113 高普考高考三級 農業機械 應用力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面剛體靜力平衡及鉸接構件的內力分析。每一桿件均須滿足：

鉸接 $B$ 會產生水平與垂直反作用力，且作用於兩桿件上的力大小相等、方向相反。

取向右、向上為正。由圖得：

• $A=(0,0)$
• $B=(8,3.2)$，因為 $B$ 高於 $C$ 為 $1.8\,\text{m}$，且 $C$ 高於 $A$ 為 $1.4\,\text{m}$
• $C=(14,1.4)$
• $P$ 作用點距 $A$ 水平距離為 $8-3=5\,\text{m}$
• $Q$ 作用點距 $B$ 水平距離為 $3\,\text{m}$

解題方法

設桿件 $AB$ 在 $B$ 處所受鉸接力為：

設 $A$ 處支承反力為 $A_x,A_y$。

一、分析桿件 $AB$

對桿件 $AB$ 列水平力平衡：

列垂直力平衡：

以 $A$ 點取力矩，逆時針為正：

因此：

二、分析桿件 $BC$

桿件 $BC$ 在 $B$ 處所受力為 $(-B_x,-B_y)$。對 $BC$ 列水平力平衡：

列垂直力平衡：

所以：

以 $B$ 點取力矩：

代入 $C_x=B_x$、$C_y=B_y-40$：

整理得：

聯立式 $(1)$、$(2)$：

核心觀念

本題考查平面閘板所受的靜水壓力，以及鉸支承與二力構件的平衡。

使用公式：

1. 靜水壓力分布為三角形，合力為

其中：

• $\rho=1200\ \mathrm{kg/m^3}$
• $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$
• $b=4\ \mathrm{m}$，為板寬
• $d=2.7\ \mathrm{m}$，為液面下深度

2. 三角形壓力分布的合力作用於距底部

處。

3. 對鉸支承 $A$ 取力矩，消去鉸支承反力。

解題方法

取板子作為自由體圖。甘油作用於板子的左側，產生水平向右的靜水壓合力；桿 $BC$ 為細長二力桿，因此對板子施加水平向左的拉力 $T$。

題目未提供板子自重，故依題意採板重忽略不計。

（一）桿 $BC$ 上的拉力

浸水深度為 $2.7\ \mathrm{m}$，板寬為 $4\ \mathrm{m}$，故靜水壓合力為

其作用線距底部 $A$ 為

桿 $BC$ 的拉力作用於 $B$ 點，且 $AB=3\ \mathrm{m}$。對 $A$ 點取力矩：

因此

核心觀念

本題考查：

1. 機械系統自由度
2. 不可伸長繩索的長度約束
3. 滑輪系統的速度與位移關係
4. 等加速度運動公式

假設繩索不可伸長、滑輪與繩索間無相對滑動，且各套筒與質塊僅作鉛直方向運動。

（一）運動系統的自由度

設套筒 $A$、套筒 $B$ 及質塊 $C$ 的鉛直位置分別為 $y_A$、$y_B$、$y_C$。

三個可動構件原本有三個位置變數，但繩索不可伸長提供一個長度約束，因此：

因此，圖示運動系統的自由度為：

題目另外給定 $A$、$B$ 的運動狀態後，質塊 $C$ 的運動即可由繩長約束唯一決定；但就整個機械系統本身而言，自由度仍為 $2$。

（二）質塊 $C$ 速度等於零的時間

1. 建立繩長約束

依圖示，繩索的可變長度可寫成：

整理得：

因繩長固定，對時間微分：

因此：

2. 求套筒 $A$、$B$ 的速度

取向上為正方向。

套筒 $A$ 由靜止開始，以 $3.6\,\mathrm{mm/s^2}$ 向上等加速度運動：

套筒 $B$ 以 $18\,\mathrm{mm/s}$ 向下等速運動：

代入繩長速度關係：

當質塊 $C$ 速度等於零時：

核心觀念

本題考查剛體平面運動的：

1. 質心平移運動： $\sum F_y=ma_{G_y}$

2. 剛體轉動運動： $\sum M_G=I_G\alpha$

3. 剛體上各點的加速度關係：

橫梁下降時，纜繩的「減速度」方向向上，因此：

$a_A=+6\ \mathrm{m/s^2},\qquad a_B=+1\ \mathrm{m/s^2}$

取鉛直向上為正，並採用 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

一、求橫梁質心加速度與角加速度

圖中纜繩 $A$、$B$ 的水平距離為 $4\ \mathrm{m}$，橫梁長度為 $5\ \mathrm{m}$。

由於梁在圖示瞬間為水平狀態，且 $A$、$B$ 位於同一水平線上，兩點鉛直加速度差可由角加速度造成：

$a_B-a_A=\alpha(4)$

代入：

$1-6=4\alpha$

因此：

$\boxed{\alpha=-1.25\ \mathrm{rad/s^2}}$

負號表示橫梁的角加速度為順時針方向。

質心 $G$ 位於橫梁中點。由圖可知，$A$ 到 $G$ 的距離為：

$AG=\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{m}$

故質心鉛直加速度為：

$a_G=a_A+\alpha(2.5)$

$a_G=6+(-1.25)(2.5)=2.875\ \mathrm{m/s^2}$

所以質心仍向上加速：

$\boxed{a_G=2.875\ \mathrm{m/s^2}\ \text{向上}}$

二、列質心平移方程式

橫梁受力包括：

• 纜繩 $A$ 張力 $T_A$，方向向上；
• 纜繩 $B$ 張力 $T_B$，方向向上；
• 重力 $mg$，方向向下。

由牛頓第二定律：

$T_A+T_B-mg=ma_G$

因此：

$T_A+T_B=m(g+a_G)$

代入 $m=250\ \mathrm{kg}$：

$\boxed{T_A+T_B=3170\ \mathrm{N}}$

三、列質心轉動方程式

轉動慣量為：