114 高普考高考三級 機械工程 流體力學與工程力學 考古題詳解

114 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 流體力學與工程力學

第 一 題10 分

流體本身具有黏性，而且會受環境溫度影響而變化。牛頓觀察流體的行為並提出牛頓黏性法則，也說明剪應力在此法則上的角色。

目前量測流體黏性通常是在定溫下，將待測流體放入兩個圓筒之間。若兩個圓筒中，內圈圓筒靜止，而外圈圓筒以固定轉速轉動，請回答下列問題：

（一）牛頓黏性法則中，黏性與剪應力的關係為何？請寫出完整公式。（5 分）

（二）假設外圈轉速固定，其切線速度為 0.1 m/s0.1\ \mathrm{m/s}，內、外圈間隙為 0.1 mm0.1\ \mathrm{mm}。轉動外圈圓筒所產生的剪應力為 10 Pa10\ \mathrm{Pa}，請問流體的黏性係數大小為何？（5 分）

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核心觀念

本題考查牛頓黏性定律：對牛頓流體而言，剪應力與垂直於流動方向的速度梯度成正比，比例常數為動力黏度 μ\mu。溫度會影響黏度，因此量測時須控制定溫。

τ=μdudy\tau=\mu\frac{du}{dy}

其中，τ\tau 為剪應力（Pa\mathrm{Pa}），μ\mu 為動力黏度（Pa⋅s\mathrm{Pa\cdot s}），du/dydu/dy 為速度梯度（s−1\mathrm{s^{-1}}）。若速度沿 yy 方向增加，剪應力方向則與相對運動趨勢相反；上式表示其大小關係。

解題方法

（一）牛頓黏性法則

牛頓黏性法則指出，流體內部相鄰流層間的剪應力大小，等於動力黏度乘以速度梯度：

∣τ∣=μ∣dudy∣|\tau|=\mu\left|\frac{du}{dy}\right|

也可寫成剪應力張量形式 τxy=μ du/dy\tau_{xy}=\mu\,du/dy；正負號依座標與剪應力方向的約定而定。

（二）計算黏性係數

兩圓筒間隙遠小於其半徑，可將間隙內的速度分布近似為線性。內圈靜止、外圈切線速度為 0.1 m/s0.1\ \mathrm{m/s}，因此速度差為 0.1 m/s0.1\ \mathrm{m/s}。

先將間隙換算成公尺：

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第 二 題15 分

孔口板（Orifice）是一種常見的裝置，主要用來測量管路中的流量。假設有一圓管，內部裝有孔口板，且水平放置。圓管直徑為 0.05 m0.05\ \mathrm{m}，孔口直徑為 0.02 m0.02\ \mathrm{m}。圓管內部有某種汽油流動，其密度為 830 kg/m3830\ \mathrm{kg/m^3}。

一般而言，我們會在孔口板上游與孔口出口兩處量測壓差。請回答下列問題：

（一）我們可以用哪個法則來說明壓差與流速的關係？請寫出完整公式。（5 分）

（二）假設管內流量為 0.01 m3/s0.01\ \mathrm{m^3/s}，請問通過孔口板的平均速度是多少？（5 分）

（三）壓差為多少？（5 分）

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核心觀念

本題考查孔口流量計的連續方程與伯努力定律。將汽油視為不可壓縮流體，並假設流動穩定、管路水平，且忽略黏性損失與孔口流量係數的影響。

沿同一流線，伯努力定律為

p1ρg+V122g+z1=p2ρg+V222g+z2\frac{p_1}{\rho g}+\frac{V_1^2}{2g}+z_1 = \frac{p_2}{\rho g}+\frac{V_2^2}{2g}+z_2

管路水平，故 z1=z2z_1=z_2，整理得上游與孔口處的壓差：

p1−p2=12ρ(V22−V12)p_1-p_2=\frac{1}{2}\rho\left(V_2^2-V_1^2\right)

