113 高普考高考三級 機械工程 熱力學 考古題詳解

113 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 熱力學

第 一 題20 分

壓力為 1 MPa1\ \mathrm{MPa}、溫度為 350 K350\ \mathrm{K} 的空氣穩態且等熵地流經一個流道，空氣速度為 200 m/s200\ \mathrm{m/s}。試求：

(一) 靜滯焓（Stagnation enthalpy）（單位取 kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）。

(二) 靜滯溫度（Stagnation temperature）（單位取 K\mathrm{K}）。

(三) 靜滯壓力（Stagnation pressure）（單位取 MPa\mathrm{MPa}）。

(四) 馬赫數（Mach number）。

註：假設此空氣為理想氣體，空氣的等壓比熱與等容比熱皆為定值，等壓比熱 Cp=1.005 kJ/(kg⋅K)C_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，等容比熱 Cv=0.718 kJ/(kg⋅K)C_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，氣體常數 R=0.287 kJ/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，空氣的焓 h=CpTh=C_pT（TT 的單位為 K\mathrm{K}）。

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核心觀念

穩態流動的流體，其靜滯焓等於靜態焓與單位質量動能之和：

h0=h+V22h_0=h+\frac{V^2}{2}

題目給定 h=CpTh=C_pT，因此可用 h0=CpT0h_0=C_pT_0 求靜滯溫度。等熵理想氣體的靜滯壓力與靜滯溫度則滿足：

p0p=(T0T)γ/(γ−1)\frac{p_0}{p} =\left(\frac{T_0}{T}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}

其中比熱比 γ=Cp/Cv\gamma=C_p/C_v。馬赫數定義為流速除以當地音速，理想氣體的音速為 a=γRTa=\sqrt{\gamma RT}。

解題方法

已知 p=1 MPap=1\ \mathrm{MPa}、T=350 KT=350\ \mathrm{K}、V=200 m/sV=200\ \mathrm{m/s}。先把速度平方除以二的動能項換算成 kJ/kg\mathrm{kJ/kg}：

V22=(200 m/s)22=20,000 J/kg=20 kJ/kg\frac{V^2}{2} =\frac{(200\ \mathrm{m/s})^2}{2} =20{,}000\ \mathrm{J/kg} =20\ \mathrm{kJ/kg}

（一）靜滯焓為：

h0=CpT+V22=(1.005)(350)+20=371.75 kJ/kgh_0=C_pT+\frac{V^2}{2} =(1.005)(350)+20 =371.75\ \mathrm{kJ/kg}

（二）由 h0=CpT0h_0=C_pT_0：

T0=h0Cp=371.751.005=369.90 KT_0=\frac{h_0}{C_p} =\frac{371.75}{1.005} =369.90\ \mathrm{K}

亦可直接使用 T0=T+V2/(2Cp)T_0=T+V^2/(2C_p)，其中速度動能項須以 kJ/kg\mathrm{kJ/kg} 表示。

（三）比熱比為：

γ=CpCv=1.0050.718=1.3997\gamma=\frac{C_p}{C_v} =\frac{1.005}{0.718} =1.3997
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第 二 題30 分

一個封閉的活塞／氣缸組合內含初始壓力為 100 kPa100\ \mathrm{kPa}、溫度為 25∘C25^\circ\mathrm{C}、體積為 0.4 m30.4\ \mathrm{m^3} 的空氣。其先經過一等容加熱過程，直到壓力變為 250 kPa250\ \mathrm{kPa}；之後再經過一個等壓加熱過程，直到體積變為兩倍。試求：

(一) 最終溫度為何？（單位取 K\mathrm{K}）

(二) 在整個過程中，空氣的作功量為何？（單位取 kJ\mathrm{kJ}）

(三) 在整個過程中，加熱空氣的熱量為何？（單位取 kJ\mathrm{kJ}）

註：假設此空氣為理想氣體，空氣的等壓比熱與等容比熱皆為定值，等壓比熱 Cp=1.005 kJ/(kg⋅K)C_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，等容比熱 Cv=0.718 kJ/(kg⋅K)C_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，氣體常數 R=0.287 kJ/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，空氣的比內能變化可以用

u2−u1=Cv(T2−T1)u_2-u_1=C_v(T_2-T_1)

來計算。

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核心觀念

本題考查理想氣體在兩段定質量過程中的狀態關係、邊界作功與熱力學第一定律。

  • 理想氣體狀態方程式：PV=mRTPV=mRT。
  • 等容過程體積不變，邊界作功為 00；定質量理想氣體滿足 P/T=定值P/T=\text{定值}。
  • 等壓過程壓力不變，定質量理想氣體滿足 V/T=定值V/T=\text{定值}；邊界作功為 W=P(V3−V2)W=P(V_3-V_2)。
  • 封閉系統熱力學第一定律：Q−W=ΔUQ-W=\Delta U，其中 WW 為系統對外作功，ΔU=mCv(T3−T1)\Delta U=mC_v(T_3-T_1)。

