112 高普考高考三級 農業機械 農業機電與控制 考古題詳解

核心觀念

本題考查 GPIO 與外部負載之間的介面保護。原電路中，GPIO 直接串接 $220\,\Omega$ 電阻及 LED，LED 電流、外部突波與負載變動都可能直接流入控制器 GPIO，造成過電流或過電壓損壞。

加入 NPN 電晶體後，採用「低側開關」方式，使 GPIO 只負責驅動電晶體基極，LED 電流改由外部電源及 NPN 電晶體承擔。

解題方法與電路設計

建議電路如下：

 +VCC（外部電源）
 │
 RLED
 220 Ω
 │
 LED（陽極）
 │
 LED（陰極）
 │
 集極 C
 Q1：NPN
 射極 E
 │
 GND
 │
控制器 GPIO Pin 12 ─ RB ─ 基極 B

控制器的 GND 必須與外部電源 GND 相連，電路可繪成：

 +VCC
 │
 220 Ω
 │
 ─|>|─ LED
 │
 C
 Q1 │
GPIO Pin 12 ── RB ─── B NPN
 E
 │
控制器 GND ────────────────┴──── 外部電源 GND

其中：

• $Q1$ 為 NPN 電晶體。
• $R_B$ 為基極限流電阻，避免 GPIO 輸出過大的基極電流。
• $R_{LED}$ 為 LED 限流電阻，可沿用原題的 $220\,\Omega$。
• LED 與限流電阻由外部電源供電。
• GPIO 不再直接承受 LED 的負載電流。

基極電阻可依下式估算：

$$R_B \geq \frac{V_{GPIO}-V_{BE}}{I_B}$$

其中矽質 NPN 電晶體通常取：

$$V_{BE}\approx 0.7\text{ V}$$

若以飽和開關設計，基極電流可取：

$$I_B \geq \frac{I_C}{\beta_{\text{forced}}}$$

並選擇適當的 $R_B$，使 GPIO 輸出電流不超過控制器規格。

電路動作

當 GPIO Pin 12 輸出高電位時：

1. 基極產生電流。
2. NPN 電晶體導通。
3. 電流由外部電源經 $R_{LED}$、LED 及 Q1 流至 GND。
4. LED 發亮。

當 GPIO Pin 12 輸出低電位時：

1. 基極電流接近零。
2. NPN 電晶體截止。
3. LED 電流路徑中斷。
4. LED 熄滅。

核心觀念

基本負回饋系統的閉迴路特徵方程式為

$$1+G(s)H(s)=0$$

系統穩定的判斷，可將特徵方程式化為二階標準形式

$$s^2+a_1s+a_0=0$$

二階系統穩定的必要且充分條件為

$$a_1>0,\qquad a_0>0$$

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（一）計算穩定的 $K$ 值範圍

已知

$$G(s)=K\frac{s-20}{s^2+5s-50},\qquad H(s)=1$$

閉迴路特徵方程式為

$$1+K\frac{s-20}{s^2+5s-50}=0$$

因此

$$s^2+5s-50+K(s-20)=0$$

整理得

$$s^2+(K+5)s-(50+20K)=0$$

與

$$s^2+a_1s+a_0=0$$

比較可得

$$a_1=K+5$$ $$a_0=-(50+20K)$$

依二階系統穩定條件：

條件一

$$K+5>0$$

所以

$$K>-5$$

條件二

$$-(50+20K)>0$$ $$50+20K<0$$ $$K<-2.5$$

合併兩項條件：

$$\boxed{-5<K<-2.5}$$

在 $K=-5$ 時，系統極點位於虛軸上，屬於臨界穩定；在 $K=-2.5$ 時，有一極點位於原點，同樣不屬於嚴格穩定。

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（二）根軌跡分析

開迴路極點由

$$s^2+5s-50=(s-5)(s+10)$$

可得

$$p_1=5,\qquad p_2=-10$$

開迴路零點為

$$z=20$$

特徵方程式可寫為

$$(s-5)(s+10)+K(s-20)=0$$

因此

$$K=-\frac{(s-5)(s+10)}{s-20}$$

由於穩定範圍為負的 $K$，本題須觀察負增益根軌跡。

實軸根軌跡

在負增益根軌跡上，實軸區段為：

$$-10<s<5$$

以及

$$s>20$$

其中：

• 一支由極點 $s=-10$ 往右移動；
• 一支由極點 $s=5$ 往左移動；
• 兩支在左半平面交會後離開實軸，形成共軛複數根；
• 另一支由零點 $s=20$ 延伸至正無窮大。

根軌跡示意如下：

核心觀念

本題考查完整的電阻式應變計量測鏈：

$$\text{應變計}\rightarrow \text{惠斯登電橋}\rightarrow \text{儀表放大器}\rightarrow \text{A/D轉換器}\rightarrow \text{數位顯示}$$

