112 高普考高考三級 農業機械 應用力學 考古題詳解

112 年・高普考・高考三級・農業機械
試題代碼 應用力學

第 一 題25 分

如圖一所示，樑 ABAB 承受一重量為 2800 N2800\ \mathrm{N} 的均勻石塊，樑的左端受銷支撐，右端受一重量為 400 N400\ \mathrm{N} 的短柱支撐。樑的質量及厚度與短柱的厚度皆可忽略不計。在 BB 及 CC 處的靜摩擦係數皆為 0.320.32，試求可使短柱移動的最小外力 PP 為多少。

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核心觀念

本題考查：

  1. 樑與短柱的靜力平衡。
  2. 銷支撐、接觸正向力與摩擦力。
  3. 靜摩擦極限條件 F≤μNF\leq \mu N 短柱開始移動時，首先發生滑動的接觸點滿足 F=μNF=\mu N
  4. 均勻石塊重量作用於其幾何中心。

由圖可知，石塊重心距離 AA 點 1.5 m1.5\ \mathrm{m}，而 AB=3.0 mAB=3.0\ \mathrm{m}；短柱長度 BC=1+0.75=1.75 mBC=1+0.75=1.75\ \mathrm{m} 外力 PP 作用點距離 CC 點 0.75 m0.75\ \mathrm{m}。

解題方法

一、求樑在 BB 點的正向力

先取樑 ABAB 為自由體圖。設樑與短柱在 BB 點的正向力為 NBN_B。

以 AA 點取力矩：

∑MA=0\sum M_A=0 NB(3.0)−2800(1.5)=0N_B(3.0)-2800(1.5)=0

因此

NB=1400 NN_B=1400\ \mathrm{N}

樑對短柱的作用力為向下 1400 N1400\ \mathrm{N}。

在 BB 點的摩擦力極限為

FB,max⁡=μNB=0.32(1400)=448 NF_{B,\max}=\mu N_B =0.32(1400) =448\ \mathrm{N}

二、分解外力 PP

圖中外力方向為 33-44-55 三角形，因此

Px=45PP_x=\frac{4}{5}P Py=35PP_y=\frac{3}{5}P

其中 PxP_x 向右，PyP_y 向上。

三、分析短柱的力矩平衡

取短柱 BCBC 為自由體，並以 CC 點取力矩。

設 BB 點摩擦力大小為 FBF_B。由力矩平衡：

FB(1.75)−(45P)(0.75)=0F_B(1.75)-\left(\frac45P\right)(0.75)=0

故

FB=0.751.7545P=1235PF_B=\frac{0.75}{1.75}\frac45P =\frac{12}{35}P

可先檢查 BB 點是否達到摩擦極限：

1235P≤448\frac{12}{35}P\leq448

本題最後求得的 PP 約為 431.5 N431.5\ \mathrm{N}，因此

FB=1235(431.5)≈148 N<448 NF_B=\frac{12}{35}(431.5) \approx148\ \mathrm{N}<448\ \mathrm{N}

所以 BB 點尚未滑動，短柱是由 CC 點先發生滑動。

四、列短柱的水平與垂直平衡

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第 二 題25 分

如圖二所示，滑輪 EE 的下方承受 12 kN12\ \mathrm{kN} 的力量，桿件及滑輪的重量可忽略不計，滑輪是光滑無摩擦的。試求：

(一) 銷接 AA 及 DD 處的水平及垂直反作用力。

(二) 桿件 BDBD 的桿件力。

圖中尺寸：AD=2 mAD=2\ \mathrm{m}、AB=1.5 mAB=1.5\ \mathrm{m}、BC=1.5 mBC=1.5\ \mathrm{m}，滑輪半徑為 0.3 m0.3\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考查：

  1. 光滑滑輪中繩索張力相等。
  2. 可動滑輪的力平衡。
  3. 二力桿件 BDBD：兩端受力大小相等、方向相反，且作用線沿 BDBD。
  4. 剛體平衡方程式：
∑Fx=0,∑Fy=0,∑MA=0\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M_A=0