解題方法

令初態為狀態 11，等容加熱後為狀態 22，等壓加熱後為狀態 33。先由等容關係求 T2T_2，再由等壓關係求最終溫度；作功只發生在第二段，最後以熱力學第一定律求總熱量。

初始溫度換算為

T1=25+273.15=298.15 K.T_1=25+273.15=298.15\ \mathrm{K}.

(一) 最終溫度

第一段為等容過程，因此

P1T1=P2T2,T2=T1P2P1=298.15250100=745.375 K.\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}, \qquad T_2=T_1\frac{P_2}{P_1} =298.15\frac{250}{100} =745.375\ \mathrm{K}.

第二段為等壓過程，且體積變為兩倍，故

V3V2=T3T2=2,T3=2T2=1490.75 K.\frac{V_3}{V_2}=\frac{T_3}{T_2}=2, \qquad T_3=2T_2=1490.75\ \mathrm{K}.

(二) 整個過程的作功量

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第 三 題30 分

一個體積為 1.0 m31.0\ \mathrm{m^3} 的封閉剛性容器置於一個加熱板上。剛開始的時候，容器內含有水的飽和液（Saturated liquid）和飽和汽（Saturated vapor）的兩相混合物，在壓力 P1=1 barP_1=1\ \mathrm{bar} 的情況下，乾度（Quality）為 0.60.6。經過加熱後，容器內的壓力為 P2=1.5 barP_2=1.5\ \mathrm{bar}。試利用下方飽和水之特性表決定：

(一) 狀態 1 和 2 的溫度（單位取 ∘C\mathrm{^\circ C}）（每個答案 5 分，共 10 分）。

(二) 狀態 1 和 2 的飽和汽質量（單位取 kg\mathrm{kg}）（每個答案 5 分，共 10 分）。

(三) 如果繼續加熱至容器中的水全部變成飽和汽時，試求此時的壓力（單位取 bar\mathrm{bar}）（10 分）。

飽和水特性表：

壓力（bar\mathrm{bar}）溫度（∘C\mathrm{^\circ C}）飽和液比體積（m3/kg\mathrm{m^3/kg}）飽和汽比體積（m3/kg\mathrm{m^3/kg}）
0.80.893.5093.50
0.90.996.7196.71
1.01.099.6399.63vfv_fvgv_g
1.51.5111.4111.4
2.02.0120.2120.21.0380×10−31.0380\times10^{-3}2.0872.087
2.52.5127.3127.31.0410×10−31.0410\times10^{-3}1.8691.869
3.03.0133.6133.61.0432×10−31.0432\times10^{-3}1.6941.694
3.53.5138.9138.91.0528×10−31.0528\times10^{-3}1.1591.159
4.04.0143.6143.61.0605×10−31.0605\times10^{-3}0.88570.8857
4.54.5147.9147.91.0672×10−31.0672\times10^{-3}0.71870.7187

原卷另列有下列比體積數據：

1.0732×10−31.0732\times10^{-3}、0.60580.6058、1.0786×10−31.0786\times10^{-3}、0.52430.5243、1.0836×10−31.0836\times10^{-3}、0.46250.4625、1.0882×10−31.0882\times10^{-3}、0.41400.4140。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查封閉剛性容器內兩相混合物的飽和性質：

  • 剛性容器：體積固定，且總質量不變。
  • 兩相混合物比體積：

v=vf+x(vg−vf)v=v_f+x(v_g-v_f)

  • 乾度定義：

x=mgmx=\frac{m_g}{m}

  • 總質量：

m=Vvm=\frac{V}{v}

由於容器為剛性容器，狀態 1、狀態 2 及後續狀態均具有相同的比體積。

解題方法

（一）狀態 1 和狀態 2 的溫度

由飽和水表直接查得：

  • P1=1 barP_1=1\ \mathrm{bar} 時：

T1=99.63∘CT_1=99.63^\circ\mathrm{C}

  • P2=1.5 barP_2=1.5\ \mathrm{bar} 時：

T2=111.4∘CT_2=111.4^\circ\mathrm{C}

（二）狀態 1 和狀態 2 的飽和汽質量

1. 求狀態 1 的比體積與總質量

在 P1=1 barP_1=1\ \mathrm{bar} 時，表中：

vf1=1.0432×10−3 m3/kgv_{f1}=1.0432\times10^{-3}\ \mathrm{m^3/kg}

vg1=1.694 m3/kgv_{g1}=1.694\ \mathrm{m^3/kg}

且乾度 x1=0.6x_1=0.6，因此：

v1=vf1+x1(vg1−vf1)v_1=v_{f1}+x_1(v_{g1}-v_{f1}) v1=1.0432×10−3+0.6(1.694−1.0432×10−3)v_1=1.0432\times10^{-3} +0.6(1.694-1.0432\times10^{-3}) v1=1.0168 m3/kgv_1=1.0168\ \mathrm{m^3/kg}

