110 高普考高考三級 機械工程 熱力學 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 熱力學

第 一 題20 分

風力發電係將部分風能轉換為軸功，帶動發電機發電。

(一) 說明氣溫、風速及風機轉子直徑如何影響輸出軸功之大小。

(二) 有一風力發電機，其轉子直徑為 20 m20\ \mathrm{m}，並將 40%40\% 之風能轉換為軸功。在風速為 35 km/h35\ \mathrm{km/h}、氣壓為 100 kPa100\ \mathrm{kPa}、氣溫為 20∘C20^\circ\mathrm{C} 時，軸功及風機下游風速為何？

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核心觀念

風通過風機轉子掃掠面時，風機取走一部分氣流的動能並轉為軸功。以穩定、不可壓縮的風流估算，轉子上游風能流率為

E˙wind=12m˙V12=12ρAV13\dot E_{\text{wind}}=\frac12\dot m V_1^2 =\frac12\rho A V_1^3

其中 ρ\rho 是空氣密度、AA 是轉子掃掠面積、V1V_1 是上游風速。風機軸功可寫為

W˙shaft=Cp12ρAV13\dot W_{\text{shaft}}=C_p\frac12\rho A V_1^3

CpC_p 為風能轉換成軸功的比例。本題給定 Cp=0.40C_p=0.40。

空氣密度會隨氣溫及氣壓變化。理想氣體關係為

ρ=pRT\rho=\frac{p}{RT}

此處 TT 必須使用絕對溫度，空氣氣體常數取 R=287 J/(kg⋅K)R=287\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}。

解題方法

(一) 由 W˙shaft=Cp12ρAV13\dot W_{\text{shaft}}=C_p\frac12\rho A V_1^3 判斷各因素的影響：

  • **氣溫：**在氣壓固定時，氣溫升高使空氣密度降低，單位體積含有的質量較少，因此軸功降低。
  • **風速：**軸功與風速三次方成正比；其他條件不變時，風速加倍，軸功增為八倍。
  • **轉子直徑：**掃掠面積 A=πD2/4A=\pi D^2/4，所以軸功與直徑平方成正比；直徑加倍，軸功增為四倍。

(二) 先由理想氣體方程求密度，再算掃掠面積與軸功。下游風速則由取出的風能等於氣流動能減少量求得；依題目給定的風能轉換比例：

Cp=V12−V22V12C_p=\frac{V_1^2-V_2^2}{V_1^2}

其中 V2V_2 為下游風速。

單位換算及空氣密度：

V1=35kmh×1000 m1 km×1 h3600 s=9.722 m/sV_1=35\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\times\frac{1000\ \mathrm m}{1\ \mathrm{km}}\times\frac{1\ \mathrm h}{3600\ \mathrm s} =9.722\ \mathrm{m/s} T=20+273.15=293.15 KT=20+273.15=293.15\ \mathrm K
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第 二 題20 分

有一四衝程汽油引擎，其壓縮比為 1010，缸數為 44，總排氣量為 2300 cc2300\ \mathrm{cc}。進氣條件為 280 K280\ \mathrm{K}、70 kPa70\ \mathrm{kPa}，轉速為 2100 rpm2100\ \mathrm{rpm}，燃料燃燒供應之熱量為 1800 kJ/kg1800\ \mathrm{kJ/kg}。

在冷空氣及引擎以理想 Otto 循環運轉假設下，試求此引擎之：

(一) 平均有效壓力。（5 分）

(二) 循環最高溫度。（5 分）

(三) 輸出功率。（10 分）

參考數據：空氣比熱比為 1.41.4，等容比熱為 0.717 kJ/(kg⋅K)0.717\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。

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核心觀念

本題以冷空氣標準假設分析理想 Otto 循環。四個過程為：

  1. 1→21\to2：等熵壓縮
  2. 2→32\to3：定容吸熱
  3. 3→43\to4：等熵膨脹
  4. 4→14\to1：定容放熱

壓縮比定義為 r=V1/V2r=V_1/V_2。理想 Otto 循環熱效率為

ηOtto=1−1rk−1\eta_{\mathrm{Otto}}=1-\frac{1}{r^{k-1}}

其中 k=cp/cvk=c_p/c_v。每公斤空氣的循環淨功為 wnet=ηOttoqinw_{\mathrm{net}}=\eta_{\mathrm{Otto}}q_{\mathrm{in}}；平均有效壓力則是每循環淨功除以每公斤氣體的排氣體積。