主要公式如下：

1. 電阻式應變計：

$$\frac{\Delta R}{R}=GF\cdot \varepsilon$$

其中 $GF$ 為應變計因數，$\varepsilon$ 為應變量。

2. 應力與應變關係：

$$\sigma=E_m\varepsilon$$

其中 $\sigma$ 為應力，$E_m$ 為材料楊氏係數。

3. 惠斯登電橋平衡條件：

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_4}{R_3}$$

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（一）應變計量測應力或應變之原理

電阻式應變計是將細金屬線或金屬箔黏貼在待測物表面。待測物受到拉伸或壓縮時，應變計也會產生相同的伸長或縮短，使其電阻值改變。

金屬導體的電阻為：

$$R=\rho\frac{L}{A}$$

其中 $\rho$ 為電阻率、$L$ 為導體長度、$A$ 為截面積。當應變計受拉伸時，$L$ 增加、$A$ 減少，通常使 $R$ 增加；受壓縮時則使 $R$ 減少。

應變計因數定義為：

$$GF=\frac{\Delta R/R}{\varepsilon}$$

因此：

$$\varepsilon=\frac{\Delta R}{GF\cdot R}$$

量測系統實際先量測電阻變化，再利用應變計因數換算成應變。若已知材料楊氏係數，則可由虎克定律求得應力：

$$\sigma=E_m\varepsilon$$

所以其量測流程是：

$$\text{機械變形} \rightarrow \text{應變計電阻變化} \rightarrow \text{電橋輸出電壓變化} \rightarrow \text{放大與數位化} \rightarrow \text{換算應力或應變}$$

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（二）橋接電路之平衡原理

圖中四個電阻 $R_1、R_2、R_3、R_4$ 組成惠斯登電橋，電源電壓為 $E$，$A、B$ 為兩個中點，電橋輸出為 $V_{AB}$。

以電源上端為 $E$、下端為零電位，則：

$$V_A=E\frac{R_4}{R_1+R_4}$$ $$V_B=E\frac{R_3}{R_2+R_3}$$

因此：

$$V_{AB}=V_A-V_B$$

即：

$$V_{AB} = E\left( \frac{R_4}{R_1+R_4} - \frac{R_3}{R_2+R_3} \right)$$

當 $A、B$ 兩點電位相等時，電橋輸出為零，稱為平衡狀態：

$$V_A=V_B$$

整理得：

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_4}{R_3}$$

也可寫成：

$$R_1R_3=R_2R_4$$

應變計安裝於電橋其中一臂，例如作為 $R_3$。未受力時調整各電阻，使電橋達到平衡；受力後應變計電阻改變，使平衡條件被破壞，於 $A、B$ 兩點產生微小差動電壓：

$$\Delta V_{AB}\neq 0$$

此差動電壓的大小與電阻變化量及應變量有關。

若為四分之一橋，其他三個電阻固定且阻值相同，並假設只有一個應變計產生小變化，則：

$$\left|\frac{V_{AB}}{E}\right| \approx \frac{1}{4}\frac{\Delta R}{R} =\frac{GF}{4}\varepsilon$$

因此電橋具有將微小電阻變化轉換成電壓訊號的功能。

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（三）儀表放大器之原理及其與一般放大器之差異

1. 儀表放大器的構造與原理

圖中的儀表放大器由三顆運算放大器組成：

• OPA1、OPA2：輸入緩衝及第一級增益放大器。
• OPA3：差動放大器，將兩路訊號相減並放大。

其輸出可表示為：

$$V_o=G(V_B-V_A)+V_{\text{ref}}$$

若參考端接地，則：

$$V_o=G(V_B-V_A)$$

核心觀念

本題考查一階 $RC$ 電路的：

• Kirchhoff 電壓、電流定律。
• 電容器關係式：$i_C=C\dfrac{dv_C}{dt}$。
• 轉移函數與頻率響應。
• 積分電路、微分電路的近似條件。
• 低通、高通濾波器及截止頻率。

設階躍輸入為

$$V_{in}(t)=V_su(t)$$

其中 $V_s$ 為階躍電壓幅值。

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（一）原電路：$R$ 串聯、$C$ 並聯，輸出取自電容器

