108 高普考高考三級 農業機械 應用力學 考古題詳解

108 年・高普考・高考三級・農業機械
試題代碼 應用力學

第 一、 題25 分

考慮如圖一(a)所示，繞過固定曲面之平皮帶（Flat Belt），利用靜力平衡條件可證得當 T2>T1T_2>T_1 時，T2/T1T_2/T_1 之極大值為 eμβe^{\mu\beta}，其中 μ\mu 為平皮帶與曲面間之摩擦係數，β\beta 為接觸角（單位為弧度）。

如圖一(b)所示，一密度為 1.5 Mg/m31.5\ \mathrm{Mg/m^3} 的顆粒狀（Granular）材料，在滑移一固定表面上的輸送皮帶上運送。顆粒狀材料和輸送皮帶之間的動摩擦係數（Coefficient of Kinetic Friction）為 μk=0.3\mu_k=0.3。輸送皮帶的操作是經由一馬達所提供給輪 AA 的力矩 MM。輪 BB 可自由旋轉（Free to Turn），而在輪 AA 與輸送皮帶之間的靜摩擦係數（Coefficient of Static Friction）是 μA=0.4\mu_A=0.4。輪 AA、BB 的圖示尺寸為 100 mm100\ \mathrm{mm}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 當未施加負荷於輸送皮帶時，若施加一預拉力（Pretension）300 N300\ \mathrm{N} 於其上，在不讓輸送皮帶停止的情形下，決定在任何時間可允許在輸送皮帶上的最大顆粒狀材料體積 VV。

(二) 施加此預拉力於輸送皮帶時，計算要驅動輸送皮帶所需的力矩 MM。

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核心觀念

本題結合兩個皮帶力學觀念：

  1. 顆粒材料與輸送帶間有相對滑動，材料對皮帶的阻力為動摩擦力： Fk=μkN=μkρVgF_k=\mu_k N=\mu_k\rho Vg
  2. 輸送帶與驅動輪 AA 間靠靜摩擦傳遞力量。皮帶即將在輪 AA 上滑動時，兩側張力比達到平皮帶公式的上限： T緊T鬆=eμAβ\frac{T_{\text{緊}}}{T_{\text{鬆}}}=e^{\mu_A\beta}

圖示中輪 AA 的包覆角為半圈，故 β=π\beta=\pi；輪半徑為 r=100 mm=0.1 mr=100\ \mathrm{mm}=0.1\ \mathrm{m}。

解題方法

預拉力為 300 N300\ \mathrm{N}，表示空載時皮帶兩側張力各為 300 N300\ \mathrm{N}。加載後，緊邊張力增加、鬆邊張力減少；以預拉力關係取兩側張力總和不變：

T緊+T鬆=2(300)=600 NT_{\text{緊}}+T_{\text{鬆}}=2(300)=600\ \mathrm{N}

輸送帶將要停止的臨界狀態，是驅動輪 AA 的靜摩擦力達到上限。此時：

T緊T鬆=eμAβ=e0.4π=3.514\frac{T_{\text{緊}}}{T_{\text{鬆}}}=e^{\mu_A\beta} =e^{0.4\pi}=3.514

聯立張力總和與張力比，得兩側最大張力差：

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第 二、 題25 分

如圖二所示的構架（Frame）：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料如下：上方桿件 CBCB 長度為 6 m6\ \mathrm{m}，由 CC 至第一個集中力作用點距離為 2 m2\ \mathrm{m}，兩個集中力作用點間距離為 2 m2\ \mathrm{m}，第二個集中力作用點至 BB 距離為 2 m2\ \mathrm{m}。作用於上方桿件上的集中力分別為 4 kN4\ \mathrm{kN} 與 2 kN2\ \mathrm{kN}，方向皆鉛直向下。

左側桿件 CDCD 高度為 4 m4\ \mathrm{m}，水平力 3 kN3\ \mathrm{kN} 作用於距離 DD 點 1 m1\ \mathrm{m}、距離 CC 點 3 m3\ \mathrm{m} 的位置，方向水平向右。下方桿件 DEDE 長度為 6 m6\ \mathrm{m}，其中 DE=3 mDE=3\ \mathrm{m}、EA=3 mEA=3\ \mathrm{m}。斜桿件 CECE 連接 CC、EE 兩點。

