108 高普考高考三級 機械工程 自動控制 考古題詳解

核心觀念

本題考查方塊圖的訊號關係、加總點正負號，以及在零初始條件下由各方塊的轉移函數列式。計算時先依圖寫出訊號方程，再分別令另一個輸入為零，求出各轉移函數。

令 $Z(s)$ 為 $K_3$ 的輸出，也就是同時送入 $G_2(s)$ 與上方負回授支路的訊號。依圖中加總點的正負號：

（一）求 $\dfrac{X_2}{V}$，令 $D=0$

由 $X_2=G_2Z$，得 $Z=X_2/G_2$。進一步由 $Z=K_3(X_1-X_2)$ 得：

由 $G_1$ 的輸入、輸出關係：

令 $D=0$，整理為：

代入 $X_1=\dfrac{1+K_3G_2}{K_3G_2}X_2$，整理可得：

（二）求 $\dfrac{X_2}{D}$，令 $V=0$

沿用同一訊號方程，令 $V=0$：

核心觀念

1. 開迴路不穩定系統之頻域特性： 開迴路轉移函數為 $G(s) = \frac{b}{s-a}$，具有位於右半平面（RHP）的開迴路極點 $s = a$（當 $a > 0$ 時為開迴路不穩定系統）。令 $s = j\omega$，其頻率響應為： $G(j\omega) = \frac{b}{-a + j\omega}$
2. 增益交越頻率（Gain Crossover Frequency, $\omega_{gc}$）與相位邊界（Phase Margin, PM）：

• 增益交越頻率定義：開迴路振幅等於 $1$（即 $0\text{ dB}$）之頻率，滿足 $|G(j\omega_{gc})| = 1$。
• 相位邊界定義：$PM = 180^\circ + \angle G(j\omega_{gc})$。

3. 相位交越頻率（Phase Crossover Frequency, $\omega_{pc}$）與增益邊界（Gain Margin, GM）：

• 相位交越頻率定義：開迴路相位等於 $-180^\circ$ 之頻率，即 $\angle G(j\omega_{pc}) = -180^\circ$。
• 增益邊界定義：在 $\omega_{pc}$ 處開迴路增益之倒數： $GM = \frac{1}{|G(j\omega_{pc})|}$ 以分貝（$\text{dB}$）為單位表示為： $GM_{\text{dB}} = 20 \log_{10}\left(\frac{1}{|G(j\omega_{pc})|}\right) = -20 \log_{10}|G(j\omega_{pc})|$

4. 奈氏穩定度準則（Nyquist Stability Criterion）之物理涵義： 開迴路含有一顆右半平面極點（$P = 1$），閉迴路系統若要穩定（$Z = 0$），奈氏圖必須逆時針繞行臨界點 $(-1, j0)$ 一圈（$N = -1$）。因此迴路增益存在下限需求，增益過小反而會導致系統失穩。

解題方法

步驟一：建立頻率響應之振幅與相位表示式

將 $s = j\omega$ 代入 $G(s)$（假設標準控制參數 $a > 0, b > 0$）： $G(j\omega) = \frac{b}{-a + j\omega}$

• 振幅大小： $|G(j\omega)| = \frac{b}{\sqrt{(-a)^2 + \omega^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + \omega^2}}$
• 相位角： 分母為 $-a + j\omega$，由於實部 $-a < 0$ 且虛部 $\omega > 0$，複數落在複數平面的第二象限： $\angle(-a + j\omega) = 180^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{a}\right)$ 因此轉移函數的相位角為： $\angle G(j\omega) = 0^\circ - \left[180^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{a}\right)\right] = -180^\circ + \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{a}\right)$

步驟二：利用相位邊界求出參數關係

已知系統之相位邊界 $PM = 60^\circ$： $PM = 180^\circ + \angle G(j\omega_{gc}) = 60^\circ$ 將相位表示式代入： $180^\circ + \left[-180^\circ + \tan^{-1}\left(\frac{\omega_{gc}}{a}\right)\right] = 60^\circ \implies \tan^{-1}\left(\frac{\omega_{gc}}{a}\right) = 60^\circ$ 由此解得增益交越頻率 $\omega_{gc}$ 與參數 $a$ 的比例關係： $\frac{\omega_{gc}}{a} = \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \implies \omega_{gc} = \sqrt{3} a$

再根據增益交越頻率之振幅條件 $|G(j\omega_{gc})| = 1$： $|G(j\omega_{gc})| = \frac{b}{\sqrt{a^2 + \omega_{gc}^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + (\sqrt{3}a)^2}} = \frac{b}{\sqrt{4a^2}} = \frac{b}{2a} = 1$ 解得參數 $a$ 與 $b$ 的恆定比值： $\frac{b}{a} = 2 \implies b = 2a$

