111 高普考高考三級 機械工程 熱力學 考古題詳解

核心觀念

本題主要測驗工程熱力學中「穩態開放系統（控制容積）」的質量守恆與能量守恆定律，以及理想氣體狀態方程式的應用：

1. 理想氣體狀態方程式（Ideal Gas Equation of State）： 用於求取進口狀態下流體的比容 $v_1$ 或密度 $\rho_1$： $P = \rho R T \quad \Longleftrightarrow \quad v = \frac{R T}{P}$
2. 質量守恆與質量流率（Conservation of Mass）： 一維穩態均勻流動之質量流率公式： $\dot{m} = \rho A V = \frac{A V}{v}$
3. 穩態流動能量方程式（Steady-Flow Energy Equation, SFEE）： 擴散器（Diffuser）為一種使流體減速以提升壓力的流體機械元件。針對該控制容積，標準工程假設為：

• 穩態流動（$\mathrm{d}m_{cv}/\mathrm{d}t = 0,\ \mathrm{d}E_{cv}/\mathrm{d}t = 0$）
• 無外功輸出／輸入（$\dot{W}_{cv} = 0$）
• 絕熱或熱傳量可忽略（$\dot{Q} \approx 0$）
• 位能變化可忽略（$\Delta pe \approx 0$）

4. 理想氣體之焓值變化： 比熱為常數時，流體之比焓差與溫差之關係為 $\Delta h = C_p \Delta T$。

解題方法

(一) 求空氣的質量流率 $\dot{m}$

1. 進口絕對溫度計算： $T_1 = 10^\circ\mathrm{C} = 10 + 273.15 = 283.15\ \mathrm{K}$ （若工程慣用取 $273\ \mathrm{K}$，則 $T_1 = 283\ \mathrm{K}$）

2. 求進口處空氣密度 $\rho_1$： 根據理想氣體狀態方程式 $P_1 = \rho_1 R T_1$： $\rho_1 = \frac{P_1}{R T_1} = \frac{80\ \mathrm{kPa}}{0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \times 283.15\ \mathrm{K}} = \frac{80}{81.2641} \approx 0.9844\ \mathrm{kg/m^3}$ （若取 $T_1 = 283\ \mathrm{K}$，則 $\rho_1 = \frac{80}{0.287 \times 283} \approx 0.9850\ \mathrm{kg/m^3}$）

3. 計算進口質量流率 $\dot{m}$： 已知進口面積 $A_1 = 0.6\ \mathrm{m^2}$、進口流速 $V_1 = 100\ \mathrm{m/s}$： $\dot{m} = \rho_1 A_1 V_1 = 0.9844\ \mathrm{kg/m^3} \times 0.6\ \mathrm{m^2} \times 100\ \mathrm{m/s} = 59.066\ \mathrm{kg/s} \approx 59.07\ \mathrm{kg/s}$ （若以 $T_1 = 283\ \mathrm{K}$ 計算，$\dot{m} = 0.9850 \times 0.6 \times 100 \approx 59.10\ \mathrm{kg/s}$）

(二) 求空氣在擴散器出口處的溫度 $T_2$

1. 建立控制容積之能量平衡方程式： 對擴散器建立一維穩態開式系統之第一定律： $\dot{Q} - \dot{W}_{cv} = \dot{m} \left[ (h_2 - h_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} + g(z_2 - z_1) \right]$

2. 代入擴散器之特性假設：

• 絕熱：$\dot{Q} = 0$
• 無軸功：$\dot{W}_{cv} = 0$
• 忽略位能差：$g(z_2 - z_1) = 0$
• 出口速度極低：$V_2 \ll V_1 \implies V_2 \approx 0$

方程式簡化為： $0 = (h_2 - h_1) + \frac{0 - V_1^2}{2} \implies h_2 - h_1 = \frac{V_1^2}{2}$

3. 代入理想氣體焓值變化關係式： 因比熱為定值，$h_2 - h_1 = C_p (T_2 - T_1)$，得： $C_p (T_2 - T_1) = \frac{V_1^2}{2}$