解題方法

已知 r=10r=10、k=1.4k=1.4、cv=0.717 kJ/(kg⋅K)c_v=0.717\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}、qin=1800 kJ/kgq_{\mathrm{in}}=1800\ \mathrm{kJ/kg}。先由壓縮比求循環熱效率與淨功，再求平均有效壓力、最高溫度及引擎輸出功率。

(一) 平均有效壓力

Otto 循環熱效率：

ηOtto=1−1101.4−1=1−1100.4=0.6019\eta_{\mathrm{Otto}} =1-\frac{1}{10^{1.4-1}} =1-\frac{1}{10^{0.4}} =0.6019

每公斤空氣的淨功：

wnet=ηOttoqin=(0.6019)(1800)=1083.5 kJ/kgw_{\mathrm{net}} =\eta_{\mathrm{Otto}}q_{\mathrm{in}} =(0.6019)(1800) =1083.5\ \mathrm{kJ/kg}

由理想氣體方程式，進氣狀態的比體積為

v1=RT1p1=(k−1)cvT1p1v_1=\frac{RT_1}{p_1} =\frac{(k-1)c_vT_1}{p_1}

其中 R=(k−1)cv=(0.4)(0.717)=0.2868 kJ/(kg⋅K)R=(k-1)c_v=(0.4)(0.717)=0.2868\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。注意 1 kPa⋅m3=1 kJ1\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\ \mathrm{kJ}，故

v1=(0.2868)(280)70=1.1472 m3/kgv_1=\frac{(0.2868)(280)}{70} =1.1472\ \mathrm{m^3/kg}

排氣比體積為

v1−v2=v1(1−1r)=(1.1472)(0.9)=1.0325 m3/kgv_1-v_2=v_1\left(1-\frac{1}{r}\right) =(1.1472)(0.9) =1.0325\ \mathrm{m^3/kg}

因此平均有效壓力：

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第 三 題20 分

燃氣發電之燃料為天然氣。有一天然氣，經分析其組成以體積百分比表示為 80.62% CH480.62\%\ \mathrm{CH_4}、5.41% C2H65.41\%\ \mathrm{C_2H_6}、1.87% C3H81.87\%\ \mathrm{C_3H_8}、1.6% C4H101.6\%\ \mathrm{C_4H_{10}}、10.5% N210.5\%\ \mathrm{N_2}。

若此天然氣與空氣燃燒後，乾產物分析以體積百分比表示為 7.8% CO27.8\%\ \mathrm{CO_2}、0.2% CO0.2\%\ \mathrm{CO}、7% O27\%\ \mathrm{O_2}，以及 85% N285\%\ \mathrm{N_2}。試求：

(一) 此燃燒之莫耳空燃比。（10 分）

(二) 以 100 m3100\ \mathrm{m^3}、300 K300\ \mathrm{K} 及 100 kPa100\ \mathrm{kPa} 之天然氣燃燒，燃燒產物之總莫耳數為何？（5 分）

(三) 理論空氣量為何？（5 分）

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核心觀念

本題考查燃燒分析中的莫耳衡算、莫耳空燃比、理論空氣量，以及理想氣體狀態方程式。

氣體體積百分比可視為莫耳百分比。乾產物分析不含水蒸氣，因此須先由燃料中的碳元素求出乾產物莫耳數，再用乾產物中的氮氣與氧氣衡算供入空氣量。空氣取 21% O221\%\ \mathrm{O_2}、79% N279\%\ \mathrm{N_2}，故空氣中 N2/O2=79/21\mathrm{N_2/O_2}=79/21。

解題方法

以 1 kmol1\ \mathrm{kmol} 天然氣為基準。天然氣中的碳莫耳數為

nC=0.8062(1)+2(0.0541)+3(0.0187)+4(0.016)=1.0391 kmol Cn_C =0.8062(1)+2(0.0541)+3(0.0187)+4(0.016) =1.0391\ \mathrm{kmol\ C}

令乾產物總量為 ndn_d。由碳衡算，燃料中的碳全部進入 CO2\mathrm{CO_2} 與 CO\mathrm{CO}：

nd(0.078+0.002)=1.0391n_d(0.078+0.002)=1.0391

因此

nd=12.98875 kmol dry productsn_d=12.98875\ \mathrm{kmol\ dry\ products}

乾產物中的氮氣為

nN2,prod=0.85nd=11.04044 kmoln_{\mathrm{N_2,prod}}=0.85n_d=11.04044\ \mathrm{kmol}

