110 年高普考高考三級機械工程考古題與詳解

Question 1

如圖所示，一吊桿由梁 $AB$ 與桿件 $BC$ 構成，兩者於 $B$ 處銷接（pin connected），末端 $A$ 與 $C$ 固定於剛性牆之銷支撐（pin support）。梁的截面為 $b$ （寬） $\times h$ （高）之矩形。梁 $AB$ 的中點吊掛 $6\ \text{kN}$ 重物，其承受組合荷載（combined loading），且結構自重不計。

如圖所示， $AB=0.8\ \text{m}$ ，重物懸掛於 $AB$ 中點， $C$ 點位於 $A$ 點正上方 $0.6\ \text{m}$ 處。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請回答下列問題：

（一）繪製梁 $AB$ 的自由體圖，計算支撐點 $A$ 的反力及桿件 $BC$ 的軸力。

（二）繪製梁 $AB$ 的剪力分布圖及彎矩分布圖，並且計算吊掛重物處的剪力及彎矩。

（三）梁 $AB$ 吊掛重物處截面承受的最大壓應力、最大橫向剪應力及各別位置。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查銷接桿件的二力構件判斷、平面靜力平衡、剪力與彎矩圖，以及矩形截面的軸向應力、彎曲應力與橫向剪應力。

桿件 $BC$ 兩端皆以銷接，且桿上沒有其他外力，因此是二力構件；其軸力必沿 $BC$ 方向。梁 $AB$ 則同時承受軸向壓力、剪力與彎矩。

題目未提供截面寬度 $b$ 與高度 $h$ 的數值，因此應力以 $b,h$ 表示。

（一）自由體圖、支撐反力與桿件軸力

取 $A$ 為原點， $x$ 軸沿梁向右、 $y$ 軸向上。由圖可知

A=(0,0),\qquad B=(0.8,0),\qquad C=(0,0.6)\ \text{m}

所以 $BC$ 的長度為

BC=\sqrt{0.8^2+0.6^2}=1.0\ \text{m}

因此由 $B$ 指向 $C$ 的單位向量為

\left(-0.8,\ 0.6\right)

設桿件 $BC$ 受拉，則桿件對梁 $AB$ 在 $B$ 點的作用力為 $(-0.8N_{BC},\,0.6N_{BC})$ 。支撐 $A$ 的反力分量記為 $A_x,A_y$ 。

梁 $AB$ 的自由體圖包含： $A_x,A_y$ 、 $B$ 點沿 $BC$ 方向的桿力，以及中點向下的 $6\ \text{kN}$ 集中力。列力矩平衡：

\sum M_A=0:\qquad 0.8(0.6N_{BC})-0.4(6)=0

N_{BC}=5\ \text{kN}

再列水平與垂直力平衡：

\sum F_x=0:\qquad A_x-0.8(5)=0 \quad\Rightarrow\quad A_x=4\ \text{kN}

\sum F_y=0:\qquad A_y+0.6(5)-6=0 \quad\Rightarrow\quad A_y=3\ \text{kN}

$N_{BC}$ 為正，表示 $BC$ 為受拉桿件。桿件在 $B$ 點對梁的水平分力向左，因此梁 $AB$ 承受 $4\ \text{kN}$ 軸向壓力。

（二）剪力圖、彎矩圖及吊掛處內力

令 $x$ 自 $A$ 向右量，取正剪力為左側截面向上，正彎矩為下凹（梁底受拉）。梁內軸力為 $4\ \text{kN}$ 壓力。

在 $0<x<0.4\ \text{m}$ ：

V(x)=3\ \text{kN},\qquad M(x)=3x\ \text{kN}\cdot\text{m}

在 $0.4<x<0.8\ \text{m}$ ：

V(x)=3-6=-3\ \text{kN}

M(x)=3x-6(x-0.4)=2.4-3x\ \text{kN}\cdot\text{m}

因此剪力圖由 $A$ 至集中力左側為 $+3\ \text{kN}$ ，在 $x=0.4\ \text{m}$ 處向下跳 $6\ \text{kN}$ ，右側至 $B$ 為 $-3\ \text{kN}$ 。彎矩圖由 $A$ 的 $0$ 線性上升至中點，再線性下降至 $B$ 的 $0$ ：