其中 V1V_1 是管內上游平均速度，V2V_2 是孔口處平均速度。

解題方法

先以連續方程 Q=AVQ=AV 求上游管內速度與孔口處速度，再代入伯努力定律求壓差。圓截面面積為 A=πD2/4A=\pi D^2/4。

（一）壓差與流速的關係

由伯努力定律，在兩測點等高且忽略能量損失時：

p1−p2=12ρ(V22−V12)\boxed{p_1-p_2=\frac{1}{2}\rho\left(V_2^2-V_1^2\right)}

若測點 2 位於孔口處，則 V2V_2 為孔口處流速。壓差反映兩測點的速度水頭差。

（二）通過孔口板的平均速度

孔口直徑 d=0.02 md=0.02\ \mathrm{m}，因此孔口面積為

Ao=πd24=π(0.02)24=3.1416×10−4 m2A_o=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(0.02)^2}{4} =3.1416\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}

由 Q=AoVoQ=A_oV_o：

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第 三 題10 分

雷諾（Reynolds）為英國流體力學學者。他最有名的實驗是觀察圓管內流動的物理狀態。他以染料將流場可視化，將流動型態分為層流、過渡流及紊流三種。更重要的是，他提出一個無因次參數來區分這三種狀態。請回答下列問題：

（一）此無因次參數的定義為何？請寫出公式。（2 分）

（二）假設他所觀察的圓管直徑為 0.01 m0.01\ \mathrm{m}，內部流動的流體為水，其黏滯係數為 0.001 kg/(m⋅s)0.001\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}，密度為 1000 kg/m31000\ \mathrm{kg/m^3}，管內流動的平均速度大小為 5 m/s5\ \mathrm{m/s}。請問此無因次參數數值為多少？管流內是層流還是紊流？（3 分）

（三）更進一步，由於管內流動變化造成流動能量損失，一般而言，可用摩擦因子 ff 表示，而 Moody 做了一系列實驗來量測 ff。請問他實際上是量測哪一個物理量？如何進一步將此物理量轉換為 ff？（5 分）

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核心觀念

本題考查雷諾數（Reynolds number）及圓管流動的流態判別，並考查 Moody 摩擦因子的實驗測定概念。雷諾數比較流體中的慣性效應與黏滯效應；圓管流動通常以雷諾數約 23002300 與 40004000 作為層流、過渡流及紊流的判別界線。Moody 圖中的 Darcy 摩擦因子可由沿程壓力降換算求得。

解題方法

（一）雷諾數定義

雷諾數為慣性力與黏滯力的比值。對直徑為 DD 的圓管，特徵長度取管徑，特徵速度取管內平均速度 VV：

Re=ρVDμ=VDν\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{V D}{\nu}

其中 ρ\rho 為流體密度、μ\mu 為動力黏滯係數、ν=μ/ρ\nu=\mu/\rho 為運動黏滯係數。

（二）計算雷諾數並判別流態

代入題目數值：

Re=(1000 kg/m3)(5 m/s)(0.01 m)0.001 kg/(m⋅s)=5.0×104\mathrm{Re} =\frac{(1000\ \mathrm{kg/m^3})(5\ \mathrm{m/s})(0.01\ \mathrm{m})} {0.001\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}} =5.0\times 10^4

圓管流動的判別基準為：Re<2300\mathrm{Re}<2300 通常為層流；2300≲Re≲40002300\lesssim\mathrm{Re}\lesssim4000 為過渡流；Re>4000\mathrm{Re}>4000 通常為紊流。本題 Re=50,000>4000\mathrm{Re}=50{,}000>4000，因此管內流動為紊流。

（三）Moody 實驗量測與摩擦因子換算

Moody 相關的管流實驗會量測管段兩端的壓力降 Δp\Delta p（亦可表示為壓力水頭降 Δp/(ρg)\Delta p/(\rho g)），並記錄管長 LL、管徑 DD、平均流速 VV，以及流體性質。

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第 四 題15 分

將長為 1.3 m1.3\ \mathrm{m}、重量為 20 N20\ \mathrm{N} 的均質細直桿 ABAB 兩端，分別接觸相距 1.2 m1.2\ \mathrm{m} 的兩垂直牆面並保持靜止，如圖所示。假設 AA 端為光滑接觸，而 BB 端為摩擦接觸，且有足夠的摩擦力支撐直桿以維持平衡。試求：