燃料本身含有 0.105 kmol N20.105\ \mathrm{kmol\ N_2}，其餘氮氣來自空氣。令供入空氣中的氧氣為 a kmola\ \mathrm{kmol}，氮衡算為

0.105+7921a=11.040440.105+\frac{79}{21}a=11.04044 a=2.90806 kmol O2a=2.90806\ \mathrm{kmol\ O_2}

（一）莫耳空燃比

每 1 kmol O21\ \mathrm{kmol\ O_2} 對應 1+7921=10021 kmol1+\frac{79}{21}=\frac{100}{21}\ \mathrm{kmol} 空氣，故供入空氣量為

nair=10021(2.90806)=13.8479 kmoln_{\mathrm{air}} =\frac{100}{21}(2.90806) =13.8479\ \mathrm{kmol}

以燃料莫耳數為基準：

A/Fmolar=nairnfuel=13.85 kmol air/kmol fuel\boxed{\mathrm{A/F}_{\mathrm{molar}} =\frac{n_{\mathrm{air}}}{n_{\mathrm{fuel}}} =13.85\ \mathrm{kmol\ air/kmol\ fuel}}

（二）燃燒產物總莫耳數

先由理想氣體狀態方程式求 100 m3100\ \mathrm{m^3} 天然氣的莫耳數：

nfuel=PVRT=(100 kPa)(100 m3)(8.314 kPa m3/(kmol K))(300 K)=4.0112 kmoln_{\mathrm{fuel}} =\frac{PV}{RT} =\frac{(100\ \mathrm{kPa})(100\ \mathrm{m^3})} {(8.314\ \mathrm{kPa\,m^3/(kmol\,K)})(300\ \mathrm{K})} =4.0112\ \mathrm{kmol}

每 1 kmol1\ \mathrm{kmol} 燃料產生 12.98875 kmol12.98875\ \mathrm{kmol} 乾產物，因此此批燃料的乾產物為

ndry=12.98875(4.0112)=52.10 kmoln_{\mathrm{dry}} =12.98875(4.0112) =52.10\ \mathrm{kmol}

題目給的是乾產物分析，若「燃燒產物總莫耳數」指包含水蒸氣的濕產物，還須計入燃料氫燃燒生成的水。燃料的氫原子莫耳數為

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第 四 題20 分

一穩態運轉之電動馬達，輸入電流及電壓分別為 10 A10\ \mathrm{A} 及 220 V220\ \mathrm{V}，轉速為 1000 rpm1000\ \mathrm{rpm}，轉軸輸出扭矩 16 N⋅m16\ \mathrm{N\cdot m} 至負載。

運轉時馬達之發熱排至外界，散熱量可表為 Q=hA(Tb−T0),Q=hA(T_b-T_0), 其中，hh 為對流熱傳係數，h=100 W/(m2⋅K)h=100\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}；AA 為馬達表面積，A=0.195 m2A=0.195\ \mathrm{m^2}；TbT_b 為馬達表面溫度；T0T_0 為環境溫度，T0=20∘CT_0=20^\circ\mathrm{C}。

試求：

(一) TbT_b。（5 分）

(二) 馬達熵改變量。（5 分）

(三) 環境熵改變量。（5 分）

(四) 此馬達運轉狀態為可能嗎？（5 分）

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核心觀念

本題考查穩態控制體的能量平衡、軸功率與熱傳關係，以及熵平衡。穩態運轉時，馬達內能不隨時間改變；馬達的電能輸入扣除軸功輸出後，成為排向環境的熱量。

電功率與軸功率分別為

W˙elec,in=VI,W˙shaft,out=τω\dot W_{\mathrm{elec,in}}=VI,\qquad \dot W_{\mathrm{shaft,out}}=\tau\omega

其中角速度 ω=2πN/60\omega=2\pi N/60。穩態能量平衡給出散熱率：

Q˙out=W˙elec,in−W˙shaft,out\dot Q_{\mathrm{out}} =\dot W_{\mathrm{elec,in}}-\dot W_{\mathrm{shaft,out}}

再由題目給定的對流熱傳式求表面溫度。熵變須使用絕對溫度（K）；環境接受熱量時，其熵變為熱量除以環境溫度。

解題方法與計算

（一）求馬達表面溫度 TbT_b

電功率輸入為

W˙elec,in=(220 V)(10 A)=2200 W\dot W_{\mathrm{elec,in}} =(220\ \mathrm{V})(10\ \mathrm{A}) =2200\ \mathrm{W}

