110 高普考高考三級 農業機械 應用力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查斜面上輪圈的平動、轉動與滾動條件。輪圈若純滾動，接觸點相對斜面瞬時靜止，須滿足

空心輪圈視為薄環，其轉動慣量為 $I=mR^2$。純滾動時，所需摩擦力由平動與轉動方程決定，再與最大靜摩擦力比較。

解題方法

先假設輪圈純滾動。沿斜面方向的平動方程為

以輪心為轉軸，摩擦力提供轉矩：

代入純滾動條件 $\alpha=a/R$，得

因此

所需的靜摩擦力為

法向力 $N=mg\cos\theta$，故純滾動所需的靜摩擦係數為

但題目給定 $\mu_s=0.15$，低於所需值，因此靜摩擦力不足以維持純滾動，輪圈會滑動。

核心觀念

平面連桿機構的速度分析使用剛體相對速度式：

桿件端點繞固定鉸點轉動時，速度垂直於桿件，大小為 $v=\omega r$。本題可先由 $BC$ 的角速度求出 $B$ 點速度，再用 $AB$ 的相對速度式求角速度。

幾何檢核與解題方法

依圖取 $O=(0,0)$，$A=(0,100\,\mathrm{mm})$，$C$ 位於 $O$ 的水平線上。若圖示的 $250\,\mathrm{mm}$ 是 $OC$ 水平距離，且 $BC$ 水平、長 $75\,\mathrm{mm}$，則 $B$ 的水平座標為 $250-75=175\,\mathrm{mm}$。因此：

這與題目給的 $AB=182\,\mathrm{mm}$ 不符。題目所給桿長與圖示尺寸無法同時成立，缺少對 $AB$ 長度或 $OC$ 尺寸的更正。

以下依題目明列的三根桿長及姿態計算，視為 $250\,\mathrm{mm}$ 尺寸有誤。此時 $AB$ 的水平投影為：

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，逆時針為正。圖示 $BC$ 為順時針轉動，故 $\omega_{BC}=-2\,\mathrm{rad/s}$。由 $C$ 點固定且 $\vec r_{B/C}=(-75,0)\,\mathrm{mm}$：

核心觀念

本題以轉角 $\theta$ 作為機構的廣義座標，使用虛功原理或位能對轉角的導數求平衡力矩。圖中有三根活動桿件：$AD$、$BC$ 與垂直桿 $DC$，每根質量皆為 $m$、長度皆為 $L$。$A、B$ 為固定鉸點，機構為平行四邊形，因此 $AD$ 與 $BC$ 始終平行，$DC$ 始終垂直。

令 $\theta$ 順時針為正，並以順時針為力矩 $M$ 的正方向。

解題方法

取 $A、B$ 的高度為基準。當 $\theta$ 增加時，$D、C$ 都向下移動 $L\sin\theta$。

三根桿件質心的高度變化為：

• 桿件 $AD$：質心下降 $\dfrac{L}{2}\sin\theta$。
• 桿件 $BC$：質心下降 $\dfrac{L}{2}\sin\theta$。
• 桿件 $DC$：整根隨 $D、C$ 向下平移，質心下降 $L\sin\theta$。

因此，重力位能相對於 $\theta=0$ 的變化為

彈簧保持垂直，且 $\theta=0$ 時無伸長。點 $D$ 向下移動 $L\sin\theta$，故彈簧伸長量為

核心觀念

本題考查理想滑輪的繩長約束、牛頓第二運動定律，以及動摩擦力。圖中的小滑輪隨物塊 B 一起沿斜面移動，屬於動滑輪；繩索兩段共同拉動 B，因此 B 受沿斜面向上的合力為 $2T$。

解題方法

設物塊 B 沿斜面向上加速度為 $a_B$，物塊 A 向下加速度為 $a_A$。動滑輪的繩長約束為

B 上升時，重力沿斜面分力與動摩擦力皆沿斜面向下。B 的正向力與摩擦力為

取 A 向下、B 沿斜面向上為正方向，分別列出運動方程式：

代入 $a_A=2a_B$，可得

取 $g=9.81\,\mathrm{m/s^2}$、$m_A=150\,\mathrm{kg}$、$m_B=200\,\mathrm{kg}$：