（一）AA 端的反作用力。（7 分）

（二）BB 端接觸處之最小摩擦係數。（8 分）

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核心觀念

本題考查剛體平衡與摩擦力：

  1. 均質細直桿的重量作用於幾何中心。
  2. AA 端為光滑接觸，只能提供垂直牆面的水平反作用力。
  3. BB 端為粗糙接觸，提供：
  • 水平法向力 NBN_B
  • 垂直摩擦力 FBF_B
  1. 靜止平衡條件：
∑Fx=0,∑Fy=0,∑M=0\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0

摩擦力須滿足：

FB≤μBNBF_B\leq \mu_B N_B

求最小摩擦係數時，接觸面恰達極限摩擦狀態，因此：

FB=μB,min⁡NBF_B=\mu_{B,\min}N_B

幾何關係

桿長為 1.3 m1.3\ \mathrm{m}，兩牆水平距離為 1.2 m1.2\ \mathrm{m}，因此兩端高度差為：

Δh=1.32−1.22=1.69−1.44=0.5 m\Delta h=\sqrt{1.3^2-1.2^2} =\sqrt{1.69-1.44} =0.5\ \mathrm{m}

桿的重心位於中點，因此：

  • 重心距 BB 點的水平距離為 0.6 m0.6\ \mathrm{m}
  • AA 點比 BB 點高 0.5 m0.5\ \mathrm{m}

設桿重力為 W=20 NW=20\ \mathrm{N}。

解題方法與計算

受力方向如下：

  • AA 端光滑反作用力 RAR_A 水平向右
  • BB 端法向力 NBN_B 水平向左
  • BB 端摩擦力 FBF_B 垂直向上
  • 重力 W=20 NW=20\ \mathrm{N} 垂直向下，作用於桿中點

以 BB 點取力矩，可消去 BB 端的法向力與摩擦力：

∑MB=0\sum M_B=0

重力對 BB 點產生逆時針力矩，AA 端反作用力產生順時針力矩，因此：

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第 五 題20 分

一質量為 2 kg2\ \mathrm{kg} 的擺錘，以繩索連接吊掛，構成平面運動的單擺，如圖所示。單擺於水平靜止狀態釋放；當擺錘到達底部時，繩索接觸並纏繞固定於 BB 處的光滑銷，且擺錘繼續沿著較小半徑的圓弧線運動。不計繩索質量，設重力加速度 g=10 m/s2g=10\ \mathrm{m/s^2}。試求：

（一）當 θ=60∘\theta=60^\circ 時，擺錘的速度值為多少 m/s\mathrm{m/s}？（10 分）

（二）當 θ=60∘\theta=60^\circ 時，繩索張力為多少 N\mathrm{N}？（10 分）

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核心觀念

本題考查：

  • 機械能守恆：繩索無質量、光滑銷不造成能量損失。
  • 擺錘繞不同固定點運動時，圓周半徑會改變。
  • 圓周運動的法向力方程式：
∑Fn=mv2r\sum F_n=\frac{mv^2}{r}

由圖可知：

  • AB=0.4 mAB=0.4\ \mathrm{m}
  • 擺錘原先距離 AA 為 0.8 m0.8\ \mathrm{m}
  • 繩索在 BB 處纏繞後，擺錘繞 BB 運動的半徑為
r=0.8−0.4=0.4 mr=0.8-0.4=0.4\ \mathrm{m}

解題方法

以擺錘初始水平靜止位置為重力位能基準。初始位置與 AA 同高。

纏繞於 BB 後，擺錘繞半徑 r=0.4 mr=0.4\ \mathrm{m} 的圓弧運動。當繩索與鉛直向下方向夾角為 θ\theta 時，擺錘相對於 AA 的下降高度為

h=AB+rcos⁡θh=AB+r\cos\theta

代入 AB=0.4 mAB=0.4\ \mathrm{m}、r=0.4 mr=0.4\ \mathrm{m}、θ=60∘\theta=60^\circ：

h=0.4+0.4cos⁡60∘h=0.4+0.4\cos60^\circ h=0.4+0.2=0.6 mh=0.4+0.2=0.6\ \mathrm{m}

（一）擺錘速度

由機械能守恆：

mgh=12mv2mgh=\frac{1}{2}mv^2

質量 mm 可消去，因此

v=2ghv=\sqrt{2gh} v=2(10)(0.6)=12=23 m/sv=\sqrt{2(10)(0.6)} =\sqrt{12} =2\sqrt{3}\ \mathrm{m/s} v≈3.46 m/sv\approx3.46\ \mathrm{m/s}

