114 高普考高考三級 機械工程 熱力學 考古題詳解

114 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 熱力學

第 一 題25 分

一、在一個容積為 0.6 m30.6\ \mathrm{m^3} 的容器中，裝有 4.0 kg4.0\ \mathrm{kg} 處於飽和狀態的液態水和水蒸氣混合物，其壓力為 800 kPa800\ \mathrm{kPa}。請計算：

（一）該水／水蒸氣混合物之乾度。（10 分）

（二）液態水之質量與體積。（10 分）

（三）若液態水／水蒸氣混合物乾度為 0.70.7，請問在 800 kPa800\ \mathrm{kPa} 下，容器需設計為多大體積？（5 分）

已知在壓力為 800 kPa800\ \mathrm{kPa} 時，vf=0.001114 m3/kgv_f=0.001114\ \mathrm{m^3/kg}，vg=0.2403 m3/kgv_g=0.2403\ \mathrm{m^3/kg}。

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核心觀念

本題考查飽和液－汽混合物的乾度，以及如何由乾度計算液、汽兩相的質量與體積。乾度 xx 定義為混合物中水蒸氣質量占總質量的比例：

x=mgmf+mgx=\frac{m_g}{m_f+m_g}

飽和液－汽混合物的比容可用乾度加權：

v=(1−x)vf+xvgv=(1-x)v_f+xv_g

其中 vfv_f、vgv_g 分別為飽和液體與飽和蒸氣的比容。本題已給定 800 kPa800\ \mathrm{kPa} 時兩者的數值，可直接代入。

解題方法

已知總質量 m=4.0 kgm=4.0\ \mathrm{kg}、容器體積 V=0.6 m3V=0.6\ \mathrm{m^3}，先求混合物比容：

v=Vm=0.64.0=0.15 m3/kgv=\frac{V}{m} =\frac{0.6}{4.0} =0.15\ \mathrm{m^3/kg}

再代入飽和混合物比容關係：

0.15=(1−x)(0.001114)+x(0.2403)0.15=(1-x)(0.001114)+x(0.2403)

整理得：

x=v−vfvg−vf=0.15−0.0011140.2403−0.001114≈0.6224x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f} =\frac{0.15-0.001114}{0.2403-0.001114} \approx 0.6224

因此，混合物的乾度約為 0.62240.6224，即蒸氣約占總質量的 62.24%62.24\%。

（一）乾度

x≈0.6224\boxed{x\approx 0.6224}

（二）液態水之質量與體積

乾度是蒸氣的質量分率，因此液態水質量為：

mf=(1−x)m=(1−0.6224)(4.0)≈1.510 kgm_f=(1-x)m =(1-0.6224)(4.0) \approx 1.510\ \mathrm{kg}

液態水體積由飽和液體比容計算：

Vf=mfvf=(1.510)(0.001114)≈0.001682 m3V_f=m_fv_f =(1.510)(0.001114) \approx 0.001682\ \mathrm{m^3}
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第 二 題25 分

二、一個內部體積為 0.7 m30.7\ \mathrm{m^3} 的儲氣槽中，空氣的初始壓力為 1300 kPa1300\ \mathrm{kPa}，溫度為 27∘C27^\circ\mathrm{C}。儲氣槽上的閥門被打開，使空氣排出，直到壓力下降至 650 kPa650\ \mathrm{kPa}，隨後立即關閉閥門。假設儲氣槽釋放氣體過程為等熵過程，試問在此過程中排出的空氣質量為多少？（25 分）

空氣的氣體常數為 R=0.287 kPa⋅m3/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}；比熱比 k=Cp/Cv=1.4k=C_p/C_v=1.4。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

本題考查「定容儲氣槽排氣」及理想氣體的等熵關係。

儲氣槽體積固定，初、終狀態皆可視為槽內理想氣體：

m=PVRTm=\frac{PV}{RT}

由於題目指定釋放氣體過程為等熵過程，槽內空氣的壓力與溫度滿足：

T2T1=(P2P1)(k−1)/k\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}

其中：

  • P1=1300 kPaP_1=1300\ \mathrm{kPa}
  • P2=650 kPaP_2=650\ \mathrm{kPa}
  • V=0.7 m3V=0.7\ \mathrm{m^3}
  • T1=27+273=300 KT_1=27+273=300\ \mathrm{K}
  • R=0.287 kPa⋅m3/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}
  • k=1.4k=1.4

