.6 kJ/kgh=3213.6\ \mathrm{kJ/kg}
s=6.7690 kJ/(kg⋅K)s=6.7690\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

飽和蒸氣（Saturated Steam）：

P=500 kPaP=500\ \mathrm{kPa}：

vf=0.001093 m3/kgv_f=0.001093\ \mathrm{m^3/kg}
vg=0.3749 m3/kgv_g=0.3749\ \mathrm{m^3/kg}
hf=640.23 kJ/kgh_f=640.23\ \mathrm{kJ/kg}
hg=2748.7 kJ/kgh_g=2748.7\ \mathrm{kJ/kg}
sf=1.8607 kJ/(kg⋅K)s_f=1.8607\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
sg=6.8213 kJ/(kg⋅K)s_g=6.8213\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

P=10 kPaP=10\ \mathrm{kPa}：

vf=0.001010 m3/kgv_f=0.001010\ \mathrm{m^3/kg}
vg=14.67 m3/kgv_g=14.67\ \mathrm{m^3/kg}
hf=191.83 kJ/kgh_f=191.83\ \mathrm{kJ/kg}
hg=2584.7 kJ/kgh_g=2584.7\ \mathrm{kJ/kg}
sf=0.6493 kJ/(kg⋅K)s_f=0.6493\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
sg=8.1502 kJ/(kg⋅K)s_g=8.1502\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

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核心觀念

本題考單級開式飼水加熱器的再生朗肯循環。抽汽率由飼水加熱器的質量與能量平衡求得；循環效率則為渦輪機淨輸出功除以鍋爐熱輸入：

η=Wturbine−WpumpQin\eta=\frac{W_{\text{turbine}}-W_{\text{pump}}}{Q_{\text{in}}}

渦輪膨脹為等熵過程，因此狀態 66、77 的熵皆等於狀態 55 的熵。進入兩個渦輪出口狀態的熵值落在飽和液、汽熵值之間，故可用乾度計算焓值。

解題方法

以鍋爐與渦輪入口的總質量流率為 1 kg1\ \mathrm{kg}，令抽汽率為 yy，則通過冷凝器的質量流率為 1−y1-y。

先計算狀態 66、77 的乾度與焓。由等熵條件 s6=s7=s5=6.7690 kJ/(kg⋅K)s_6=s_7=s_5=6.7690\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}：

x6=s5−sf∣500 kPasg−sf=6.7690−1.86076.8213−1.8607=0.98946x_6=\frac{s_5-s_f|_{500\text{ kPa}}}{s_g-s_f} =\frac{6.7690-1.8607}{6.8213-1.8607} =0.98946 h6=hf+x6(hg−hf)=640.23+0.98946(2748.7−640.23)=2726.47 kJ/kgh_6=h_f+x_6(h_g-h_f) =640.23+0.98946(2748.7-640.23) =2726.47\ \mathrm{kJ/kg} x7=s5−sf∣10 kPasg−sf=6.7690−0.64938.1502−0.6493=0.81586x_7=\frac{s_5-s_f|_{10\text{ kPa}}}{s_g-s_f} =\frac{6.7690-0.6493}{8.1502-0.6493} =0.81586 h7=hf+x7(hg−hf)=191.83+0.81586(2584.7−191.83)=2144.08 kJ/kgh_7=h_f+x_7(h_g-h_f) =191.83+0.81586(2584.7-191.83) =2144.08\ \mathrm{kJ/kg}

狀態 11 為 10 kPa10\ \mathrm{kPa} 飽和液，經泵浦 I 升至 500 kPa500\ \mathrm{kPa}。以不可壓縮液體近似，dh=v dPdh=v\,dP，且 1 kPa⋅m3/kg=1 kJ/kg1\ \mathrm{kPa\cdot m^3/kg}=1\ \mathrm{kJ/kg}：

h1=191.83 kJ/kgh_1=191.83\ \mathrm{kJ/kg} h2=h1+vf∣10 kPa(500−10)=191.83+0.001010(490)=192.325 kJ/kgh_2=h_1+v_f|_{10\text{ kPa}}(500-10) =191.83+0.001010(490) =192.325\ \mathrm{kJ/kg}
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