（二）繩索張力

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第 六 題30 分

如圖所示，一直徑為 16 mm16\ \mathrm{mm} 的實心鋼製圓桿彎折成直角彎桿 ABCABC，置於 xzxz 平面上。其 AA 端固定，CC 端面施加外力 Fy=−80π NF_y=-80\pi\ \mathrm{N}。材料的彈性模數為 E=200 GPaE=200\ \mathrm{GPa}，剪彈性模數為 G=80 GPaG=80\ \mathrm{GPa}。不計桿重量，亦無應力集中。試求：

（一）彎桿 AA 端之最大剪應力 τmax⁡\tau_{\max} 為多少 MPa\mathrm{MPa}？（8 分）

（二）彎桿 AA 端之最大拉應力 σmax⁡\sigma_{\max} 為多少 MPa\mathrm{MPa}？（10 分）

（三）彎桿 CC 端向下位移量 δy\delta_y 為多少 mm\mathrm{mm}？（忽略剪力變形）（12 分）

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核心觀念

本題考查直角空間彎桿在端部集中力作用下的：

  • 內力與內力矩分解
  • 圓實心軸的扭轉剪應力
  • 梁的彎曲正應力
  • 卡氏第二定理或單位力法求位移
  • 忽略剪力變形，但保留彎曲變形與扭轉變形

由圖取 ABAB 沿 xx 軸、BCBC 沿 zz 軸，且

L=200 mm,d=16 mm,P=80π NL=200\ \text{mm},\qquad d=16\ \text{mm},\qquad P=80\pi\ \text{N}

截面半徑為

c=d2=8 mmc=\frac d2=8\ \text{mm}

圓實心截面的慣性矩與極慣性矩為

I=πd464=1024π mm4I=\frac{\pi d^4}{64}=1024\pi\ \text{mm}^4 J=πd432=2048π mm4J=\frac{\pi d^4}{32}=2048\pi\ \text{mm}^4

（一）AA 端最大剪應力

在 AA 端，力 PP 對 AA 截面的力矩可分解為：

  • 由 BCBC 的偏心距 LL 產生扭矩
T=PLT=PL
  • 由 ABAB 的長度 LL 產生彎矩
M=PLM=PL

因此

T=(80π)(200)=16000π N⋅mmT=(80\pi)(200)=16000\pi\ \text{N}\cdot\text{mm}

圓實心軸外表面的最大扭轉剪應力為

τmax⁡=TcJ\tau_{\max}=\frac{Tc}{J}

代入得

τmax⁡=(16000π)(8)2048π=62.5 MPa\tau_{\max} =\frac{(16000\pi)(8)}{2048\pi} =62.5\ \text{MPa}

橫向剪力所造成的剪應力遠小於扭轉剪應力，且在圓截面外緣為零，不控制最大值。

（二）AA 端最大拉應力

AA 端的彎矩為

M=PL=16000π N⋅mmM=PL=16000\pi\ \text{N}\cdot\text{mm}

彎曲正應力公式為

σmax⁡=McI\sigma_{\max}=\frac{Mc}{I}

所以

σmax⁡=(16000π)(8)1024π=125 MPa\sigma_{\max} =\frac{(16000\pi)(8)}{1024\pi} =125\ \text{MPa}

截面一側承受拉應力，另一側承受壓應力；題目要求最大拉應力，故取其正值。

（三）CC 端向下位移

忽略剪力變形時，CC 點位移由下列兩部分組成：

  1. ABAB、BCBC 兩段的彎曲變形
  2. ABAB 段的扭轉變形

採用單位力法，於 CC 點沿 −y-y 方向施加單位力。

1. 彎曲變形

在 ABAB 段，彎矩大小為

MAB=P(L−x)M_{AB}=P(L-x)

單位力所造成的虛彎矩為

mAB=L−xm_{AB}=L-x

故

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機械工程《流體力學與工程力學》其他年度

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