107 高普考高考三級 機械工程 熱力學 考古題詳解

核心觀念

本題評量純物質（水）在壓力—體積相圖（$P$-$V$ 或 $P$-$v$ 圖）上的相態判讀、飽和圓頂線（Vapor Dome）之幾何特徵，以及四大基本熱力過程（定壓、定容、定溫、定熵）之路徑與能量轉換特性。

1. 相圖幾何架構與相態區域：

• 飽和圓頂線（Vapor Dome）：由左側的「飽和液體線（Saturated Liquid Line）」與右側的「飽和蒸汽線（Saturated Vapor Line）」在頂部的「臨界點（Critical Point, CP）」交會而成。
• 壓縮液體區（Compressed Liquid Region）：位於飽和液體線左側，壓力高於飽和壓力（$P > P_{sat}(T)$），比容小於飽和液體比容（$v < v_f$）。
• 濕蒸汽區（Wet Mixture Region / 液汽共存區）：位於圓頂線下方，液汽兩相平衡共存。在此區域內溫度與壓力相互依附（$P = P_{sat}(T)$），單一性質無法獨立決定狀態，乾度介於 $0 < x < 1$。
• 過熱蒸汽區（Superheated Vapor Region）：位於飽和蒸汽線右側，溫度高於飽和溫度（$T > T_{sat}(P)$），比容大於飽和蒸汽比容（$v > v_g$）。

2. 四大基本熱力過程與性質關係：

• 定壓過程（Isobaric Process, $P = \text{常數}$）：$P$-$V$ 圖上呈現水平直線，邊界功為 $W = P(V_2 - V_1)$，吸熱量等於焓變 $Q = m(h_2 - h_1)$。
• 定容過程（Isochoric Process, $V = \text{常數}$）：$P$-$V$ 圖上呈現垂直直線，邊界功 $W = \int P dV = 0$，吸熱量完全轉化為內能增量 $Q = m(u_2 - u_1)$。
• 定溫過程（Isothermal Process, $T = \text{常數}$）：在液相區斜率極陡；進入飽和圓頂區時，因相變化期間溫度固定則飽和壓力亦固定（$P = P_{sat}(T)$），軌跡為水平直線；進入過熱蒸汽區後隨比容膨脹而壓力遞減。
• 定熵過程（Isentropic Process, $s = \text{常數}$）：可逆絕熱過程（$Q = 0$），在過熱蒸汽區之斜率絕對值大於定溫線（$(\partial P / \partial V)_s < (\partial P / \partial V)_T < 0$），膨脹時對外輸出功 $W = m(u_1 - u_2)$，溫度與壓力同步大幅下降。

解題方法

依據考選部命題標準與原卷圖形幾何軌跡，題目若未標註特定數值，係考查純物質相平衡之經典四大熱力過程。解題切入點在於：首先辨識各子圖中狀態 1 與狀態 2 所處的熱力區域，再依據連接兩點之路徑特徵（水平、垂直、定溫線、定熵線）判定熱力過程與熱功轉換行為。

（一）定壓加熱膨脹過程

1. 狀態 1：位於飽和液體線左側之「壓縮液體（過冷液體）」狀態（或飽和液體線上之飽和液體狀態）。此狀態壓力 $P_1$ 高於該溫度對應之飽和壓力，比容 $v_1 \approx v_f(T_1)$。
2. 狀態 2：位於飽和蒸汽線右側之「過熱蒸汽」狀態。此狀態溫度 $T_2 > T_{sat}(P_2)$，比容 $v_2 > v_g(P_2)$。
3. 過程 $1\rightarrow2$：定壓加熱膨脹過程（Isobaric Heating Process）。

• 幾何特徵為自左向右之水平直線（$P_1 = P_2 = \text{常數}$）。
• 歷程包含三階段：

1. 壓縮液體顯熱加熱：定壓吸熱使溫度由 $T_1$ 上升至飽和溫度 $T_{sat}$，比容微量膨脹。
2. 兩相共存相變潛熱蒸發：於飽和圓頂內在定壓定溫下吸收汽化潛熱，乾度 $x$ 由 0 增加至 1，比容劇烈膨脹。
3. 過熱蒸汽顯熱加熱：飽和蒸汽繼續定壓吸熱，溫度上升超過 $T_{sat}$，比容進一步擴大。