1. 時域關係式

由圖可知，輸出電壓即為電容器電壓：

$$V_{out}=V_C$$

流經電阻器的電流為

$$i_R=\frac{V_{in}-V_{out}}{R}$$

電容器電流為

$$i_C=C\frac{dV_{out}}{dt}$$

由串聯電路電流相同：

$$\frac{V_{in}-V_{out}}{R} = C\frac{dV_{out}}{dt}$$

整理得

$$RC\frac{dV_{out}}{dt}+V_{out}=V_{in}$$

此即 $V_{out}$ 與 $V_{in}$ 的時域關係式。

若輸入為 $V_su(t)$，且電容器初始未充電，即

$$V_{out}(0)=0$$

則 $t>0$ 時 $V_{in}=V_s$，因此

$$RC\frac{dV_{out}}{dt}+V_{out}=V_s$$

其解為

$$\boxed{V_{out}(t)=V_s\left(1-e^{-t/(RC)}\right),\qquad t\geq 0}$$

這表示輸出電壓由 $0$ V 隨時間上升，最後趨近 $V_s$。

2. 是否為積分電路

由時域方程式

$$RC\frac{dV_{out}}{dt}+V_{out}=V_{in}$$

若滿足

$$RC\frac{dV_{out}}{dt}\gg V_{out}$$

則可近似為

$$RC\frac{dV_{out}}{dt}\approx V_{in}$$

因此

$$\boxed{V_{out}(t)\approx \frac{1}{RC}\int V_{in}(t)\,dt}$$

所以此電路為 RC 積分電路。

積分電路的構成與工作條件為：

• 電阻器串聯於輸入端。
• 電容器並聯接地。
• 輸出取自電容器兩端。
• 時間常數 $RC$ 必須遠大於輸入訊號的特徵時間，亦即

$$RC\gg T$$

若以角頻率表示，則

$$\omega RC\gg 1$$

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（二）原電路的頻域判斷

電容器阻抗為

$$Z_C=\frac{1}{j\omega C}$$

利用分壓定理：

$$H(j\omega) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{Z_C}{R+Z_C}$$

代入 $Z_C$：

$$H(j\omega) = \frac{\frac{1}{j\omega C}} {R+\frac{1}{j\omega C}} = \frac{1}{1+j\omega RC}$$

因此

$$\boxed{H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega RC}}$$

當 $\omega=0$ 時，增益為 $1$；當頻率升高時，增益逐漸降低，因此為

$$\boxed{\text{低通濾波器}}$$

截止角頻率為

$$\boxed{\omega_c=\frac{1}{RC}}$$

截止頻率為

$$\boxed{f_c=\frac{1}{2\pi RC}}$$

在截止頻率處，增益大小為低頻增益的 $1/\sqrt{2}$，即 $-3$ dB。

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（三）電阻器與電容器互換

互換後，電容器串聯於輸入端，電阻器接地，輸出取自電阻器兩端。此為標準 RC 微分電路。

（1）時域關係式與電路判斷

令電容器電流為 $i_C$，因輸出取自電阻器：

$$V_{out}=Ri_C$$

電容器兩端電壓為

$$V_C=V_{in}-V_{out}$$

由電容器關係式：

$$i_C=C\frac{dV_C}{dt} = C\frac{d(V_{in}-V_{out})}{dt}$$

因此

$$V_{out} = RC\frac{d(V_{in}-V_{out})}{dt}$$

整理得

核心觀念

本題考查二位元閃存式 A/D 轉換器的工作原理：

1. 電阻梯形網路產生比較電壓 $1\text{ V}$、$2\text{ V}$、$3\text{ V}$。
2. 三個比較器分別比較 $V_{\text{in}}$ 與各參考電壓。
3. D 型觸發器鎖存比較器輸出，形成溫度計碼 $G_2G_1G_0$。
4. 編碼轉換器再將溫度計碼轉換成二位元二進制碼 $B_1B_0$。

由圖中比較器接法，當參考電壓大於輸入電壓時，對應輸出 $G_i=1$。

解題方法

電阻串聯於 $V_{\max}=4\text{ V}$ 與 $V_{\min}=0\text{ V}$ 之間，共有四個等值電阻，因此三個比較電壓為：

• 上方比較器：$3\text{ V}$
• 中間比較器：$2\text{ V}$
• 下方比較器：$1\text{ V}$

所以：

$G_2=1 \quad \text{當} \quad V_{\text{in}}<3\text{ V}$

$G_1=1 \quad \text{當} \quad V_{\text{in}}<2\text{ V}$

$G_0=1 \quad \text{當} \quad V_{\text{in}}<1\text{ V}$

依各電壓範圍判斷：

電壓範圍	D 型觸發器輸出 $(G_2G_1G_0)$	二進制輸出 $(B_1B_0)$
$V_{\text{in}}=[0,1)$	① $111$	② $00$
$V_{\text{in}}=[1,2)$	③ $110$	④ $01$
$V_{\text{in}}=[2,3)$	⑤ $100$	⑥ $10$
$V_{\text{in}}=[3,4]$	⑦ $000$	⑧ $11$