桿件及滑輪重量均忽略，因此只需考慮繩張力、銷接反力及桿件力。

解題方法

一、求繩索張力

滑輪 EE 下方承受 12 kN12\ \mathrm{kN}，且滑輪光滑無摩擦，因此兩側繩張力相同，設為 TT。

對滑輪 EE：

2T=122T=12

因此：

T=6 kNT=6\ \mathrm{kN}

二、求滑輪 CC 對桿件的作用力

滑輪 CC 受到繩索作用：

  • 水平方向向左：T=6 kNT=6\ \mathrm{kN}
  • 垂直方向向下：兩段繩索共同作用，大小為 2T=12 kN2T=12\ \mathrm{kN}

所以滑輪 CC 對桿件 ABCABC 的作用力為：

Cx=−6 kN,Cy=−12 kNC_x=-6\ \mathrm{kN},\qquad C_y=-12\ \mathrm{kN}

滑輪半徑為 0.3 m0.3\ \mathrm{m}。由於兩側繩張力相等，繩張力對滑輪中心所產生的順、逆時針力矩互相抵消，因此其合力可視為作用於滑輪中心 CC。

三、求桿件 BDBD 的方向

取座標：

A=(0,0),B=(1.5,0),D=(0,2)A=(0,0),\qquad B=(1.5,0),\qquad D=(0,2)

桿件 BDBD 的長度為：

BD=1.52+22=2.5 mBD=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5\ \mathrm{m}

因此其方向餘弦為：

1.52.5=0.6,22.5=0.8\frac{1.5}{2.5}=0.6,\qquad \frac{2}{2.5}=0.8

設桿件 BDBD 為受拉，則桿件對 ABCABC 在 BB 點的作用力方向為左上：

Bx=−0.6FBD,By=0.8FBDB_x=-0.6F_{BD},\qquad B_y=0.8F_{BD}

四、對桿件 ABCABC 取 AA 點力矩

AB=1.5 mAB=1.5\ \mathrm{m}，AC=1.5+1.5=3.0 mAC=1.5+1.5=3.0\ \mathrm{m}。

以逆時針為正：

∑MA=0\sum M_A=0 (1.5)(0.8FBD)−(3.0)(12)=0(1.5)(0.8F_{BD})-(3.0)(12)=0 1.2FBD=361.2F_{BD}=36 FBD=30 kNF_{BD}=30\ \mathrm{kN}

因此 BDBD 為受拉桿件。

五、求銷接 AA 處反力

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第 三 題25 分

一連桿機構如圖三所示，桿件 ABAB 的角速度 ωAB\omega_{AB} 為 5 rad/s5\ \mathrm{rad/s}。每根桿件的重量皆可忽略不計。當 θ=45∘\theta=45^\circ 及 ϕ=30∘\phi=30^\circ 時，試求：

(一) 物塊 CC 的速度。

(二) 桿件 BCBC 的角速度。

其中 AB=3 mAB=3\ \mathrm{m}、BC=2 mBC=2\ \mathrm{m}，ωAB\omega_{AB} 的方向如圖所示。

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核心觀念

本題考查平面剛體的相對速度關係：

v⃗C=v⃗B+ω⃗BC×r⃗C/B\vec v_C=\vec v_B+\vec\omega_{BC}\times\vec r_{C/B}

其中：

  • AA 為固定鉸點，因此可先求 BB 點速度。
  • CC 為水平滑塊，所以 v⃗C\vec v_C 只有水平方向分量。
  • 桿件重量可忽略，對速度分析沒有影響。

取 xx 軸向右、yy 軸向上，逆時針為角速度正方向。圖示 ωAB\omega_{AB} 為順時針，因此

ωAB=−5 rad/s\omega_{AB}=-5\ \mathrm{rad/s}

解題方法

一、求 BB 點速度

桿件 AB=3 mAB=3\ \mathrm{m}，且 θ=45∘\theta=45^\circ。

由固定點 AA 的轉動速度：

v⃗B=ω⃗AB×r⃗B/A\vec v_B=\vec\omega_{AB}\times\vec r_{B/A}

位置向量為

r⃗B/A=−3cos⁡45∘ i−3sin⁡45∘ j\vec r_{B/A} =-3\cos45^\circ\,\mathbf i-3\sin45^\circ\,\mathbf j

