113 高普考高考三級 機械工程 流體力學與工程力學 考古題詳解

113 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 流體力學與工程力學

第 一 題20 分

有一金屬球因重力作用在一黏性流體中以等速沉降。假設該球之沉降速度 VV 較低，使得其運動方程式中之慣性力遠小於黏性力，故 VV 只受流體之動力黏滯係數（dynamic viscosity）μ\mu，以及金屬球之直徑 DD 和單位體積浮力 (ρb−ρl)g(\rho_b-\rho_l)g 影響。前式中 ρb\rho_b 與 ρl\rho_l 分別為金屬球和流體之質量密度，gg 為重力加速度。

（一）利用因次分析（dimensional analysis），試求沉降速度 VV 與前述各參數 [亦即 μ、D、(ρb−ρl)g]\left[\text{亦即 }\mu、D、(\rho_b-\rho_l)g\right]之關係式。（15 分）

（二）設若一鐵球之比重（specific gravity）為 7.97.9，直徑為 0.3 cm0.3\ \text{cm}，且在某一比重為 1.51.5 之流體中以某速率等速沉降。今若將鐵球換成比重 2.72.7 之鋁球，且欲使鋁球在相同流體中之沉降速度與原鐵球相同，試求鋁球應有之直徑。（5 分）

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核心觀念

本題考查因次分析與斯托克斯沉降關係。在慣性力遠小於黏性力的低速沉降條件下，沉降速度由動力黏滯係數 μ\mu、球徑 DD 與浮力造成的單位體積淨重 (ρb−ρl)g(\rho_b-\rho_l)g 決定。

解題方法

設沉降速度可寫成冪次關係：

V=CμaDb[(ρb−ρl)g]cV=C\mu^aD^b\left[(\rho_b-\rho_l)g\right]^c

其中 CC 為無因次常數。各物理量的因次為：

[V]=LT−1,[μ]=ML−1T−1,[D]=L,[(ρb−ρl)g]=ML−2T−2[V]=LT^{-1},\quad [\mu]=ML^{-1}T^{-1},\quad [D]=L,\quad [(\rho_b-\rho_l)g]=ML^{-2}T^{-2}

比較 M,L,TM,L,T 的指數：

{a+c=0(M)−a+b−2c=1(L)−a−2c=−1(T)\begin{cases} a+c=0 & (M)\\ -a+b-2c=1 & (L)\\ -a-2c=-1 & (T) \end{cases}

由第一式得 a=−ca=-c；代入第三式得 c=1c=1，故 a=−1a=-1。再代入第二式：

1+b−2=1⇒b=21+b-2=1 \quad\Rightarrow\quad b=2

因此：

V=C(ρb−ρl)gD2μV=C\frac{(\rho_b-\rho_l)gD^2}{\mu}
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第 二 題15 分

如圖 1 所示，有一圓形截面管，其長度 L=1.2 mL=1.2\ \text{m}，直徑 d=0.003 md=0.003\ \text{m}，內壁粗糙度（equivalent roughness）ε=0.045 mm\varepsilon=0.045\ \text{mm}，同時水從一自由液面高 度 HH 恒定且直徑 D=0.172 mD=0.172\ \text{m} 之容器經此圓管排出。假設圓管入口區之次要損失（minor loss）可以忽略，且管內截面平均流速 V=2 m/sV=2\ \text{m/s}，試求容器內自由液面相對於圓管中心線之高度 HH。

提示：水之運動黏滯係數 ν=1.12×10−6 m2/s\nu=1.12\times10^{-6}\ \text{m}^2/\text{s}，同時管流摩擦因子（friction factor）ff 可利用下式計算：

1f=−1.8log⁡[(ε/d3.7)1.11+6.9Re⁡]\frac{1}{\sqrt{f}} = -1.8\log\left[ \left(\frac{\varepsilon/d}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{\operatorname{Re}} \right]

式中 Re⁡\operatorname{Re} 為雷諾數（Reynolds number）。

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核心觀念

本題應用自由液面與管出口間的伯努力方程式，並考慮圓管沿程摩擦損失：

p1ρg+z1+V122g=p2ρg+z2+V222g+hf\frac{p_1}{\rho g}+z_1+\frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\rho g}+z_2+\frac{V_2^2}{2g}+h_f

兩處皆與大氣相通，因此 p1=p2p_1=p_2。題目已說明入口次要損失忽略，故僅計算：

  1. 管內出口流速水頭；
  2. 圓管沿程摩擦損失；
  3. 容器自由液面的微小流速水頭。

解題方法

取圓管中心線為基準，則

z1=H,z2=0z_1=H,\qquad z_2=0

容器截面積遠大於管截面積，但仍可由連續方程式求得自由液面下降速度：

A容器V1=A管V2A_{\text{容器}}V_1=A_{\text{管}}V_2

因此

V1=V2(dD)2V_1=V_2\left(\frac{d}{D}\right)^2

代入數值：

V1=2(0.0030.172)2=6.08×10−4 m/sV_1=2\left(\frac{0.003}{0.172}\right)^2 =6.08\times10^{-4}\ \text{m/s}