轉速換算為角速度：

ω=1000revmin×2π rad60 s/min=104.72 rad/s\omega =1000\frac{\mathrm{rev}}{\mathrm{min}} \times\frac{2\pi\ \mathrm{rad}}{60\ \mathrm{s/min}} =104.72\ \mathrm{rad/s}

軸功率輸出為

W˙shaft,out=τω=(16 N⋅m)(104.72 rad/s)=1675.5 W\dot W_{\mathrm{shaft,out}} =\tau\omega =(16\ \mathrm{N\cdot m})(104.72\ \mathrm{rad/s}) =1675.5\ \mathrm{W}

穩態能量平衡得散熱率：

Q˙out=2200−1675.5=524.5 W\dot Q_{\mathrm{out}} =2200-1675.5 =524.5\ \mathrm{W}

代入對流熱傳式 Q˙out=hA(Tb−T0)\dot Q_{\mathrm{out}}=hA(T_b-T_0)：

Tb−T0=524.5(100)(0.195)=26.90 KT_b-T_0 =\frac{524.5}{(100)(0.195)} =26.90\ \mathrm{K}

因此

Tb=20+26.90=46.90∘C\boxed{T_b=20+26.90=46.90^\circ\mathrm{C}}

（二）馬達熵改變量

本題馬達連續穩態運轉，因此其熵不隨時間累積改變，熵變率為零：

S˙motor=0 W/K\boxed{\dot S_{\mathrm{motor}}=0\ \mathrm{W/K}}
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第 五 題20 分

一太陽熱能發電系統如圖所示，太陽輻射能量為 0.315 kW/m20.315\ \mathrm{kW/m^2}。太陽能板吸收之太陽熱能提供給一溫度維持為定溫 220∘C220^\circ\mathrm{C} 之儲能裝置。

一動力循環由儲能裝置供應熱能，排熱至溫度為 50∘C50^\circ\mathrm{C} 之熱源，並產生 0.5 MW0.5\ \mathrm{MW} 之電能。環境之溫度為 20∘C20^\circ\mathrm{C}。

假設此動力循環為穩態操作，儲能裝置太陽熱能吸收效率為 0.750.75，試求：

(一) 所需之最小太陽能板面積。（5 分）

(二) 儲能裝置提供之可用能。（5 分）

(三) 動力循環之熱力學第二定律效率（second-law efficiency）。（10 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查熱機第一定律、卡諾效率，以及熱量的可用能。最小太陽能板面積對應動力循環達到可逆極限，因此以 220∘C220^\circ\mathrm{C} 熱源與 50∘C50^\circ\mathrm{C} 熱沉之間的卡諾效率，求產生指定功率所需的最小供熱量。

熱量 QHQ_H 在溫度 THT_H 下供應時，相對於環境溫度 T0T_0 的可用能為：

E˙x,Q=Q˙H(1−T0TH)\dot{E}_{x,Q}=\dot{Q}_H\left(1-\frac{T_0}{T_H}\right)

解題方法

先將溫度換算為絕對溫度：

TH=220+273.15=493.15 KT_H=220+273.15=493.15\ \mathrm{K} TL=50+273.15=323.15 K,T0=20+273.15=293.15 KT_L=50+273.15=323.15\ \mathrm{K},\qquad T_0=20+273.15=293.15\ \mathrm{K}

（一）所需之最小太陽能板面積

可逆熱機在熱源 THT_H 與熱沉 TLT_L 之間的最高效率為：

ηCarnot=1−TLTH=1−323.15493.15=0.3445\eta_{\mathrm{Carnot}} =1-\frac{T_L}{T_H} =1-\frac{323.15}{493.15} =0.3445

輸出電功率為 W˙=0.5 MW\dot{W}=0.5\ \mathrm{MW}，因此最小供熱率為：

Q˙H,min⁡=W˙ηCarnot=0.50.3445≈1.451 MW\dot{Q}_{H,\min} =\frac{\dot{W}}{\eta_{\mathrm{Carnot}}} =\frac{0.5}{0.3445} \approx 1.451\ \mathrm{MW}

每單位面積實際吸收的太陽熱能率為：

q˙abs=(0.315 kW/m2)(0.75)=0.23625 kW/m2\dot{q}_{\mathrm{abs}} =(0.315\ \mathrm{kW/m^2})(0.75) =0.23625\ \mathrm{kW/m^2}

故最小集熱面積為：

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