110 高普考高考三級 農業機械 農業機電與控制 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・農業機械
試題代碼 農業機電與控制

第 一 題20 分

一、某工程師針對剛完成的自動導引曳引型機進行測試，其中一台量測裝置的頻率響應如下圖所示。（每小題 5 分，共 20 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請問此量測裝置的頻寬（Bandwidth）範圍為何？

（二）此量測裝置若用以量測頻率 50 rad/sec50\ \mathrm{rad/sec}、振幅為 3 V3\ \mathrm{V} 的正弦波（Sinusoidal）輸入訊號，它的輸出訊號振幅為何（V）？

（三）對於所有量測頻率大於 480 rad/sec480\ \mathrm{rad/sec}、振幅為 5 V5\ \mathrm{V} 的正弦波輸入訊號，它的輸出訊號振幅為何（V）？

（四）此量測裝置可視之為低通、帶通或高通濾波器？

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核心觀念

圖中的縱軸為振幅比 Aout/AinA_{\text{out}}/A_{\text{in}}，橫軸為角頻率 ω\omega。輸入正弦波經量測裝置後，輸出振幅為

Aout=AoutAinAinA_{\text{out}}=\frac{A_{\text{out}}}{A_{\text{in}}}A_{\text{in}}

圖上增益在 100100 至 300 rad/sec300\ \mathrm{rad/sec} 間維持為 11，低頻端與高頻端則受到衰減。

解題方法

（一）頻寬範圍

依圖讀取增益為 11 的平坦頻率區間，起點為 100 rad/sec100\ \mathrm{rad/sec}，終點為 300 rad/sec300\ \mathrm{rad/sec}。因此頻寬範圍為 100100 至 300 rad/sec300\ \mathrm{rad/sec}，頻寬大小為

300−100=200 rad/sec300-100=200\ \mathrm{rad/sec}

（二）輸入頻率為 50 rad/sec50\ \mathrm{rad/sec}

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第 二 題20 分

二、一稻穀烘乾機之振幅波德圖（The magnitude of Bode plots）如下圖所示，請以此波德圖鑑別其轉移函數。假設此烘乾機為最小相位系統。（20 分）

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核心觀念

波德圖的斜率變化可用來判斷轉移函數的零點與極點：

  • 每個一階零點使斜率增加 20 dB/decade20\ \text{dB/decade}。
  • 每個一階極點使斜率減少 20 dB/decade20\ \text{dB/decade}。
  • 轉折頻率 ωc\omega_c 對應一階因子 1+s/ωc1+s/\omega_c；零點放在分子，極點放在分母。
  • 最小相位假設表示零點位於左半平面，排除具有相同幅值特性但相位不同的非最小相位因素。

解題方法

依圖讀出各頻段的斜率與轉折頻率：

頻率範圍斜率斜率變化與判斷
ω<0.2\omega<0.200尚無零點或極點作用
0.2<ω<20.2<\omega<2+20 dB/decade+20\ \text{dB/decade}在 ω=0.2\omega=0.2 有一個零點
2<ω<102<\omega<1000在 ω=2\omega=2 增加一個極點
10<ω<3010<\omega<30−20 dB/decade-20\ \text{dB/decade}在 ω=10\omega=10 增加一個極點
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第 三 題20 分

三、水果選別機使用計數器來計算水果數量。我們可以採用四個下降緣（Falling edge）觸發的 T 型正反器（Flip flop）建構一個 4 位元／級連波計數器，如圖所示。第一顆 T 型正反器的時脈輸入端可接信號產生器產生振盪峰值幅度為 5 V5\ \mathrm{V} 的矩形週期波，後續第二、三、四顆 T 型正反器的時脈信號則由前一級正反器的輸出信號提供。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請問此一 4 位元／級連波計數器為上數計數器（Up counter）或是下數計數器？請以時序圖說明之。（10 分）