M_{\max}=M(0.4)=3(0.4)=1.2\ \text{kN}\cdot\text{m}

Question 2

如圖所示，末端固定於剛性牆的兩支等長圓柱構件 $AB$ 及 $BC$，構件連結處 $B$ 設有法蘭（flanges），兩者中心線對準。 由於安裝誤差，兩法蘭的螺栓孔角度相差 $	heta$。組裝時施予扭轉荷載，將其對準栓接後，移除施加的荷載。 兩圓柱構件具有相同的剪力模數（shear modulus）$G$，面積極慣性矩（polar moment of inertia of area）分別為 $3I0$ 及 $I0$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 試問兩圓柱構件組裝後的殘留扭矩 $T$ 及法蘭的扭轉角（angle of twist）$\varphi$。

Accepted Answer

核心觀念 本題使用圓軸扭轉公式 $$ \phi=\frac{TL}{GJ}, $$ 並搭配接合處的力矩平衡與扭轉變形相容條件。兩端 $A、C$ 固定，接合處 $B$ 無外加力矩，所以兩軸段的殘留扭矩大小相同、方向相反。 解題方法 設殘留扭矩大小為 $T$。為使原先相差 $	heta$ 的螺栓孔對準，兩軸段朝相反方向扭轉；兩段扭轉角大小之和為 $	heta$。由 $J{AB}=3I0$、$J{BC}=I0$，可得 $$ 	heta =\phi{AB}+\phi{BC} =\frac{TL}{3GI0}+\frac{TL}{GI0} =\frac{4TL}{3GI0}. $$ 因此 $$ T=\frac{3GI0}{4L}	heta. $$

Question 3

如圖所示，一個正三角鐵平面與鉛垂面平行，頂點 $A$ 懸掛於天花板上的銷支撐（pin support）。三角鐵總質量為 $m$ ，邊長為 $L$ ，頂點 $A$ 與質心 $G$ 之連線的水平傾角為 $\theta$ 。

將正三角鐵於 $\theta=30^\circ$ 處由靜止下釋放，繞頂點 $A$ 旋轉。重力加速度以符號 $g$ 表示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請回答下列問題：

（一）正三角鐵相對 $A$ 點的轉動慣量（moment of inertia of mass）值。（10 分）

（二）當 $\theta=90^\circ$ 時，銷支撐 $A$ 施予三角鐵的水平力及鉛直力是多少？（15 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題結合剛體轉動慣量、能量守恆與平面運動方程。把正三角形鐵板視為均質薄板，質心到頂點 $A$ 的距離為

AG=\frac{L}{\sqrt{3}}.

圖中的 $\theta$ 是 $AG$ 與水平線的夾角；鐵板由 $\theta=30^\circ$ 釋放，轉至 $\theta=90^\circ$ 時，質心位於 $A$ 的正下方。

（一）正三角鐵相對 $A$ 點的轉動慣量

均質三角形薄板相對質心、垂直板面的轉動慣量為

I_G=\frac{m}{36}(a^2+b^2+c^2).

正三角形三邊皆為 $L$ ，因此

I_G=\frac{m}{36}(3L^2)=\frac{mL^2}{12}.

以平行軸定理移至頂點 $A$ ：

I_A=I_G+m(AG)^2 =\frac{mL^2}{12}+m\left(\frac{L}{\sqrt{3}}\right)^2 =\boxed{\frac{5}{12}mL^2}.

（二） $\theta=90^\circ$ 時支撐力

先用機械能守恆求 $\theta=90^\circ$ 時的角速度。質心下降量為

\Delta h=AG(\sin90^\circ-\sin30^\circ) =\frac{L}{2\sqrt{3}}.

鐵板由靜止釋放，故重力位能減少轉為轉動動能：

mg\Delta h=\frac12 I_A\omega^2.