核心觀念

1. 線性非時變（LTI）系統之正弦穩態響應（Sinusoidal Steady-State Response） 若系統轉移函數為 $G(s)$，當輸入為正弦訊號 $r(t) = A \sin(\omega t + \theta)$ 時，其穩態輸出 $y_{ss}(t)$ 頻率保持不變，振幅放大 $|G(j\omega)|$ 倍，相角偏移 $\angle G(j\omega)$： $y_{ss}(t) = A |G(j\omega)| \sin\big(\omega t + \theta + \angle G(j\omega)\big)$
2. 正餘弦函數之相位基準統一 比對輸入與輸出相角前，必須將三角函數轉換為同名函數（皆化為正弦或皆化為餘弦）： $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + 90^\circ) \quad \text{或} \quad \sin(\alpha) = \cos(\alpha - 90^\circ)$
3. 拉氏轉換之部分分式展開法（Partial Fraction Expansion） 單位步階輸入 $R(s) = \frac{1}{s}$，系統輸出為 $Y(s) = G(s)R(s) = \frac{b}{s^2(s+a)}$。面對 $s=0$ 之二階重極點，利用部分分式展開分離出 $\frac{1}{s^2}$、$\frac{1}{s}$ 與 $\frac{1}{s+a}$ 項，再經由反拉氏轉換求得時域響應 $y(t)$。

解題方法

(一) 求解參數 $a$ 與 $b$ 之值

1. 頻率響應函數之建立 將 $s = j\omega$ 代入系統轉移函數： $G(j\omega) = \frac{b}{j\omega(j\omega + a)}$ 其大小（Magnitude）與相角（Phase Angle）分別為： $|G(j\omega)| = \frac{|b|}{\omega \sqrt{a^2 + \omega^2}}$ $\angle G(j\omega) = \angle b - \angle(j\omega) - \angle(a + j\omega) = \angle b - 90^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{a}\right)$

2. 比對輸入與穩態輸出之頻率特性 輸入訊號：$r(t) = \sin(10t)$，故輸入頻率 $\omega = 10\text{ rad/s}$、振幅 $A = 1$、初相角 $\theta = 0^\circ$。 穩態輸出：$y_{ss}(t) = \sqrt{2}\cos(10t + 135^\circ)$。將其轉換為正弦形式： $y_{ss}(t) = \sqrt{2}\sin\big(10t + 135^\circ + 90^\circ\big) = \sqrt{2}\sin(10t + 225^\circ) = \sqrt{2}\sin(10t - 135^\circ)$

3. 聯立求解 $a$ 與 $b$

• 相角關係（取 $b > 0$，即 $\angle b = 0^\circ$）： $\angle G(j10) = -90^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{10}{a}\right) = -135^\circ$ $\tan^{-1}\left(\frac{10}{a}\right) = 45^\circ \implies \frac{10}{a} = 1 \implies a = 10$
• 振幅關係： $|G(j10)| = \frac{y_{ss}\text{ 之振幅}}{r\text{ 之振幅}} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$ 將 $a = 10$ 及 $\omega = 10$ 代入模數公式： $|G(j10)| = \frac{b}{10 \sqrt{10^2 + 10^2}} = \frac{b}{10 \times 10\sqrt{2}} = \frac{b}{100\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ $b = 100\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 200$

(二) 求解當輸入為 $\cos 20t$ 時之穩態輸出響應

系統轉移函數已確定為： $G(s) = \frac{200}{s(s + 10)}$

1. 計算 $\omega = 20\text{ rad/s}$ 時之頻率響應 將 $s = j20$ 代入： $G(j20) = \frac{200}{j20(j20 + 10)} = \frac{10}{j(10 + j20)} = \frac{10}{-20 + j10} = \frac{1}{-2 + j1} = \frac{-2 - j1}{(-2)^2 + 1^2} = -\frac{2}{5} - j\frac{1}{5}$

2. 求取大小與相角

• 振幅增益： $|G(j20)| = \sqrt{\left(-\frac{2}{5}\right)^2 + \left(-\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
• 系統相角： $\angle G(j20) = -90^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{20}{10}\right) = -90^\circ - \tan^{-1}(2) \approx -90^\circ - 63.43^\circ = -153.43^\circ$

3. 寫出穩態輸出響應 輸入為 $r(t) = \cos(20t)$，其穩態輸出可表示為標準極座標形式或直角座標展開式：

• 極座標形式：

核心觀念

本題評量線性控制系統在頻域與複數平面上的兩大核心分析工具：勞斯-霍維茨穩定度準則（Routh-Hurwitz Criterion）​與伊凡斯根軌跡法（Evans Root Locus Method）。

1. 閉迴路特徵方程式（Characteristic Equation）： 對於單位負回授系統（$H(s) = 1$），閉迴路轉移函數為 $T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)}$，閉迴路極點即為特徵方程式之根： $1 + G(s) = 0$

