108 高普考高考三級 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查煞車面的靜摩擦力與煞車桿的力矩平衡。靜摩擦力須滿足 $F\leq\mu_sN$；要使施力 $P$ 最小，接觸面處於即將滑動的臨界狀態，因此 $F=\mu_sN$。

解題方法

圖示飛輪受順時針扭矩，頂端有向右運動的趨勢，因此煞車面對飛輪的摩擦力向左；依作用力與反作用力，飛輪對煞車桿的摩擦力 $F$ 向右。對飛輪取力矩平衡：

在臨界靜摩擦狀態下：

核心觀念

本題考查理想繩索與滑輪的運動約束，以及牛頓第二運動定律。假設繩索質量可忽略、滑輪無摩擦，繩上的張力皆為 $T$。

依圖中繩索配置，重塊 $B$ 所連動的活動滑輪組由三段繩索支承，因此三段繩索的合力為 $3T$。繩長固定，$A$ 向下的加速度大小是 $B$ 向上加速度大小的三倍。

解題方法

設 $B$ 向上加速度為 $a_B$，則 $A$ 向下加速度為

對重塊 $A$ 使用向下為正方向：

對重塊 $B$ 使用向上為正方向：

由第一式得 $T=50g-150a_B$，代入第二式：

核心觀念

後輪驅動時，提供卡車前進牽引力的是後輪接地處的靜摩擦力。最短加速時間對應可達到的最大加速度，而最大加速度受後輪靜摩擦力上限限制：

$F_A\leq \mu_s N_A$

其中 $F_A$ 為後輪牽引力，$N_A$ 為後輪正向力。卡車加速時會產生載重轉移，因此必須先由力矩平衡求出後輪正向力。

解題方法

令卡車質量為 $m=2\ \mathrm{Mg}$、重量為 $W=mg$，後輪與前輪正向力分別為 $N_A$、$N_B$，後輪牽引力為 $F_A$。前輪自由轉動，忽略輪胎質量，因此前輪不提供水平牽引力。

水平方向套用牛頓第二定律：

$F_A=ma$

鉛直方向沒有加速度：

$N_A+N_B=W$

以重心 $G$ 取力矩，車身不發生轉動，故力矩和為零。以逆時針為正，依圖中尺寸：

$1.5N_B-2N_A+0.75F_A=0$

代入 $N_B=W-N_A$，可得後輪正向力：

$N_A=\frac{1.5W+0.75F_A}{3.5}$

核心觀念

簡支梁承受全跨均勻分布載重時，兩端支承反力相等，最大剪力出現在支承處，最大彎矩出現在跨中：

矩形截面的最大剪應力位於中性軸處，公式為 $\tau_{\max}=\frac{3V_{\max}}{2A}$；最大彎曲應力位於最外側纖維，公式為 $\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S}$，其中 $S=\frac{bh^2}{6}$。

解題方法

已知跨長 $L=1.95\ \mathrm{m}$、均布載重 $w=22.5\ \mathrm{kN/m}$，截面寬 $b=150\ \mathrm{mm}$、高 $h=300\ \mathrm{mm}$。

先求支承反力與最大剪力：

矩形截面面積為：

因此最大剪應力為：

核心觀念

本題考查薄壁圓柱壓力容器的膜應力、圓管的彎曲正應力與扭轉剪應力，並以平面應力轉換求主應力及最大剪應力。

題目所列扭力 $T=90\ \mathrm{kN}$ 缺少長度單位。以下依扭力的量綱，採 $T=90\ \mathrm{kN\cdot m}$ 計算；圓柱壓力應力採薄壁公式，以內徑計算。

解題方法

已知外徑 $D_o=300\ \mathrm{mm}$、厚度 $t=25\ \mathrm{mm}$，故內徑及內、外半徑為

內壓造成圓周方向與軸向正應力：

圓管截面二次矩及極慣性矩為

彎矩造成的外表面彎曲應力，以及扭力造成的外表面剪應力為

彎曲使圓柱一側軸向受拉、另一側受壓，因此兩側的軸向應力分別為