解題方法

1. 求儲氣槽內空氣的初始質量

m1=P1VRT1m_1=\frac{P_1V}{RT_1}

代入數值：

m1=(1300)(0.7)(0.287)(300)=10.57 kgm_1 = \frac{(1300)(0.7)}{(0.287)(300)} = 10.57\ \mathrm{kg}

2. 求排氣後槽內空氣的溫度

等熵關係式為：

T2T1=(P2P1)(k−1)/k\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}

因此：

T2=300(6501300)(1.4−1)/1.4T_2 = 300 \left(\frac{650}{1300}\right)^{(1.4-1)/1.4} T2=300(0.5)0.4/1.4=300(0.5)0.2857≈246.1 KT_2 = 300(0.5)^{0.4/1.4} = 300(0.5)^{0.2857} \approx 246.1\ \mathrm{K}
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第 三 題25 分

三、一個標準空氣循環，在封閉系統中進行，空氣的質量為 0.005 kg0.005\ \mathrm{kg}，且具有定值比熱。空氣的比熱為 Cp=1.005 kJ/(kg⋅K)C_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}、Cv=0.718 kJ/(kg⋅K)C_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}；k=Cp/Cv=1.4k=C_p/C_v=1.4。循環包含以下三個過程：

  • 1–2 等熵壓縮：從 100 kPa100\ \mathrm{kPa}、27∘C27^\circ\mathrm{C} 壓縮至 500 kPa500\ \mathrm{kPa}。
  • 2–3 等壓加熱：加熱至原始體積。
  • 3–1 等容放熱：回到初始狀態。

請回答以下問題：

（一）計算此循環中的最高溫度。（15 分）

（二）計算此循環的熱效率。（10 分）

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核心觀念

本題是標準空氣循環的定比熱分析，考查理想氣體的等熵關係、定壓與定容過程的熱量計算，以及熱效率定義。

循環狀態如下：

  • 1→21\to2：等熵壓縮，Q12=0Q_{12}=0。
  • 2→32\to3：等壓加熱，且狀態 3 的體積等於初始體積 V1V_1。
  • 3→13\to1：等容放熱，體積固定為 V1V_1。

最高溫度出現在等壓加熱的終點狀態 3。熱效率定義為淨輸出功除以輸入熱量：

η=WnetQin=1−QoutQin\eta=\frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}} =1-\frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}

解題方法

已知 T1=27∘C=300 KT_1=27^\circ\mathrm{C}=300\ \mathrm{K}，P1=100 kPaP_1=100\ \mathrm{kPa}，P2=500 kPaP_2=500\ \mathrm{kPa}，壓力比為 P2/P1=5P_2/P_1=5。

（一）循環中的最高溫度

狀態 1→21\to2 為定比熱理想氣體的等熵過程：

T2T1=(P2P1)(k−1)/k\frac{T_2}{T_1} =\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}

代入 k=1.4k=1.4：

T2=300(5)(1.4−1)/1.4=300(5)2/7≈475.1 KT_2=300(5)^{(1.4-1)/1.4} =300(5)^{2/7} \approx 475.1\ \mathrm{K}

狀態 2→32\to3 為等壓過程，P3=P2P_3=P_2；理想氣體在定壓下 V/TV/T 為定值。又 V3=V1V_3=V_1，且等熵壓縮時：

V1V2=(P2P1)1/k=51/1.4=55/7\frac{V_1}{V_2} =\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{1/k} =5^{1/1.4} =5^{5/7}

因此：

T3T2=V3V2=V1V2=55/7\frac{T_3}{T_2} =\frac{V_3}{V_2} =\frac{V_1}{V_2} =5^{5/7} T3=475.1(5)5/7=300(5)=1500 KT_3=475.1(5)^{5/7} =300(5) =1500\ \mathrm{K}
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第 四 題25 分

四、某理想的朗肯（Rankine）循環系統中，水經由泵流至鍋爐中，並在鍋爐中被加熱至 10 MPa10\ \mathrm{MPa}、450∘C450^\circ\mathrm{C} 的水蒸氣後進入渦輪機，且在渦輪機中等熵膨脹至 10 kPa10\ \mathrm{kPa}。假設冷凝器出口為飽和液體。請根據上述條件，回答下列問題：