2. 勞斯穩定度準則： 線性非時變系統穩定的充要條件為特徵方程式的所有根皆落在複數平面的左半平面（LHP）。藉由特徵多項式建立勞斯表，第一行元素皆為正數時系統方為漸近穩定。第一行元素出現零或變號則對應臨界穩定或不穩定。

3. 根軌跡基本幾何幾何規則（針對 $K > 0$ 之標準根軌跡）：

• 起點與終點：分支數等於極點數 $n$；軌跡始於開迴路極點（$K = 0$），終於開迴路零點（$K \to \infty$）。
• 實軸上的根軌跡：實軸上一點若其右側之實數開迴路極點與零點總數為奇數，則該點落在根軌跡上。
• 漸近線（Asymptotes）：當 $s \to \infty$ 時，$n - m$ 條分支沿漸近線趨向無窮遠，其與實軸之交點（質心 $\sigma_a$）及夾角（$\phi_a$）為： $\sigma_a = \frac{\sum p_i - \sum z_i}{n - m}, \quad \phi_a = \frac{(2k+1)180^\circ}{n - m}, \quad k = 0, 1, \dots, n-m-1$
• 離開角（Angle of Departure, $\theta_d$）：由相位條件 $\sum \angle(s+z_i) - \sum \angle(s+p_i) = (2k+1)180^\circ$ 推導，複數極點處之離開角為： $\theta_d = 180^\circ - \sum \theta_{p} + \sum \theta_{z}$
• 虛軸交點：根軌跡穿越虛軸之臨界點，可由勞斯表令特殊列為零所衍生之輔助方程式（Auxiliary Equation）求得，或由令 $s = j\omega$ 代入特徵方程式求得。

解題方法

(一) 求解閉迴路控制系統穩定之 $K$ 值範圍

步驟 1：建立閉迴路特徵方程式 開迴路轉移函數為 $G(s) = \frac{K}{(s^2+2s+2)(s+4)}$，單位負回授 $H(s)=1$。 特徵方程式為： $1 + G(s)H(s) = 0 \implies (s^2+2s+2)(s+4) + K = 0$

展開多項式： $(s^3 + 4s^2 + 2s^2 + 8s + 2s + 8) + K = 0$ $s^3 + 6s^2 + 10s + (8+K) = 0$

步驟 2：建立勞斯表（Routh Array） 特徵方程式各階係數為 $a_3 = 1$、$a_2 = 6$、$a_1 = 10$、$a_0 = 8+K$：

步驟 3：判定穩定度條件 系統穩定之充要條件為勞斯表第一行元素皆為正值（$> 0$）：

1. $s^2$ 列：$6 > 0$（恆成立）
2. $s^1$ 列：$\frac{52-K}{6} > 0 \implies K < 52$
3. $s^0$ 列：$8 + K > 0 \implies K > -8$

若不限定增益為正，系統維持穩定之數學充要條件為： $-8 < K < 52$ 若依控制系統常規將放大器增益限定為正數（$K > 0$），則穩定之增益範圍為： $0 < K < 52$

(二) 繪製根軌跡圖並標示指定關鍵參數

步驟 1：開迴路極點與零點（Poles and Zeros）

• 極點（Poles）：解母多項式 $(s^2+2s+2)(s+4) = 0$ $p_1 = -4, \quad p_{2,3} = -1 \pm j \quad (n = 3)$ 極點位置對應增益 $K = 0$。
• 零點（Zeros）：分子無 $s$ 多項式，無有限零點（$m = 0$）。 系統具有 $n - m = 3$ 個位於無窮遠處的零點，對應增益 $K \to \infty$。

步驟 2：實軸上的根軌跡（Root Locus on Real Axis） 實軸上僅存在單一實數極點 $s = -4$。 任取測試點，當 $s < -4$ 時，其右方極點與零點個數總和為 $1$（奇數）；當 $s > -4$ 時，其右方無實數極點（共軛複數極點對相位總和為 $360^\circ$，不影響奇偶性判斷）。 因此，實軸上的根軌跡區間為： $(-\infty, -4]$

步驟 3：漸近線與實軸交會點（Asymptotes and Real-Axis Intersection） 漸近線分支數為 $n - m = 3$ 條。

• 漸近線與實軸交會位置（質心 $\sigma_a$）： $\sigma_a = \frac{\sum \text{Poles} - \sum \text{Zeros}}{n - m} = \frac{(-4) + (-1+j) + (-1-j) - 0}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
• 漸近線夾角（$\phi_a$）： $\phi_a = \frac{(2k+1)180^\circ}{3} = 60^\circ, 180^\circ, 300^\circ \quad (\text{即 } \pm 60^\circ, 180^\circ)$ 漸近線為系統於 $K \to \infty$ 時之極限軌跡。

步驟 4：根軌跡與虛數軸交會之位置及對應 $K$ 值 當根軌跡穿越虛軸時，系統處於臨界穩定狀態。由勞斯表之 $s^1$ 列為 0 可得： $\frac{52-K}{6} = 0 \implies K_{mar} = 52$