（二）如何改變此一計數器的上數或下數？（6 分）

（三）正反器是序向邏輯元件或組合邏輯元件？（4 分）

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核心觀念

本題考查下降緣觸發 T 型正反器組成的漣波計數器。T 輸入固定為 11 時，正反器會在每個有效時脈下降緣翻轉輸出；沒有收到有效下降緣時，輸出維持原狀。

圖中第一級輸出 AA 是最低位元，後續各級依序為 B、C、DB、C、D。第一級由外部時脈觸發，第二級的時脈接前一級的 QQ 輸出，依此類推。

解題方法

假設計數器初始狀態為 DCBA=0000DCBA=0000，並以理想正反器說明。每逢外部時脈下降緣，AA 翻轉。當 AA 由 11 變為 00 時，這個下降緣也會觸發 BB 翻轉；同理，BB、CC 由 11 變為 00 時，分別觸發下一級翻轉。

因此時序如下，表中狀態列為各次有效下降緣作用後的 DCBADCBA：

外部時脈下降緣次數DCBADCBA
初始00000000
100010001
200100010
300110011
401000100
501010101
601100110
701110111
810001000

狀態依二進位數值遞增，所以這是 上數計數器。完整循環為 00000000 至 11111111，再回到 00000000。題目未指定初始狀態；表中以 00000000 起算，計數方向仍為上數。

（一）計數方向與時序圖

時序可用下列轉換表示：

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第 四 題20 分

四、在機電控制系統中常需使用感測器，它在系統中扮演極其重要的角色，藉它得以知悉系統自身的狀態以及外界環境的狀況，以做出適當的控制決策。請說明選擇感測器時須考慮哪些因素？（20 分）

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核心觀念

感測器是機電控制系統的「感知元件」，負責將被測物理量轉換成控制器可讀取的訊號，使控制器得以掌握系統狀態與外界環境。選擇感測器時，須從量測需求、性能、環境適應性、介面相容性及成本維護等面向評估，不能只看量程或精度。

常見性能名詞如下：

  • 量程：感測器可正常量測的範圍。
  • 靈敏度：輸出變化量與輸入變化量之比，例如 S=Δy/ΔxS=\Delta y/\Delta x。
  • 解析度：可辨識的最小輸入變化量。
  • 準確度：量測值接近真值的程度。
  • 精密度：重複量測結果彼此接近的程度。
  • 線性度、遲滯、重複性、漂移及反應時間：分別描述輸出偏離線性關係、輸入增減時輸出差異、重複量測一致性、輸出隨時間改變，以及追隨輸入變化的快慢。

解題方法

本題為感測器選用的申論題，可依「量什麼、量得如何、能否用於現場、能否接入控制系統、是否經濟可靠」逐項作答。先說明量測對象及範圍，再列出性能指標，最後補充環境、介面、安全與維護因素，並指出各因素須配合控制目的取捨。

選擇感測器應考慮的因素

  1. 量測對象與量測原理 明確界定欲量測的物理量，例如溫度、壓力、流量、位置、速度、轉矩或濕度；依被測量的特性選擇合適原理，並考慮感測器是否會接觸或干擾被測物，以及量測位置與安裝方式。

  2. 量測範圍與過載能力 感測器的量程須涵蓋正常操作值及預期變動範圍；也須考慮啟動、衝擊或故障時可能出現的峰值，確認其過載能力足夠。量程過大可能降低有效解析度，量程過小則可能飽和或損壞。

  3. 準確度與量測誤差 依控制或監測需求設定可接受的誤差，並確認規格中的準確度、非線性誤差、遲滯與校正條件。若控制對誤差很敏感，感測器誤差須小於系統容許誤差；也要留意規格是否受溫度、供電或安裝方式影響。

  4. 靈敏度、解析度與訊雜比 靈敏度須足以反映被測量的變化；解析度須能分辨控制所需的最小變化。若輸出訊號相對雜訊太小，微小變化便不易可靠辨識，因此也要考慮雜訊、濾波與訊號調理方式。

  5. 反應時間與頻率響應 感測器須能跟上被測量的變化速度。快速變動或閉迴路控制場合，應選擇反應時間短、頻率響應足夠的感測器；反應太慢會使回授落後，降低控制品質，甚至造成不穩定。