• 能量特性：系統對外作正邊界功 $W = P(V_2 - V_1) > 0$，吸熱量為 $Q = m(h_2 - h_1) > 0$。

（二）定容加熱增壓過程

1. 狀態 1：位於飽和圓頂線內之「濕蒸汽（飽和液汽混合物）」狀態。系統具初始乾度 $x_1$（$0 < x_1 < 1$），處於氣液平衡，$P_1 = P_{sat}(T_1)$。
2. 狀態 2：位於高壓側過熱蒸汽區（若初始比容大於臨界比容 $v_1 > v_c$ 且加熱穿出飽和蒸汽線）或壓縮液體區（若 $v_1 < v_c$ 且加熱穿出飽和液體線）之高壓狀態；工程實務多為剛性容器加熱進入「過熱蒸汽」狀態。
3. 過程 $1\rightarrow2$：定容加熱增壓過程（Isochoric / Rigid Tank Heating Process）。

• 幾何特徵為由下向上之垂直直線（$V_1 = V_2 = \text{常數}$）。
• 物理意義為工質置於剛性密閉容器內加熱：

1. 系統邊界無位移，邊界功嚴格為零：$W = \int_1^2 P dV = 0$。
2. 依熱力學第一定律，注入的熱量全數轉化為工質內能增量：$Q = \Delta U = m(u_2 - u_1)$。
3. 容器內飽和液體迅速蒸發，分子碰撞加劇，壓力與溫度同時大幅攀升（$P_2 > P_1$, $T_2 > T_1$）。

（三）定溫膨脹過程

1. 狀態 1：位於高壓側之「壓縮液體」或「飽和液體」狀態，壓力 $P_1$ 較高。
2. 狀態 2：位於低壓側過熱蒸汽區之「過熱蒸汽」狀態，壓力 $P_2 < P_1$，比容 $v_2 \gg v_1$。
3. 過程 $1\rightarrow2$：定溫膨脹過程（Isothermal Expansion Process）。

• 幾何特徵為一條自左上向右下延伸之等溫線（$T_1 = T_2 = \text{常數}$）。
• 歷程特性：

1. 液相微膨脹：在壓縮液體區，壓力隨極小的體積變化而急劇下降至飽和壓力 $P_{sat}(T)$。

核心觀念

本題考查渦輪增壓系統（Turbocharger System）的能量平衡與穩態流動機械（壓縮機與渦輪機）的等熵效率（Isentropic Efficiency）​計算，涉及以下核心熱力學觀念與公式：

1. 理想氣體狀態方程式與比熱關係：

• 定壓比熱 $C_{p0}$ 與氣體常數 $R$ 之關係：$C_v = C_{p0} - R$。
• 等熵過程指數（比熱比）：$k = \dfrac{C_{p0}}{C_v}$，且 $\dfrac{k-1}{k} = \dfrac{R}{C_{p0}}$，$\dfrac{k}{k-1} = \dfrac{C_{p0}}{R}$。

2. 渦輪機（Turbine）等熵效率：

• 定義：$\eta_t = \dfrac{w_t}{w_{ts}} = \dfrac{h_3 - h_4}{h_3 - h_{4s}} = \dfrac{T_3 - T_4}{T_3 - T_{4s}}$。
• 等熵膨脹終溫：$T_{4s} = T_3 \left(\dfrac{P_4}{P_3}\right)^{\frac{k-1}{k}} = T_3 \left(\dfrac{P_4}{P_3}\right)^{\frac{R}{C_{p0}}}$。
• 渦輪輸出比功：$w_t = C_{p0}(T_3 - T_4)$；輸出功率：$\dot{W}_t = \dot{m}_t w_t$。

3. 渦輪增壓器之能量守恆（軸功平衡）：

• 渦輪機所產生的軸功全數用於驅動壓縮機（不計軸承摩擦損失）： $\dot{W}_c = \dot{W}_t \implies \dot{m}_c w_c = \dot{m}_t w_t$
• 因工作流體均為空氣且 $\dot{m}_c = \dot{m}_t = \dot{m} = 0.1\ \mathrm{kg/s}$，故 $w_c = w_t$。

