109 高普考高考三級 農業機械 應用力學 考古題詳解

109 年・高普考・高考三級・農業機械
試題代碼 應用力學

第 一 題25 分

梁 ABAB 的受力如圖一所示。梁的左端受銷支撐，右端受一重量為 390 N390\ \mathrm{N} 的短柱支撐。在 BB 及 CC 處的靜摩擦係數分別為 μB=0.3\mu_B=0.3 及 μC=0.2\mu_C=0.2。梁的質量及厚度，與短柱的厚度皆可忽略。力 PP 作用在短柱上的固定點 DD。試求能使短柱移動的最小力量 PP。

已知尺寸：

  • AB=2 mAB=2\ \mathrm{m}
  • BD=500 mmBD=500\ \mathrm{mm}
  • DC=300 mmDC=300\ \mathrm{mm}
  • 梁上作用一由 AA 點起始、至 BB 點達 810 N/m810\ \mathrm{N/m} 的三角形分布載重
  • 力 PP 的方向如圖所示，方向三角形之水平、垂直及斜邊比例為 4:3:54:3:5

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核心觀念

本題考查分布載重合力、剛體平衡，以及靜摩擦的極限條件。短柱開始移動前，兩接觸面的摩擦力須符合 ∣F∣≤μsN|F|\leq \mu_s N；先達到摩擦極限的接觸面決定短柱開始移動的力。

解題方法

1. 求梁在 BB 點的支持力

三角形分布載重的合力為載重圖形面積，作用點距載重較小的一端 AA 為梁長的 23\frac{2}{3}：

W=12(2)(810)=810 N,xW=23(2)=43 mW=\frac{1}{2}(2)(810)=810\ \mathrm{N}, \qquad x_W=\frac{2}{3}(2)=\frac{4}{3}\ \mathrm{m}

以 AA 點取矩。梁在 BB 點受到短柱向上的正向力 NBN_B：

NB(2)−810(43)=0N_B(2)-810\left(\frac{4}{3}\right)=0

因此

NB=540 NN_B=540\ \mathrm{N}

2. 求短柱兩處所需的摩擦力

依圖示方向，PP 的分量為

Px=45P,Py=35PP_x=\frac{4}{5}P,\qquad P_y=\frac{3}{5}P

短柱受梁在 BB 點向下的正向力 540 N540\ \mathrm{N}，並受自身重量 390 N390\ \mathrm{N}。以 CC 點取矩，只有 BB 點水平摩擦力與 PxP_x 產生力矩。因 BD+DC=0.8 mBD+DC=0.8\ \mathrm{m}、DC=0.3 mDC=0.3\ \mathrm{m}：

FB(0.8)−(45P)(0.3)=0F_B(0.8)-\left(\frac{4}{5}P\right)(0.3)=0

故

FB=0.3PF_B=0.3P

水平方向平衡：

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第 二 題25 分

如圖二所示，線性彈簧未受力時的原始長度為 0.3 m0.3\ \mathrm{m}，兩均勻桿件的重量皆為 200 N200\ \mathrm{N}。光滑的滑輪 AA 的質量可忽略。試求機構在平衡狀態下的角度 θ\theta。

已知：

  • 彈簧常數 k=150 N/mk=150\ \mathrm{N/m}
  • 桿件尺寸如圖所示，CB=2 mCB=2\ \mathrm{m}
  • 上、下兩桿件與水平線之夾角皆為 θ\theta

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核心觀念

本題考剛體機構的幾何關係與靜力平衡，可用虛功原理或位能極值求平衡角。兩桿的重力位能與彈簧位能隨角度 θ\theta 改變；平衡時，總位能對 θ\theta 的導數為零。

解題方法

圖中兩桿與水平線的夾角相同，且 CC、AA 位於同一垂直導引線上，因此兩桿的水平投影相同。已知 CB=2 mCB=2\ \mathrm{m}，可得 AB=2 mAB=2\ \mathrm{m}。兩桿的垂直距離為

CA=2sin⁡θ+2sin⁡θ=4sin⁡θCA=2\sin\theta+2\sin\theta=4\sin\theta

故彈簧長度為 4sin⁡θ4\sin\theta，伸長量為 4sin⁡θ−0.34\sin\theta-0.3。

以 CC 的高度為位能基準。上桿重心在 CC 下方 1sin⁡θ1\sin\theta，下桿重心在 CC 下方 3sin⁡θ3\sin\theta，所以兩桿的重力位能總和為

Vg=−200sin⁡θ−200(3sin⁡θ)=−800sin⁡θV_g=-200\sin\theta-200(3\sin\theta) =-800\sin\theta