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第 五 題20 分

五、圖（a）為裝置於曳引機上之加速度計（Accelerometer），此系統之運動方程式為

mx¨r(t)+bx˙r(t)+kxr(t)=−mx¨i(t)m\ddot{x}_r(t)+b\dot{x}_r(t)+kx_r(t)=-m\ddot{x}_i(t)

其中，mm 為其質量、bb 為阻尼係數（Damping coefficient）、kk 為其彈簧常數（Spring constant）。

若輸入信號為

xi(t)=Xisin⁡(ωt)x_i(t)=X_i\sin(\omega t)

其中，xr(t)x_r(t) 為質塊（Mass）與外殼（Housing）的相對位移，ω\omega 為振動頻率，而在此線性系統中，

xr(t)=Xrsin⁡(ωt+ϕ)x_r(t)=X_r\sin(\omega t+\phi)

其中，ϕ\phi 為相位角，ωn\omega_n 為系統之自然頻率（Natural frequency），ζ\zeta 為阻尼比（Damping ratio）。

經過推導得到輸出與輸入之關係式如下：

Ha(ω)=Xrωn2Xiω2=1[(1−(ωωn)2)2+4ζ2(ωωn)2]1/2H_a(\omega)=\frac{X_r\omega_n^2}{X_i\omega^2}=\frac{1}{\left[\left(1-\left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2\right)^2+4\zeta^2\left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2\right]^{1/2}}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請問此加速度計係根據什麼原理來量測加速度？詳細說明之。可參考圖（a）及圖（b）。（7 分）

（二）請問增加 ωn\omega_n 或減少 ωn\omega_n 對擴大量測範圍是否有幫助？為什麼？請參考圖（b）。（7 分）

（三）請問要能量測到最大的頻寬，ζ\zeta 應該取多少？為什麼？請參考圖（b）。（6 分）

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核心觀念

本題考查單自由度加速度計的慣性測量原理，以及自然頻率 ωn\omega_n、阻尼比 ζ\zeta 對頻率響應與可用頻寬的影響。加速度計以質塊相對外殼的位移代表外殼所受的加速度；在低於自然頻率的工作範圍內，相對位移與輸入加速度近似成正比。

定義自然頻率與阻尼比：

ωn=km,ζ=b2mωn\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \zeta=\frac{b}{2m\omega_n}

令頻率比 r=ω/ωnr=\omega/\omega_n，題目給定的加速度計響應為：

Ha(ω)=Xrωn2Xiω2=1(1−r2)2+4ζ2r2H_a(\omega) =\frac{X_r\omega_n^2}{X_i\omega^2} =\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+4\zeta^2r^2}}

解題方法與作答

（一）加速度計的測量原理

外殼固定在曳引機上，會隨曳引機振動；質塊則因慣性而不會完全同步跟著外殼運動，因此質塊與外殼之間產生相對位移 xr(t)x_r(t)。位移感測器量出這個相對位移，再利用質塊—彈簧—阻尼器的動態關係換算加速度。

由運動方程式可得位移振幅比：

∣XrXi∣=ω2(ωn2−ω2)2+(2ζωnω)2\left|\frac{X_r}{X_i}\right| = \frac{\omega^2} {\sqrt{(\omega_n^2-\omega^2)^2+(2\zeta\omega_n\omega)^2}}

當輸入頻率遠低於自然頻率，即 ω≪ωn\omega\ll\omega_n 時，分母近似為 ωn2\omega_n^2，因此：

Xr≈Xiω2ωn2X_r\approx \frac{X_i\omega^2}{\omega_n^2}

而輸入加速度振幅為 ai=Xiω2a_i=X_i\omega^2，所以：

ai≈Xrωn2a_i\approx X_r\omega_n^2

因此，只要量得質塊相對外殼的位移，並乘上 ωn2\omega_n^2，就能近似得到曳引機的加速度大小。實際輸出極性須依感測器方向校正。

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