容器體積為 V=1.0 m3V=1.0\ \mathrm{m^3}，所以總質量為：

m=Vv1=1.01.0168≈0.9835 kgm=\frac{V}{v_1} =\frac{1.0}{1.0168} \approx0.9835\ \mathrm{kg}

狀態 1 的飽和汽質量：

mg1=x1mm_{g1}=x_1m mg1=0.6(0.9835)≈0.590 kgm_{g1}=0.6(0.9835) \approx0.590\ \mathrm{kg}

2. 求狀態 2 的乾度與飽和汽質量

由於容器剛性且封閉：

v2=v1=1.0168 m3/kgv_2=v_1=1.0168\ \mathrm{m^3/kg}

在 P2=1.5 barP_2=1.5\ \mathrm{bar} 時：

vf2=1.0528×10−3 m3/kgv_{f2}=1.0528\times10^{-3}\ \mathrm{m^3/kg}

vg2=1.159 m3/kgv_{g2}=1.159\ \mathrm{m^3/kg}

狀態 2 的乾度為：

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第 四 題20 分

試回答下列兩個問題：

(一) 兩部引擎的熱效率均為 40%40\%。引擎 A 從一個 600 K600\ \mathrm{K} 的高溫熱池（Thermal reservoir）吸收熱量，而引擎 B 則從一個 1,200 K1{,}200\ \mathrm{K} 的高溫熱池吸收熱量；兩個引擎都將熱量排給一個溫度為 300 K300\ \mathrm{K} 的熱池。假設過程中各熱池的溫度皆固定，試分別求出此兩部引擎的第二定律效率。（每個答案 5 分，共 10 分）

(二) 兩部冷凍機的性能係數均為 2.02.0。冷凍機 C 從一個 300 K300\ \mathrm{K} 的熱池吸收熱量，而冷凍機 D 則從一個 320 K320\ \mathrm{K} 的熱池吸收熱量；兩部冷凍機都將熱量排至一個溫度為 400 K400\ \mathrm{K} 的高溫熱池。假設過程中各熱池的溫度皆固定，試分別求出此兩部冷凍機的第二定律效率。（每個答案 5 分，共 10 分）

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核心觀念

第二定律效率（亦稱可逆效率）是實際裝置效率與同一組熱源、熱沉條件下「可逆裝置效率」的比值，衡量實際裝置距離可逆極限的程度。

熱機的第二定律效率為

ηII=ηactualηrev\eta_{\mathrm{II}} =\frac{\eta_{\mathrm{actual}}}{\eta_{\mathrm{rev}}}

兩熱庫間可逆熱機的熱效率為卡諾效率：

ηrev=1−TLTH\eta_{\mathrm{rev}}=1-\frac{T_L}{T_H}

冷凍機的第二定律效率為

ηII=COPactualCOPrev\eta_{\mathrm{II}} =\frac{\mathrm{COP}_{\mathrm{actual}}}{\mathrm{COP}_{\mathrm{rev}}}

兩熱庫間可逆冷凍機的性能係數為

COPrev=TLTH−TL\mathrm{COP}_{\mathrm{rev}} =\frac{T_L}{T_H-T_L}

溫度須使用絕對溫度（K）。

解題方法

(一) 熱機 A、B

兩部引擎的實際熱效率均為 0.400.40。分別依各自高溫熱庫溫度計算卡諾效率，再以實際效率除以卡諾效率。

引擎 A： TH=600 KT_H=600\ \mathrm{K}，TL=300 KT_L=300\ \mathrm{K}。

ηrev,A=1−300600=0.50\eta_{\mathrm{rev,A}} =1-\frac{300}{600} =0.50 ηII,A=0.400.50=0.80\eta_{\mathrm{II,A}} =\frac{0.40}{0.50} =0.80

引擎 B： TH=1,200 KT_H=1{,}200\ \mathrm{K}，TL=300 KT_L=300\ \mathrm{K}。

ηrev,B=1−3001,200=0.75\eta_{\mathrm{rev,B}} =1-\frac{300}{1{,}200} =0.75
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