因此

v⃗B=(−5k)×(−3cos⁡45∘ i−3sin⁡45∘ j)\vec v_B =(-5\mathbf k)\times \left(-3\cos45^\circ\,\mathbf i-3\sin45^\circ\,\mathbf j\right)

整理得

v⃗B=−15sin⁡45∘ i+15cos⁡45∘ j\vec v_B =-15\sin45^\circ\,\mathbf i +15\cos45^\circ\,\mathbf j

所以

v⃗B=(−10.61 i+10.61 j) m/s\boxed{\vec v_B=(-10.61\,\mathbf i+10.61\,\mathbf j)\ \mathrm{m/s}}

即 BB 點速度向左上方。

二、建立 BCBC 桿件的相對速度式

桿件 BC=2 mBC=2\ \mathrm{m}，且與鉛直線夾角 ϕ=30∘\phi=30^\circ。

由圖形幾何關係：

r⃗C/B=2sin⁡30∘ i−2cos⁡30∘ j\vec r_{C/B} =2\sin30^\circ\,\mathbf i -2\cos30^\circ\,\mathbf j

因此

r⃗C/B=1 i−3 j\vec r_{C/B} =1\,\mathbf i-\sqrt3\,\mathbf j

設桿件 BCBC 的角速度為 ωBCk\omega_{BC}\mathbf k，物塊 CC 的速度為 vCiv_C\mathbf i，則

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第 四 題25 分

如圖四所示，大塊木料 BB 的重量為 1260 N1260\ \mathrm{N}。所有接觸面的靜摩擦係數皆為 μs=13\mu_s=\frac{1}{3}。楔子 AA 的重量可以忽略不計。試求能使楔子 AA 往右移動的最小力量 PP。

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核心觀念

本題考查楔子在各接觸面均達到「將要滑動」時的靜力平衡，須同時考慮：

  • 楔子 AA 與地面 CC 間的摩擦力。
  • 木料 BB 與楔子 AA 間的摩擦力。
  • 木料 BB 與牆面 DD 間的摩擦力。
  • 靜摩擦力大小為 F=μsNF=\mu_s N。

由圖中楔面之 33-44-55 三角形：

sin⁡α=35,cos⁡α=45\sin\alpha=\frac{3}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{4}{5}

其中 α\alpha 為楔面與水平面的夾角，且

μs=13,WB=1260 N\mu_s=\frac13,\qquad W_B=1260\ \text{N}

解題方法

楔子 AA 向右移動時，木料 BB 沿牆面向上移動，因此各接觸面的摩擦力方向如下：

  • 地面對楔子的摩擦力向左。
  • AA、BB 接觸面間，楔子所受摩擦力沿斜面向左上。
  • 牆面對木料的摩擦力向下。

設 AA、BB 接觸面的正向力為 NN。

一、木料 BB 的受力平衡

斜面摩擦力為

FAB=μNF_{AB}=\mu N

木料 BB 受楔子作用之力，其水平向右分量為

Nsin⁡α+μNcos⁡αN\sin\alpha+\mu N\cos\alpha

故牆面正向力為

ND=N(sin⁡α+μcos⁡α)N_D=N(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)

木料在鉛直方向平衡：

Ncos⁡α−μNsin⁡α−μND−WB=0N\cos\alpha-\mu N\sin\alpha-\mu N_D-W_B=0

代入 NDN_D：

Ncos⁡α−μNsin⁡α−μN(sin⁡α+μcos⁡α)−WB=0N\cos\alpha-\mu N\sin\alpha -\mu N(\sin\alpha+\mu\cos\alpha) -W_B=0

整理得

N[(1−μ2)cos⁡α−2μsin⁡α]=WBN\left[(1-\mu^2)\cos\alpha-2\mu\sin\alpha\right]=W_B

代入數值：

N[(1−19)45−2(13)35]=1260N\left[ \left(1-\frac19\right)\frac45 -2\left(\frac13\right)\frac35 \right]=1260 N(3245−1845)=1260N\left(\frac{32}{45}-\frac{18}{45}\right)=1260
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