4. 壓縮機（Compressor）等熵效率：

• 定義：$\eta_c = \dfrac{w_{cs}}{w_c} = \dfrac{h_{2s} - h_1}{h_2 - h_1} = \dfrac{T_{2s} - T_1}{T_2 - T_1}$。
• 等熵壓縮壓力比與溫度比關係： $\dfrac{P_2}{P_1} = \left(\dfrac{T_{2s}}{T_1}\right)^{\frac{k}{k-1}} = \left(\dfrac{T_{2s}}{T_1}\right)^{\frac{C_{p0}}{R}}$

解題方法

基本物性參數推導

已知空氣之 $C_{p0} = 1.0035\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，$R = 0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$：

• 比熱比指數： $\dfrac{k-1}{k} = \dfrac{R}{C_{p0}} = \dfrac{0.287}{1.0035} \approx 0.2860$ $\dfrac{k}{k-1} = \dfrac{C_{p0}}{R} = \dfrac{1.0035}{0.287} \approx 3.4965$

（一）求渦輪機出口溫度 $T_4$ 與輸出功

1. 狀態 3 絕對溫度： $T_3 = 650^\circ\mathrm{C} = 650 + 273.15 = 923.15\ \mathrm{K}$ （若取整數 $273\ \mathrm{K}$ 計算，則 $T_3 = 923\ \mathrm{K}$）

2. 理想等熵膨脹出口溫度 $T_{4s}$： $T_{4s} = T_3 \left(\dfrac{P_4}{P_3}\right)^{\frac{R}{C_{p0}}} = 923.15 \times \left(\dfrac{100}{170}\right)^{0.2860}$ $\left(\dfrac{100}{170}\right)^{0.2860} = (0.5882)^{0.2860} \approx 0.8592$ $T_{4s} = 923.15 \times 0.8592 = 793.17\ \mathrm{K}$

3. 實際出口溫度 $T_4$： 根據渦輪機等熵效率 $\eta_t = 85\% = 0.85$： $\eta_t = \dfrac{T_3 - T_4}{T_3 - T_{4s}} \implies T_3 - T_4 = \eta_t (T_3 - T_{4s})$ $T_3 - T_{4s} = 923.15 - 793.17 = 129.98\ \mathrm{K}$ $T_3 - T_4 = 0.85 \times 129.98 = 110.48\ \mathrm{K}$ $T_4 = 923.15 - 110.48 = 812.67\ \mathrm{K} \approx 539.52^\circ\mathrm{C}$

4. 渦輪機輸出功：

• 單位質量輸出功（比功 $w_t$）： $w_t = C_{p0}(T_3 - T_4) = 1.0035\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \times 110.48\ \mathrm{K} \approx 110.87\ \mathrm{kJ/kg}$
• 總輸出功率（$\dot{W}_t$）： $\dot{W}_t = \dot{m} w_t = 0.1\ \mathrm{kg/s} \times 110.87\ \mathrm{kJ/kg} \approx 11.09\ \mathrm{kW}$

（二）求壓縮機出口溫度 $T_2$ 與出口壓力 $P_2$

1. 求壓縮機出口溫度 $T_2$：

• 狀態 1 絕對溫度： $T_1 = 30^\circ\mathrm{C} = 30 + 273.15 = 303.15\ \mathrm{K}$
• 由渦輪增壓器之功平衡，渦輪機功全數提供壓縮機：

核心觀念

1. 煤炭元素分析（Ultimate Analysis）：以質量分率表示燃料中的化學元素含量。在計算燃燒化學計量時，基準通常取 $100\text{ kg}$ 或 $1\text{ kg}$ 的煤炭燃料（含水分與灰分之原始基底，as-received basis）。
2. 理論空氣量（Theoretical Air）：燃料完全燃燒生成 $\mathrm{CO_2}$、$\mathrm{H_2O}$ 及 $\mathrm{SO_2}$ 所需之最低空氣量。燃料本身自帶之氧元素（$\mathrm{O}$）亦會參與氧化反應，因此外部空氣需供應的理論氧量需扣除燃料內含之氧。
3. 空氣組成與分子量：標準燃燒分析中，空氣之莫耳比例視為 $21\%\ \mathrm{O_2}$ 與 $79\%\ \mathrm{N_2}$，即每消耗 $1\text{ kmol}$ 的 $\mathrm{O_2}$，伴隨 $3.76\text{ kmol}$ 的 $\mathrm{N_2}$（共 $4.76\text{ kmol}$ 空氣）。