Question 4

如圖所示，一個均質半圓柱靜置於水平地面，質量為 $m$，半徑為 $r$。已知半圓柱的質心 $G$ 與圓心 $O$ 距離 $\bar{y}=\frac{4r}{3\pi}$，相對圓心 $O$ 的轉動慣量（moment of inertia of mass）為 $IO=\frac{mr^2}{2}$，重力加速度以符號 $g$ 表示。 施一傾斜力 $P$ 於 $B$ 點，使半圓柱開始轉動而不滑動（roll without sliding）。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 請回答下列問題： （一）繪製半圓柱於初始瞬間的自由體圖及動力圖（kinetic diagram）。（5 分） （二）半圓柱於初始瞬間的角加速度 $\alpha$？（10 分） （三）半圓柱與地面至少需要的最大靜摩擦係數？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查剛體平面運動中的平移與轉動方程，以及純滾動的無滑動約束。初始瞬間角速度為零，因此質心加速度只有切向項；圓心 $O$ 的水平加速度與角加速度滿足純滾動關係。

依圖， $P$ 與水平線夾角為 $60^\circ$ ，其分量為 $P_x=P\cos60^\circ$ 、 $P_y=-P\sin60^\circ$ 。取向右為 $x$ 正向、逆時針為角度正向。

（一）自由體圖與動力圖

**自由體圖：**半圓柱受重力 $mg$ 作用於質心 $G$ ，方向向下；接觸點 $C$ 受地面正向力 $N$ 向上及靜摩擦力 $f$ 水平向右； $B$ 點受外力 $P$ ，方向依圖向右下，與水平線夾角 $60^\circ$ 。
**動力圖：**初始角加速度為順時針；質心加速度 $a_G$ 向右。動力圖可在 $G$ 處標示 $ma_G$ 向右，並標示轉動慣性力偶 $I_G\alpha$ 順時針，其中 $I_G=I_O-m\bar y^2.$

（二）初始角加速度

令 $\alpha$ 帶正負號，純滾動約束給出

$a_{O,x}=-\alpha r.$

初始瞬間 $\omega=0$ ，且 $\vec r_{G/O}=-\bar y\,\mathbf j$ ，所以

$a_{G,x}=a_{O,x}+\alpha\bar y=\alpha(\bar y-r),\qquad a_{G,y}=0.$

平移方程為

$P\cos60^\circ+f=m\alpha(\bar y-r),$

$N-mg-P\sin60^\circ=0.$

以質心 $G$ 取矩。接觸點 $C$ 的摩擦力力臂為 $r-\bar y$ ，外力 $P$ 對 $G$ 的力矩包含水平、垂直分量：

(r-\bar y)f-rP\sin60^\circ-\bar yP\cos60^\circ=I_G\alpha.

110 高普考高考三級機械工程工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）考古題詳解

第一題30 分

核心觀念

（一）自由體圖、支撐反力與桿件軸力

（二）剪力圖、彎矩圖及吊掛處內力

第二題20 分

第三題25 分

核心觀念

（一）正三角鐵相對 $A$ 點的轉動慣量

（二） $\theta=90^\circ$ 時支撐力

第四題25 分

核心觀念

（一）自由體圖與動力圖

（二）初始角加速度

其他考古題

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110 高普考高考三級 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

第 一 題30 分

核心觀念

（一）自由體圖、支撐反力與桿件軸力

（二）剪力圖、彎矩圖及吊掛處內力

第 二 題20 分

第 三 題25 分

核心觀念

（一）正三角鐵相對 AAA 點的轉動慣量

（二）θ=90∘\theta=90^\circθ=90∘ 時支撐力

第 四 題25 分

核心觀念

（一）自由體圖與動力圖

（二）初始角加速度

其他考古題

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110 高普考高考三級機械工程工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）考古題詳解

第一題30 分

第二題20 分

第三題25 分

（一）正三角鐵相對 $A$ 點的轉動慣量

（二） $\theta=90^\circ$ 時支撐力

第四題25 分