雷諾數為

Re⁡=Vdν=(2)(0.003)1.12×10−6=5.36×103\operatorname{Re}=\frac{Vd}{\nu} =\frac{(2)(0.003)}{1.12\times10^{-6}} =5.36\times10^3

相對粗糙度：

εd=0.045 mm3.0 mm=0.015\frac{\varepsilon}{d} = \frac{0.045\ \text{mm}}{3.0\ \text{mm}} =0.015

依題目提供之摩擦因子公式：

1f=−1.8log⁡10[(0.0153.7)1.11+6.95.36×103]\frac{1}{\sqrt f} = -1.8\log_{10} \left[ \left(\frac{0.015}{3.7}\right)^{1.11} +\frac{6.9}{5.36\times10^3} \right]

計算得

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第 三 題15 分

如圖 2 所示，一根四分之一圓之懸臂梁外側面承受均勻壓力負載 pp，壓力 pp 以單位弧長所受的力表示。試計算該懸臂梁固定支撐點（fixed support）AA 承受的正向力 NAN_A、剪力 VAV_A 及彎曲力矩 MAM_A。

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核心觀念

本題考察曲梁承受分布力時，將各微小壓力負載積分求合力與對固定端 AA 的合力矩，並利用剛體平衡方程式：

∑Fx=0,∑Fy=0,∑MA=0\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M_A=0

壓力 pp 以「單位弧長所受的力」表示，因此半徑為 rr、微小弧長為

ds=r dθds=r\,d\theta

微小壓力所造成的力為

dF=p ds=pr dθdF=p\,ds=pr\,d\theta

且壓力方向垂直於梁之外側面，即沿圓弧半徑方向指向圓心。

解題方法

取圓心為 OO，令 θ=0\theta=0 位於固定端 AA，θ=π/2\theta=\pi/2 位於圓弧另一端。建立 xx 軸向右、yy 軸向上。

圓弧上任一點的單位徑向向量為

er=sin⁡θ i+cos⁡θ j\boldsymbol e_r=\sin\theta\,\boldsymbol i+\cos\theta\,\boldsymbol j

壓力指向圓心，因此微小力為

dF=−pr(sin⁡θ i+cos⁡θ j)dθd\boldsymbol F =-pr\left(\sin\theta\,\boldsymbol i+\cos\theta\,\boldsymbol j\right)d\theta

1. 求固定端正向力與剪力

水平方向總負載：

Fx=∫0π/2−prsin⁡θ dθ=−prF_x=\int_0^{\pi/2}-pr\sin\theta\,d\theta =-pr

垂直方向總負載：

Fy=∫0π/2−prcos⁡θ dθ=−prF_y=\int_0^{\pi/2}-pr\cos\theta\,d\theta =-pr

因此固定端反力須分別抵銷上述負載：

NA=prN_A=pr VA=prV_A=pr

方向依圖示為：NAN_A 向左、VAV_A 向上；若以外力正負號表示，則壓力合力為向左及向下各 prpr。

2. 求固定端彎曲力矩

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第 四 題25 分

如圖 3 所示，一丁字形角鐵由兩根相同質量 mm 及長度 LL 的均質圓棒銲接而成，其平面與鉛垂面平行，端點 AA 銷支承（pin support）於天花板，端點 AA 與質心 GG 連線的水平傾角為 θ\theta。丁字形角鐵於 θ=0∘\theta=0^\circ 處靜止釋放，重力加速度以符號 gg 表示。試問：

（一）丁字形角鐵質心距 AGAG 及對 AA 點的轉動慣量（moment of inertia of mass）。（10 分）

（二）當 θ=90∘\theta=90^\circ 時，銷支承 AA 施予丁字形角鐵的水平力及鉛垂力各是多少？（15 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 複合剛體質心位置。
  2. 平行軸定理與細長均質圓棒對端點的轉動慣量。
  3. 剛體繞固定銷支承 AA 的轉動。
  4. 機械能守恆與質心加速度。
  5. 牛頓第二定律求銷支承反力。

依圖，第二根長度 LL 的圓棒以中點焊接於第一根圓棒的末端，形成對稱丁字形。

（一）質心距 AGAG 與對 AA 點的轉動慣量

1. 質心位置

設第一根圓棒由 AA 延伸至焊接處，長度為 LL。

  • 第一根圓棒質心距 AA：
x1=L2x_1=\frac{L}{2}
  • 第二根橫向圓棒的質心位於焊接中點，距 AA：
x2=Lx_2=L

兩根圓棒質量皆為 mm，因此整體質心距 AA 為

AG=m(L2)+m(L)2m=3L4AG=\frac{m\left(\frac{L}{2}\right)+m(L)}{2m} =\frac{3L}{4}

故

AG=3L4\boxed{AG=\frac{3L}{4}}

2. 對 AA 點的轉動慣量

第一根圓棒繞端點 AA 的轉動慣量為

IA1=13mL2I_{A1}=\frac{1}{3}mL^2

第二根圓棒自身質心軸的轉動慣量為

IG2=112mL2I_{G2}=\frac{1}{12}mL^2

其質心距 AA 為 LL，由平行軸定理：

IA2=IG2+mL2=112mL2+mL2=1312mL2I_{A2}=I_{G2}+mL^2 =\frac{1}{12}mL^2+mL^2 =\frac{13}{12}mL^2