（一）若冷凝器入口狀態為液氣混合，乾度為 0.80.8，請估算循環熱效率。（15 分）

（二）計算每公斤水的淨輪出功（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）。（10 分）

所附物性資料如下。

飽和水壓力表：

壓力（kPa\mathrm{kPa}）飽和溫度（∘C{}^\circ\mathrm{C}）vfv_f（m3/kg\mathrm{m^3/kg}）vgv_g（m3/kg\mathrm{m^3/kg}）ufu_f（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）ufgu_{fg}（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）ugu_g（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）hfh_f（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）hfgh_{fg}（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）hgh_g（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）sfs_f（kJ/(kg⋅K)\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}）sfgs_{fg}（kJ/(kg⋅K)\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}）sgs_g（kJ/(kg⋅K)\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}））
1045.810.00101014.67191.822246.12437.9191.92392.82584.70.64937.50098.1502
2060.060.0010177.649251.382205.42456.7251.42358.32609.70.83207.07667.9085
3069.100.0010225.229289.202179.22468.4289.22336.12625.30.94396.82477.7686

過熱水蒸氣壓力表（10.0 MPa10.0\ \mathrm{MPa}）：

溫度（∘C{}^\circ\mathrm{C}）vv（m3/kg\mathrm{m^3/kg}）uu（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）hh（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）ss（kJ/(kg⋅K)\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}））
4000.026412832.43096.56.2120
4500.029752943.43240.96.4190
5000.032793045.83373.76.5966
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核心觀念

本題考查理想朗肯循環各狀態點的焓值與循環熱效率：

  • 冷凝器出口：飽和液體，取狀態 1。
  • 泵出口：高壓液體，取狀態 2。
  • 鍋爐出口：10 MPa10\ \mathrm{MPa}、450∘C450^\circ\mathrm{C} 過熱蒸氣，取狀態 3。
  • 渦輪機出口、冷凝器入口：10 kPa10\ \mathrm{kPa}、乾度 x=0.8x=0.8，取狀態 4。

主要公式為

ηth=WnetQin=Wt−WpQin\eta_{th}=\frac{W_{\mathrm{net}}}{Q_{in}} =\frac{W_t-W_p}{Q_{in}} Wt=h3−h4W_t=h_3-h_4 Wp≃vf(P2−P1)W_p\simeq v_f(P_2-P_1) Qin=h3−h2Q_{in}=h_3-h_2

狀態 1：冷凝器出口

在 10 kPa10\ \mathrm{kPa} 下為飽和液體，因此由表得

h1=hf=191.9 kJ/kgh_1=h_f=191.9\ \mathrm{kJ/kg} v1=vf=0.001010 m3/kgv_1=v_f=0.001010\ \mathrm{m^3/kg}

狀態 2：泵出口

泵由 10 kPa10\ \mathrm{kPa} 加壓至 10 MPa10\ \mathrm{MPa}，泵功近似為

Wp=v1(P2−P1)W_p=v_1(P_2-P_1)

壓力必須採用相同單位：

P1=10 kPa,P2=10 MPa=10000 kPaP_1=10\ \mathrm{kPa},\qquad P_2=10\ \mathrm{MPa}=10000\ \mathrm{kPa}

因此

Wp=0.001010(10000−10)=10.09 kJ/kgW_p =0.001010(10000-10) =10.09\ \mathrm{kJ/kg}

由泵能量平衡，

h2=h1+Wp=191.9+10.09=201.99 kJ/kgh_2=h_1+W_p =191.9+10.09 =201.99\ \mathrm{kJ/kg}

狀態 3：鍋爐出口

由 10 MPa10\ \mathrm{MPa} 過熱蒸氣表，在 450∘C450^\circ\mathrm{C} 時

h3=3240.9 kJ/kgh_3=3240.9\ \mathrm{kJ/kg}

狀態 4：渦輪機出口

題目明示冷凝器入口乾度為 x4=0.8x_4=0.8。在 10 kPa10\ \mathrm{kPa} 下，

h4=hf+x4hfgh_4=h_f+x_4h_{fg}

由表得

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