彈簧位能為

Vs=12(150)(4sin⁡θ−0.3)2V_s=\frac12(150)(4\sin\theta-0.3)^2

總位能為

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第 三 題25 分

如圖三所示的桁架，試求：

（一）支承 CC 和 EE 的反作用力。（5 分）

（二）編號①、②、③及④之桿件的軸力，並說明軸力是張力或壓力。（20 分）

已知尺寸及外力：

  • AB=2 mAB=2\ \mathrm{m}
  • BD=4 mBD=4\ \mathrm{m}
  • CD=3 mCD=3\ \mathrm{m}
  • DE=3 mDE=3\ \mathrm{m}
  • 節點 BB 受一向下的 16 kN16\ \mathrm{kN} 外力
  • 節點 BB 受一向右的 24 kN24\ \mathrm{kN} 外力

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核心觀念

桁架各桿件為二力構件，桿力沿桿件軸線作用。解題使用整體平衡方程式求支承反力，再用節點法求桿件軸力：

∑Fx=0,∑Fy=0,∑M=0\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0

計算桿力時，先假設桿件受拉；算得正值表示張力，負值表示壓力。無外力且只連接兩根不共線桿件的節點，兩桿力皆為零。

解題方法

取 CC 為原點，依圖可得 B=(3,4) mB=(3,4)\,\mathrm{m}、E=(6,0) mE=(6,0)\,\mathrm{m}。CC 為鉸支承，反力分量為 Cx,CyC_x,C_y；EE 為滾支承，反力為 EyE_y。

先對整座桁架列平衡式。以逆時針為正，對 CC 點取矩：

∑MC=0:6Ey−16(3)−24(4)=0\sum M_C=0:\quad 6E_y-16(3)-24(4)=0 Ey=24 kN（向上）E_y=24\ \mathrm{kN}\quad\text{（向上）}

再由水平與鉛直力平衡：

∑Fx=0:Cx+24=0⇒Cx=−24 kN\sum F_x=0:\quad C_x+24=0 \quad\Rightarrow\quad C_x=-24\ \mathrm{kN} ∑Fy=0:Cy+24−16=0⇒Cy=−8 kN\sum F_y=0:\quad C_y+24-16=0 \quad\Rightarrow\quad C_y=-8\ \mathrm{kN}

因此 CC 點反力為水平向左 24 kN24\ \mathrm{kN}、鉛直向下 8 kN8\ \mathrm{kN}。

接著求編號桿件：

  1. **節點 AA：**此處沒有外力，且僅連接 ABAB 與 ACAC 兩根不共線桿件，因此兩桿軸力皆為零，故編號① ACAC 桿力為 00。

  2. 節點 CC：CBCB 桿的方向由 CC 指向 BB，其方向比例為水平 33、鉛直 44，桿長比例為 55。

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第 四 題25 分

如圖四所示的均勻細長桿件，其質量為 4 kg4\ \mathrm{kg}，左端受銷支撐，右端受一線性彈簧支撐。於 100 N100\ \mathrm{N} 的外力作用在桿件的瞬間，試求：

（一）桿件的角加速度。（10 分）

（二）桿件之質量中心的加速度。（10 分）

（三）銷支撐 AA 的反作用力。（5 分）

已知：

  • 桿件全長為 3 m3\ \mathrm{m}，外力作用於桿件中央，距離 AA 點及 BB 點各為 1.5 m1.5\ \mathrm{m}
  • BB 點由線性彈簧支撐
  • 彈簧常數 k=20 N/mk=20\ \mathrm{N/m}
  • 外力方向鉛直向下

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核心觀念

本題考剛體平面動力學：固定銷支點的轉動方程、均勻細桿的轉動慣量，以及質心加速度與角加速度的關係。

題目未明示彈簧的初始變形；依「外力作用的瞬間」採用桿件原先水平靜止平衡的條件。外力剛作用時，彈簧變形尚未改變，因此彈簧力仍等於作用前的平衡力。

解題方法

先由作用前的靜力平衡求彈簧力。取逆時針為正，對銷支點 AA 取矩：

3Fs−(4×9.81)(1.5)=03F_s-(4\times 9.81)(1.5)=0

因此

Fs=19.62 NF_s=19.62\ \mathrm{N}

彈簧壓縮量為 x=Fs/k=19.62/20=0.981 mx=F_s/k=19.62/20=0.981\ \mathrm{m}。在外力剛作用的瞬間，彈簧力仍為 19.62 N19.62\ \mathrm{N}。

（一）桿件的角加速度

對固定點 AA 取矩，銷支承反力對 AA 不產生力矩。均勻細桿對端點 AA 的轉動慣量為

IA=13mL2=13(4)(32)=12 kg⋅m2I_A=\frac{1}{3}mL^2 =\frac{1}{3}(4)(3^2) =12\ \mathrm{kg\cdot m^2}

作用瞬間的力矩方程為

∑MA=IAα\sum M_A=I_A\alpha (19.62)(3)−(100)(1.5)−(4×9.81)(1.5)=12α(19.62)(3)-(100)(1.5)-(4\times9.81)(1.5)=12\alpha α=−12.5 rad/s2\alpha=-12.5\ \mathrm{rad/s^2}
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