核心觀念

本題評量熱力學閉合系統（Closed System）在可逆多變過程中的基本運算，核心觀念包含：

1. 邊界作功（Boundary Work）之定義與積分：氣體在準平衡膨脹過程中所作的功為 $W = \int P \, dV$。當過程滿足 $PV = C$（多變指數 $n = 1$）時，功的解析解為對數形式。
2. 理想氣體狀態方程式（Ideal Gas Equation of State）： $PV = mRT$ 其中溫度 $T$ 必須採用絕對溫度（$\mathrm{K}$）。若理想氣體的過程滿足 $PV = C$，則因 $m$ 與 $R$ 均為定值，該過程必然亦為「等溫過程（Isothermal Process）」，即 $T_1 = T_2 = \text{定值}$。
3. 熱力學第一定律（First Law of Thermodynamics）： 對閉合系統進行能量平衡分析： $Q - W = \Delta U$ 由於空氣假設為理想氣體，其內能僅為溫度的單值函數（$u = u(T)$，焦耳定律）。在等溫過程中，內能變化量 $\Delta U = m c_v (T_2 - T_1) = 0$，因此熱量傳遞量等於對外作功量（$Q = W$）。

解題方法

已知條件整理

• 初始壓力：$P_1 = 5 \times 10^6\ \mathrm{Pa} = 5000\ \mathrm{kPa}$
• 初始體積：$V_1 = 0.02\ \mathrm{m^3}$
• 初始絕對溫度：$T_1 = 327^\circ\mathrm{C} = 327 + 273.15 = 600.15\ \mathrm{K}$（若依國家考試常用之整數取值 $273\ \mathrm{K}$，則 $T_1 = 600\ \mathrm{K}$）
• 終態體積：$V_2 = 3 V_1 = 3 \times 0.02 = 0.06\ \mathrm{m^3}$
• 過程方程式：$PV = C = P_1 V_1 = P_2 V_2$
• 氣體常數：$R = 0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

(一) 空氣膨脹對活塞所作之功 $W$

氣體膨脹過程的邊界功公式為： $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$

由 $PV = C$ 可得 $P = \frac{C}{V} = \frac{P_1 V_1}{V}$，代入積分式： $W = \int_{V_1}^{V_2} \frac{P_1 V_1}{V} \, dV = P_1 V_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

計算乘積 $P_1 V_1$： $P_1 V_1 = (5 \times 10^6\ \mathrm{Pa}) \times (0.02\ \mathrm{m^3}) = 10^5\ \mathrm{J} = 100\ \mathrm{kJ}$

代入體積比 $\frac{V_2}{V_1} = 3$： $W = 100 \times \ln(3)\ \mathrm{kJ} \approx 100 \times 1.098612 = 109.86\ \mathrm{kJ}$

(二) 氣缸內空氣質量 $m$

對初始狀態套用理想氣體狀態方程式： $P_1 V_1 = m R T_1 \implies m = \frac{P_1 V_1}{R T_1}$

代入數值（以 $T_1 = 600\ \mathrm{K}$ 計算）：

核心觀念

本題評量純物質在雙相區（汽-液共存區）的熱力學性質與基本定義，核心重點包含：

1. 等壓蒸發熱量與汽化潛熱（Latent Heat of Vaporization, $h_{fg}$）：

• 對於封閉系統中的等壓相變化過程，吸收的熱量等於系統的焓變化量： $Q = \Delta H = m (h_g - h_f) = m h_{fg}$
• 根據純物質之 $T\text{-}s$ 或 $P\text{-}v$ 相圖特徵，隨著飽和壓力 $P$ 上升，飽和液線與飽和汽線逐漸向臨界點（Critical Point）靠攏。在臨界點處，$h_f = h_g$，即 $h_{fg} = 0$。因此，汽化潛熱 $h_{fg}$ 隨飽和壓力的增加而單調遞減。

2. 乾度（Quality, $x$）的定義：

• 乾度為混合物中飽和汽（氣相）之質量佔系統總質量之比率（質量分率）： $x \equiv \frac{m_g}{m_{\text{total}}} = \frac{m_g}{m_f + m_g}$
• 乾度純粹取決於「質量」，與壓力、溫度、比容或體積無關。

解題方法

(一) 等壓蒸發所需能量之比較

1. 能量推導： 封閉系統在無其他非膨脹功作用下，進行準靜態等壓加熱過程： $\delta Q = dU + P dV = d(U + PV) = dH$ 對於質量為 $m$ 的水，從飽和液（$x = 0$）等壓蒸發至飽和汽（$x = 1$），所需熱量為： $Q = m(h_g - h_f) = m h_{fg}$

