114 高普考高考三級 農業機械 應用力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

• 靜力平衡方程式：$\sum F_y=0$、$\sum M=0$
• 均勻分布力的等效集中力
• 剪力與彎矩的關係：
• 剪力圖斜率為 $-q$
• 彎矩圖斜率等於剪力
• 支撐處集中反力會造成剪力圖垂直跳躍，但彎矩圖保持連續。

梁長度為：

均勻分布力 $q=3.2\ \mathrm{kN/m}$ 作用於全長 $AC$。

一、支撐反作用力

將均勻分布力換算為集中力：

其作用位置在全長中點，距離 $A$：

設 $A$、$B$ 處的垂直反力分別為 $A_y$、$B_y$。

以 $A$ 點取力矩：

因此：

再由垂直方向力平衡：

故：

二、剪力圖

取向上為正，從左端 $A$ 開始。

$A$ 至 $B$ 區段

令 $x$ 為距離 $A$ 的位置，$0\leq x\leq3$：

關鍵位置：

在 $B$ 點因支撐反力 $B_y=10.8\ \mathrm{kN}$，剪力向上跳升：

$B$ 至 $C$ 區段

令 $s$ 為距離 $B$ 的位置，$0\leq s\leq1.5$：

因此：

剪力圖關鍵數值

剪力圖為兩段向下傾斜直線，於 $B$ 點向上跳升 $10.8\ \mathrm{kN}$。

剪力為零的位置在 $AB$：

三、彎矩圖

核心觀念

本題為平面桁架分析，採用：

1. 整體平衡方程式 $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$

2. 節點法（method of joints） 每一節點均滿足： $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0$

3. 桿件軸力符號約定：

• 假設桿件受拉，若計算值為正，表示張力。
• 若計算值為負，表示壓力。

由圖得各節點座標可取為：

$B(0,0),\quad C(3,0),\quad D(6,0),\quad A(3,4)$

斜桿 $AB$、$AD$ 的水平、垂直方向比例為 $3:4:5$，因此方向餘弦為：

$\cos\theta=\frac{3}{5},\qquad \sin\theta=\frac{4}{5}$

（一）支承處的反作用力

設：

• $B_x$：$B$ 點水平反力
• $B_y$：$B$ 點垂直反力
• $D_y$：$D$ 點垂直反力

$B$ 點為鉸支承，可有水平、垂直反力；$D$ 點為滾支承，僅有垂直反力。

1. 水平方向平衡

$\sum F_x=0$

$B_x+24=0$

$\boxed{B_x=-24\ \text{kN}}$

故 $B_x=24\ \text{kN}$，方向向左。

2. 取 $B$ 點力矩

逆時針為正：

$\sum M_B=0$

水平力 $24\ \text{kN}$ 作用於 $A$ 點，高度為 $4\ \text{m}$；垂直力 $16\ \text{kN}$ 作用於 $C$ 點，距 $B$ 為 $3\ \text{m}$。

$6D_y-16(3)-24(4)=0$

$6D_y-48-96=0$

$\boxed{D_y=24\ \text{kN}}$

方向向上。

3. 垂直方向平衡

$\sum F_y=0$

$B_y+D_y-16=0$

$B_y+24-16=0$

$\boxed{B_y=-8\ \text{kN}}$

故 $B_y=8\ \text{kN}$，方向向下。

（二）各桿件軸力

桿件編號如下：

• 桿件①：$AB$
• 桿件②：$AC$
• 桿件③：$AD$
• 桿件④：$BC$
• 桿件⑤：$CD$

1. $B$ 節點：求桿件①、④

假設 $AB$、$BC$ 均為張力。

垂直方向

$\sum F_y=0$

$-8+\frac{4}{5}N_1=0$

$N_1=10\ \text{kN}$

因此：

$\boxed{N_1=10\ \text{kN，張力}}$

水平方向

$\sum F_x=0$

$-24+\frac{3}{5}(10)+N_4=0$

$-24+6+N_4=0$

$N_4=18\ \text{kN}$

因此：

$\boxed{N_4=18\ \text{kN，張力}}$

2. $D$ 節點：求桿件③、⑤

核心觀念

本題為一維光滑球體碰撞，使用：

1. 動量守恆 $mu_1+mu_2=mv_1+mv_2$

2. 恢復係數定義

其中向右為正方向，且三球質量皆為 $m$，恢復係數 $e=0.6$。

第一階段：球體 $B$ 碰撞球體 $C$

碰撞前速度為

$u_B=v_0,\qquad u_C=0$

動量守恆：

$mv_0=mv_B+mv_C$

約去 $m$：

$v_0=v_B+v_C$

恢復係數關係：

$0.6=\frac{v_C-v_B}{v_0-0}$

因此

$v_C-v_B=0.6v_0$

聯立得

$v_B=0.2v_0,\qquad v_C=0.8v_0$

碰撞後，球體 $A$ 尚未碰撞，故

$v_A=v_0$

第二階段：球體 $A$ 碰撞球體 $B$

此時碰撞前速度為

$u_A=v_0,\qquad u_B=0.2v_0$

動量守恆：

$m v_0+m(0.2v_0)=mv_A'+mv_B'$

即

$v_A'+v_B'=1.2v_0$

恢復係數關係：

$0.6=\frac{v_B'-v_A'}{v_0-0.2v_0}$

所以

核心觀念

物體沿斜面向上滑動時，重力沿斜面的分力與動摩擦力都指向斜面下方，使物體減速。物體到達最高點時速度為零。可用運動學公式求停止距離；也可用功與能定理求解。

解題方法

取斜面向上為正方向。沿斜面方向的重力分力為 $mg\sin30^\circ$，正向力為 $N=mg\cos30^\circ$，因此動摩擦力大小為

重力分力與摩擦力皆向下坡，故加速度為

在最高點，末速度 $v=0$。代入運動學公式 $v^2=v_0^2+2as$：