(一) 畫出解題所需的分離物體圖（Free-Body Diagram）。

(二) 決定在 AA 及 BB 的銷作用在構架上力的水平及垂直分量。

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核心觀念

本題考查平面構架的靜力平衡、銷接點的作用力與二力構件。A、B 為銷支承，各有水平與垂直反力，且不傳遞力偶；斜桿 CE 只在 C、E 兩端受力，因此是二力構件，兩端作用力沿 CE 軸線、大小相等、方向相反。

取向右、向上為正，逆時針力矩為正。依圖設 D=(0,0)D=(0,0)、C=(0,4)C=(0,4)、E=(3,0)E=(3,0)、A=(6,0)A=(6,0)、B=(6,4)B=(6,4)，因此 CE 為 3 ⁣: ⁣4 ⁣: ⁣53\!:\!4\!:\!5 斜桿。

解題方法與分離物體圖

將構架分成上桿 CB、直桿 CD、斜桿 CE、下桿 DA 分析。銷接點的作用力須成對反向；在 C 點，三桿的端力須滿足力平衡。

分離物體圖應標示：

  • 上桿 CB： B 點支承反力 Bx,ByB_x,B_y；C 點桿端力 Cx,CyC_x,C_y；距 C 點 22 m、44 m 處分別有 44 kN、22 kN 向下。
  • 直桿 CD： C、D 兩端銷力；距 D 點 11 m 處有 33 kN 向右。
  • 斜桿 CE： C、E 兩端沿 CE 軸線、大小相等且方向相反的力 TT。
  • 下桿 DA： A 點支承反力 Ax,AyA_x,A_y；D 點銷力；E 點承受斜桿傳來的力。

1. 上桿 CB 平衡

先對 B 點取矩。兩個向下集中力分別距 B 點 44 m、22 m：

∑MB=0:−6Cy+4(4)+2(2)=0\sum M_B=0:\quad -6C_y+4(4)+2(2)=0 Cy=103 kNC_y=\frac{10}{3}\ \text{kN}

再由垂直力平衡：

∑Fy=0:By+Cy−4−2=0\sum F_y=0:\quad B_y+C_y-4-2=0 By=83 kNB_y=\frac{8}{3}\ \text{kN}

2. 直桿 CD 與 C 點平衡

令斜桿 CE 受拉力 TT。因 CE 為 3 ⁣: ⁣4 ⁣: ⁣53\!:\!4\!:\!5，斜桿在 C 點的力分量為

(3T5,−4T5)\left(\frac{3T}{5},-\frac{4T}{5}\right)

對直桿 CD 取 D 點力矩，令直桿 C 點水平力為 CDxC_{Dx}：

∑MD=0:−4CDx−3(1)=0\sum M_D=0:\quad -4C_{Dx}-3(1)=0 CDx=−34 kNC_{Dx}=-\frac{3}{4}\ \text{kN}

在 C 點，三桿端力平衡。上桿 C 點水平力記為 CxC_x，故

Cx+CDx+3T5=0C_x+C_{Dx}+\frac{3T}{5}=0 Cx=34−3T5C_x=\frac{3}{4}-\frac{3T}{5}

對上桿作水平力平衡，得

Bx=−Cx=−34+3T5B_x=-C_x=-\frac{3}{4}+\frac{3T}{5}
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第 三、 題25 分

如圖三所示，一戶外展示品的一部分，一個與兩金屬線 ACAC 和 BCBC 連結在一起的 6 kg6\ \mathrm{kg} 地球模型，以等速 vv 繞著如圖三中所示的水平圓周旋轉。若兩金屬線 ACAC 和 BCBC 均維持繃緊的狀態，且若其中任一根鋼線中的張力不超過 125 N125\ \mathrm{N}，決定 vv 可容許的範圍值。

圖示資料：水平圓周半徑為 900 mm900\ \mathrm{mm}，金屬線 ACAC 與圖示垂直參考線之夾角為 40∘40^\circ，金屬線 BCBC 與圖示垂直參考線之夾角為 15∘15^\circ。

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核心觀念

地球模型做等速水平圓周運動，垂直方向加速度為零，水平方向則有向心加速度 v2/rv^2/r。因此，對模型受力分解後使用：

∑F垂直=0,∑F向心=mv2r\sum F_{\text{垂直}}=0,\qquad \sum F_{\text{向心}}=\frac{mv^2}{r}

設上方鋼線 ACAC 張力為 TACT_{AC}，下方鋼線 BCBC 張力為 TBCT_{BC}。兩線與垂直方向的夾角分別為 40∘40^\circ、15∘15^\circ。