• 依題目給定之原子量（$\mathrm{N}=14, \mathrm{O}=16$），每 $1\text{ kmol } \mathrm{O_2}$ 對應之空氣質量為： $1 \times 32 + 3.76 \times 28 = 137.28\text{ kg air/kmol } \mathrm{O_2}$
• 若採用熱力學常用之乾燥空氣平均分子量 $M_{\text{air}} = 28.97\text{ kg/kmol}$，則每 $1\text{ kmol } \mathrm{O_2}$ 對應之空氣質量為 $4.76 \times 28.97 = 137.90\text{ kg air/kmol } \mathrm{O_2}$。

4. 質量空燃比（Air-Fuel Ratio on mass basis, $AF$）： $AF = \frac{m_{\text{air}}}{m_{\text{fuel}}}$ 當使用 $120\%$ 理論空氣（即過剩空氣 $20\%$）時，實際空氣質量 $m_{\text{air, act}} = 1.20 \times m_{\text{air, th}}$。

解題方法

選取計算基準：取 $m_{\text{fuel}} = 100\text{ kg}$ 煤炭。

步驟一：計算各成分莫耳數

依質量分率與給定原子量，求出 $100\text{ kg}$ 煤炭中各可燃元素與氧之莫耳數：

• 碳 $\mathrm{C}$：$m_{\mathrm{C}} = 48.6\text{ kg} \implies n_{\mathrm{C}} = \frac{48.6}{12} = 4.05\text{ kmol}$
• 氫 $\mathrm{H}$：$m_{\mathrm{H}} = 3.5\text{ kg} \implies n_{\mathrm{H}} = \frac{3.5}{1} = 3.5\text{ kmol}$
• 硫 $\mathrm{S}$：$m_{\mathrm{S}} = 0.5\text{ kg} \implies n_{\mathrm{S}} = \frac{0.5}{32} = 0.015625\text{ kmol}$
• 氧 $\mathrm{O}$：$m_{\mathrm{O}} = 12.0\text{ kg} \implies n_{\mathrm{O}} = \frac{12.0}{16} = 0.75\text{ kmol}$（相當於 $0.375\text{ kmol } \mathrm{O_2}$）
• 水分 $\mathrm{H_2O}$（$28.9\text{ kg}$）、氮 $\mathrm{N}$（$0.7\text{ kg}$）與灰分 Ash（$5.8\text{ kg}$）皆為不可燃物質，不消耗氧氣。

步驟二：建立完全燃燒反應式，計算理論需氧量

各可燃元素的燃燒反應式如下：

1. 碳燃燒生成二氧化碳： $\mathrm{C} + \mathrm{O_2} \rightarrow \mathrm{CO_2}$ 消耗 $\mathrm{O_2}$ 量：$n_{\mathrm{O_2, C}} = 4.05\text{ kmol}$

2. 氫燃燒生成水蒸氣： $\mathrm{H} + \frac{1}{4}\mathrm{O_2} \rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{H_2O}$

核心觀念

本題考查理想再熱朗肯循環（Ideal Reheat Rankine Cycle）​之熱力狀態分析與性能指標計算。涉及的核心觀念與公式如下：

1. 循環各組件之熱力過程：

• 高壓渦輪機（High-Pressure Turbine）：工作流體進行等熵膨脹（$s_2 = s_1$）。
• 再熱器（Reheater）：定壓加熱至指定溫度（$P_3 = P_2$，$T_3 = 400^\circ\mathrm{C}$）。
• 低壓渦輪機（Low-Pressure Turbine）：工作流體進行等熵膨脹（$s_4 = s_3$）。
• 冷凝器（Condenser）：定壓冷凝為飽和液體（$x_5 = 0$，$h_5 = h_f$）。
• 泵浦（Pump）：不可壓縮流體之等熵壓縮（$s_6 = s_5$）。
• 鍋爐（Boiler）：定壓加熱使壓縮水達到高溫高壓過熱蒸汽。