因此整體對 AA 點的轉動慣量為

IA=IA1+IA2I_A=I_{A1}+I_{A2} IA=13mL2+1312mL2=1712mL2I_A=\frac{1}{3}mL^2+\frac{13}{12}mL^2 =\frac{17}{12}mL^2

故

IA=1712mL2\boxed{I_A=\frac{17}{12}mL^2}

（二）當 θ=90∘\theta=90^\circ 時的支承力

1. 求角速度

丁字形角鐵由 θ=0∘\theta=0^\circ 靜止釋放，轉至 θ=90∘\theta=90^\circ。

總質量為 2m2m，質心下降高度為

AG=3L4AG=\frac{3L}{4}

由機械能守恆：

(2m)g(3L4)=12IAω2(2m)g\left(\frac{3L}{4}\right) =\frac{1}{2}I_A\omega^2

代入 IA=1712mL2I_A=\frac{17}{12}mL^2：

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第 五 題25 分

如圖 4(a) 所示，兩個尺寸、材質相同的均質圓柱體堆疊於無摩擦地板。兩者的截面積為 AA、彈性係數為 EE 及單位體積的重量為 γ=ρg\gamma=\rho g；此處，ρ\rho 為質量密度，gg 為重力加速度。若兩圓柱體未受應力作用前的原始長度為 LL，參考圖 4(b) 所示，試問：

（一）兩圓柱體在 x1x_1 及 x2x_2 截面的軸向壓力 F1(x1)F_1(x_1) 與 F2(x2)F_2(x_2) 為何？（10 分）

（二）兩圓柱體受重力壓縮後的長度分別減少 Δ1\Delta_1 與 Δ2\Delta_2 為何？（15 分）

提示：單軸應力、變形關係：

εx=dudx=σxE\varepsilon_x=\frac{du}{dx}=\frac{\sigma_x}{E}

其中，σx\sigma_x、εx\varepsilon_x 與 uu 為單軸應力、應變及位移。

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核心觀念

本題考查均質圓柱體的自重軸向壓縮，使用：

  1. 截面軸力等於截面上方構件的重量。
  2. 軸向應力 σx=F(x)A\sigma_x=\frac{F(x)}{A}
  3. 單軸應力—應變關係 εx=dudx=σxE\varepsilon_x=\frac{du}{dx}=\frac{\sigma_x}{E}
  4. 總壓縮量為各微小長度壓縮量的積分。

圖中 x1x_1、x2x_2 均由各圓柱體的下端向上量測，因此截面上方的長度分別為 L−x1L-x_1、L−x2L-x_2。

（一）截面軸向壓力

上方圓柱體

在上圓柱體距下端 x1x_1 的截面取自由體，截面上方剩餘長度為 L−x1L-x_1，其重量為

F1(x1)=γA(L−x1)F_1(x_1)=\gamma A(L-x_1)

因此上圓柱體的軸向壓力為

F1(x1)=γA(L−x1),0≤x1≤L\boxed{F_1(x_1)=\gamma A(L-x_1)},\qquad 0\leq x_1\leq L

檢核：

  • x1=0x_1=0，截面位於接觸面 CC： F1(0)=γALF_1(0)=\gamma AL
  • x1=Lx_1=L，截面位於頂端 BB： F1(L)=0F_1(L)=0

下方圓柱體

在下圓柱體距下端 x2x_2 的截面取自由體，截面上方包含：

  • 整個上圓柱體，重量為 γAL\gamma AL；
  • 下圓柱體位於截面上方的部分，長度為 L−x2L-x_2，重量為 γA(L−x2)\gamma A(L-x_2)。

故

F2(x2)=γAL+γA(L−x2)F_2(x_2) =\gamma AL+\gamma A(L-x_2)

整理得

F2(x2)=γA(2L−x2),0≤x2≤L\boxed{F_2(x_2)=\gamma A(2L-x_2)},\qquad 0\leq x_2\leq L

檢核：

  • x2=0x_2=0，截面位於地板上方： F2(0)=2γALF_2(0)=2\gamma AL
  • x2=Lx_2=L，截面位於接觸面 CC： F2(L)=γALF_2(L)=\gamma AL

（二）重力壓縮後的長度減少量

取壓縮量的絕對值，故

dΔ=F(x)AE dxd\Delta=\frac{F(x)}{AE}\,dx

上方圓柱體的壓縮量 Δ1\Delta_1

由

F1(x1)=γA(L−x1)F_1(x_1)=\gamma A(L-x_1)

可得應力

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