解題方法

取垂直向上為正，水平向圓心為向心方向。模型重量為

W=mg=6(9.81)=58.86 NW=mg=6(9.81)=58.86\ \mathrm{N}

垂直方向平衡：

TACcos⁡40∘−TBCcos⁡15∘−58.86=0T_{AC}\cos40^\circ-T_{BC}\cos15^\circ-58.86=0

所以

TAC=58.86+TBCcos⁡15∘cos⁡40∘T_{AC}=\frac{58.86+T_{BC}\cos15^\circ}{\cos40^\circ}

向心方向的力由兩條鋼線的水平分量提供：

TACsin⁡40∘+TBCsin⁡15∘=6v20.9T_{AC}\sin40^\circ+T_{BC}\sin15^\circ =\frac{6v^2}{0.9}

鋼線張力須為正，且不得超過 125 N125\ \mathrm{N}。

速度下限

隨速度降低，TBCT_{BC} 趨近於零；此時由垂直平衡式得

TAC=58.86cos⁡40∘=76.84 NT_{AC}=\frac{58.86}{\cos40^\circ}=76.84\ \mathrm{N}
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第 四、 題25 分

如圖四所示，均勻桿件 ABAB 和 BCBC 的質量分別為 2.4 kg2.4\ \mathrm{kg} 和 4 kg4\ \mathrm{kg}，而在 CC 的小輪之質量是可以忽略的。如圖四所示的位置，小輪 CC 的速度是 2 m/s2\ \mathrm{m/s} 向右，決定當桿件 ABAB 旋轉 90∘90^\circ 之後銷（Pin）BB 的速度。

圖示資料：桿件 ABAB 長度為 360 mm360\ \mathrm{mm}，桿件 BCBC 長度為 600 mm600\ \mathrm{mm}。

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核心觀念

本題考查剛體平面運動的速度約束與機械能守恆。桿件長度固定，因此兩端相對速度在桿軸方向的分量為零；系統由均勻桿件組成，動能須同時考慮平移與轉動。

由圖可知，桿件 ABAB 初始垂直，旋轉 90∘90^\circ 後呈水平。小輪 CC 沿水平面運動，且其質量可忽略。

解題方法

取 AA 為原點。初始時，AB=0.36 mAB=0.36\ \mathrm{m}、BC=0.60 mBC=0.60\ \mathrm{m}，所以 CC 與 AA 的水平距離為

AC=0.602−0.362=0.48 m.AC=\sqrt{0.60^2-0.36^2}=0.48\ \mathrm{m}.

初始時，BB 的速度垂直於桿件 ABAB，故為水平；CC 的速度也是水平，且已知向右 2 m/s2\ \mathrm{m/s}。由桿件 BCBC 的速度約束，

(vC−vB)⋅rCB=0.(\mathbf v_C-\mathbf v_B)\cdot \mathbf r_{CB}=0.

因為 rCB\mathbf r_{CB} 有非零水平分量，且兩端速度均為水平，得

vB,0=vC,0=2 m/s.v_{B,0}=v_{C,0}=2\ \mathrm{m/s}.

因此初始時桿件 BCBC 瞬間平移、角速度為零。桿件 ABAB 的角速度大小為

ωAB,0=20.36=5.556 rad/s.\omega_{AB,0}=\frac{2}{0.36}=5.556\ \mathrm{rad/s}.

初始動能為

T0=12IA,ABωAB,02+12mBCvC,02,T_0= \frac12 I_{A,AB}\omega_{AB,0}^2 +\frac12 m_{BC}v_{C,0}^2,

其中

IA,AB=13mABLAB2=13(2.4)(0.36)2.I_{A,AB}=\frac13m_{AB}L_{AB}^2 =\frac13(2.4)(0.36)^2.

所以

T0=12[13(2.4)(0.36)2](5.556)2+12(4)(2)2=1.6+8=9.6 J.T_0 =\frac12\left[\frac13(2.4)(0.36)^2\right](5.556)^2 +\frac12(4)(2)^2 =1.6+8=9.6\ \mathrm{J}.
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