2. 汽化潛熱隨壓力之物理關係：

• 飽和壓力愈高，分子間熱運動愈劇烈，液態水分子脫離分子間束縛所需的動能（相變潛熱）愈小。
• 在水蒸氣性質表中，當壓力由 $1\ \mathrm{bar}$ 增加至 $10\ \mathrm{bar}$ 時，相應的汽化潛熱隨之降低：
• 在 $P = 1\ \mathrm{bar}$（約 $100\ \mathrm{kPa}$，$T_{\text{sat}} \approx 99.63^\circ\mathrm{C}$）時： $h_{fg, 1\ \mathrm{bar}} \approx 2257.5\ \mathrm{kJ/kg}$
• 在 $P = 10\ \mathrm{bar}$（約 $1\ \mathrm{MPa}$，$T_{\text{sat}} \approx 179.88^\circ\mathrm{C}$）時： $h_{fg, 10\ \mathrm{bar}} \approx 2014.6\ \mathrm{kJ/kg}$

3. 能量比較：

• $1\ \mathrm{kg}$、$1\ \mathrm{bar}$ 所需能量： $Q_{1\ \mathrm{bar}} = 1\ \mathrm{kg} \times 2257.5\ \mathrm{kJ/kg} = 2257.5\ \mathrm{kJ}$
• $1\ \mathrm{kg}$、$10\ \mathrm{bar}$ 所需能量： $Q_{10\ \mathrm{bar}} = 1\ \mathrm{kg} \times 2014.6\ \mathrm{kJ/kg} = 2014.6\ \mathrm{kJ}$

核心觀念

本題評量熱力學循環與動力冷凍複合系統的能量平衡計算，核心觀念包含：

1. 熱機熱效率（Thermal Efficiency, $\eta_{\mathrm{th}}$）： 熱機將吸收的高溫熱量轉換為淨功輸出的比率，依定義為： $\eta_{\mathrm{th}} = \frac{\dot{W}_{\mathrm{out}}}{\dot{Q}_{H,E}}$ 由熱力學第一定律（循環能量守恆），熱機排至低溫熱源（大氣）的熱傳率為： $\dot{Q}_{L,E} = \dot{Q}_{H,E} - \dot{W}_{\mathrm{out}} = (1 - \eta_{\mathrm{th}})\dot{Q}_{H,E}$

2. 冷凍機性能係數（Coefficient of Performance, $\mathrm{COP}_R$）： 冷凍機（冰箱）由外界輸入功，自低溫冷藏室吸收熱量，其性能指標定義為所獲得之冷凍效果與所消耗功率之比值： $\mathrm{COP}_R = \frac{\dot{Q}_{L,R}}{\dot{W}_{\mathrm{in}}}$ 由能量守恆定律，冷凍機排至高溫熱源（大氣）的熱傳率為： $\dot{Q}_{H,R} = \dot{Q}_{L,R} + \dot{W}_{\mathrm{in}} = (1 + \mathrm{COP}_R)\dot{W}_{\mathrm{in}}$

3. 複合系統能量耦合： 熱機的輸出功率全部用以驅動冰箱，即： $\dot{W}_{\mathrm{in}} = \dot{W}_{\mathrm{out}}$

解題方法

(一) 求從冰箱內部冷藏室帶走的熱傳率 $\dot{Q}_{L,R}$

1. 計算熱機的輸出功率 $\dot{W}_{\mathrm{out}}$： 已知熱機吸熱率 $\dot{Q}_{H,E} = 500\ \mathrm{kJ/min}$，熱效率 $\eta_{\mathrm{th}} = 35\% = 0.35$。 $\dot{W}_{\mathrm{out}} = \eta_{\mathrm{th}} \times \dot{Q}_{H,E} = 0.35 \times 500\ \mathrm{kJ/min} = 175\ \mathrm{kJ/min}$

2. 計算冰箱自冷藏室帶走之熱傳率 $\dot{Q}_{L,R}$： 熱機輸出功全數輸入冰箱，故 $\dot{W}_{\mathrm{in}} = \dot{W}_{\mathrm{out}} = 175\ \mathrm{kJ/min}$。 冰箱之 $\mathrm{COP}_R = 4.0$，根據性能係數定義： $\dot{Q}_{L,R} = \mathrm{COP}_R \times \dot{W}_{\mathrm{in}} = 4.0 \times 175\ \mathrm{kJ/min} = 700\ \mathrm{kJ/min}$

(二) 求熱機與冰箱排熱至大氣的總熱傳率 $\dot{Q}_{\mathrm{tot,atm}}$

熱機與冰箱均排熱至 $300\ \mathrm{K}$ 的大氣中，因此排至大氣的總熱傳率為兩設備排熱量之和： $\dot{Q}_{\mathrm{tot,atm}} = \dot{Q}_{L,E} + \dot{Q}_{H,R}$