2. 濕蒸汽區（飽和液汽混合物）乾度與焓值：

• 乾度定義（質量百分比）： $x = \frac{s - s_f}{s_{fg}} = \frac{s - s_f}{s_g - s_f}$
• 比焓計算： $h = h_f + x \cdot h_{fg} = h_f + x (h_g - h_f)$

3. 泵浦功（Pump Work）：

• 液體視為不可壓縮流體： $w_{p,\mathrm{in}} = v_f (P_{\mathrm{high}} - P_{\mathrm{low}}) = h_6 - h_5$

4. 熱效率（Thermal Efficiency, $\eta_{\mathrm{th}}$）： $\eta_{\mathrm{th}} = \frac{w_{\mathrm{net}}}{q_{\mathrm{in}}} = \frac{w_{t,\mathrm{out}} - w_{p,\mathrm{in}}}{q_{\mathrm{in}}}$ 其中： $w_{t,\mathrm{out}} = (h_1 - h_2) + (h_3 - h_4)$ $q_{\mathrm{in}} = (h_1 - h_6) + (h_3 - h_2)$

解題方法

定義循環各狀態點編號如下：

• 狀態 1：高壓渦輪機進口
• 狀態 2：高壓渦輪機出口 / 再熱器進口
• 狀態 3：低壓渦輪機進口 / 再熱器出口
• 狀態 4：低壓渦輪機出口 / 冷凝器進口
• 狀態 5：冷凝器出口 / 泵浦進口
• 狀態 6：泵浦出口 / 鍋爐進口

步驟一：確定各狀態點熱力性質

1. 狀態 1（高壓渦輪機進口）

• 條件：$P_1 = 5.0\ \mathrm{MPa}$，$T_1 = 400^\circ\mathrm{C}$
• 由過熱蒸汽性質表查得： $h_1 = 3195.6\ \mathrm{kJ/kg},\quad s_1 = 6.6458\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

2. 狀態 2（高壓渦輪機出口）

• 條件：$P_2 = 0.8\ \mathrm{MPa}$，等熵膨脹 $s_2 = s_1 = 6.6458\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$
• 查 $0.8\ \mathrm{MPa}$ 之飽和性質：$s_f = 2.0461$，$s_g = 6.6627\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$
• 由於 $s_f < s_2 < s_g$，狀態 2 為飽和液汽混合物： $x_2 = \frac{s_2 - s_f}{s_g - s_f} = \frac{6.6458 - 2.0461}{6.6627 - 2.0461} = \frac{4.5997}{4.6166} \approx 0.99634$
• 求比焓 $h_2$： $h_2 = h_f + x_2 (h_g - h_f) = 721.10 + 0.99634 \times (2769.1 - 721.10) = 721.10 + 2040.50 = 2761.60\ \mathrm{kJ/kg}$

3. 狀態 3（低壓渦輪機進口）

• 條件：$P_3 = 0.8\ \mathrm{MPa}$，再熱至 $T_3 = 400^\circ\mathrm{C}$
• 由過熱蒸汽性質表查得： $h_3 = 3267.1\ \mathrm{kJ/kg},\quad s_3 = 7.5715\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

4. 狀態 4（低壓渦輪機出口）

• 條件：$P_4 = 10\ \mathrm{kPa}$，等熵膨脹 $s_4 = s_3 = 7.5715\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$
• 查 $10\ \mathrm{kPa}$ 之飽和性質：$s_f = 0.6492$，$s_g = 8.1501\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$
• 由於 $s_f < s_4 < s_g$，狀態 4 位於濕蒸汽區，求出口乾度 $x_4$： $x_4 = \frac{s_4 - s_f}{s_g - s_f} = \frac{7.5715 - 0.6492}{8.1501 - 0.6492} = \frac{6.9223}{7.5009} \approx 0.92286 \approx 92.29\%$
• 求比焓 $h_4$： $h_4 = h_f + x_4 (h_g - h_f) = 191.81 + 0.92286 \times (2584.6 - 191.81) = 191.81 + 2208.22 = 2400.03\ \mathrm{kJ/kg}$