110 高普考高考三級 機械工程 自動控制 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 自動控制

第 一 題25 分

如下圖馬達控制系統，受控馬達之轉移函數為

G(s)=100.1s+1G(s)=\frac{10}{0.1s+1}

其輸入為電樞電壓，輸出為轉速。馬達角度由一可變電位計量測，其轉移函數為

Kt=2 V/radK_t=2\ \mathrm{V/rad}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一)僅使用比例控制，設計 KPK_P 以使系統之阻尼比為 0.50.5，此時系統之自然頻率為何？此系統進行定位控制與定速控制時，分別能否達到穩態誤差為零的要求？請說明其原因。

(二)若使用者要求系統自然頻率至少須為 20 rad/sec20\ \mathrm{rad/sec} 且阻尼比維持 0.50.5，試提出新的控制器設計以達其要求。

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核心觀念

本題考查閉迴路特徵方程式、標準二階系統的阻尼比與自然頻率，以及系統型別與穩態追蹤誤差。

由圖可知，馬達輸出是轉速 ω\omega，經過 1/s1/s 積分後得到角度 θ\theta；角度再由增益 Kt=2K_t=2 的電位計回授。因此，比例控制器下的開迴路轉移函數為

L(s)=KP100.1s+11s(2)=20KPs(0.1s+1).L(s)=K_P\frac{10}{0.1s+1}\frac{1}{s}(2) =\frac{20K_P}{s(0.1s+1)}.

標準二階特徵方程式為

s2+2ζωns+ωn2=0.s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0.

解題方法與推導

（一）比例控制器設計與穩態誤差

閉迴路特徵方程式為

1+L(s)=01+L(s)=0

因此

s(0.1s+1)+20KP=0,s(0.1s+1)+20K_P=0,

整理並乘以 1010 得

s2+10s+200KP=0.s^2+10s+200K_P=0.

與標準二階形式比較：

2ζωn=10,ωn2=200KP.2\zeta\omega_n=10,\qquad \omega_n^2=200K_P.

題目指定 ζ=0.5\zeta=0.5，所以

2(0.5)ωn=10⇒ωn=10 rad/sec.2(0.5)\omega_n=10 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\omega_n=10\ \mathrm{rad/sec}}.

再由 ωn2=200KP\omega_n^2=200K_P 得

KP=102200=0.5.K_P=\frac{10^2}{200}=\boxed{0.5}.

定位控制：穩態誤差為零。 開迴路含有一個原點極點 1/s1/s，是第一型系統。對位置命令的階梯輸入，位置誤差常數為

Kpos=lim⁡s→0L(s)=∞,K_{\mathrm{pos}}=\lim_{s\to0}L(s)=\infty,

故階梯位置命令的穩態誤差為零。

定速控制：穩態誤差不為零。 定速運轉對應角度命令隨時間線性增加，也就是位置斜坡輸入。速度誤差常數為

Kvel=lim⁡s→0sL(s)=20KP=10,K_{\mathrm{vel}}=\lim_{s\to0}sL(s)=20K_P=10,

因此斜坡命令的穩態誤差有限但不為零。若參考訊號斜率為 AA（單位為電壓／秒），則

ess=AKvel=A10.e_{\mathrm{ss}}=\frac{A}{K_{\mathrm{vel}}}=\frac{A}{10}.
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第 二 題25 分

考慮下圖之控制系統，aa 與 KK 為待設計之控制參數，試化簡方塊圖以求得轉移函數

Y(s)R(s)\frac{Y(s)}{R(s)}

並判斷能使系統穩定之 aa 與 KK 之條件。此系統之直流增益對 KK 的靈敏度為何？對 aa 的靈敏度在何條件下為最高？

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核心觀念

本題考查方塊圖化簡、三次特徵方程的 Routh–Hurwitz 穩定判據，以及直流增益的靈敏度。

靈敏度採用相對靈敏度定義：

SxT=xT∂T∂xS_x^T=\frac{x}{T}\frac{\partial T}{\partial x}

其中 TT 是所討論的增益，xx 是參數。相對靈敏度表示參數相對變動對增益相對變動的影響。

解題方法

依圖令第一個加總點的輸出為 ee，第二個加總點的輸出為 vv。由兩個加總點的正負號可得：

e=R−v−Ye=R-v-Y v=es+a−2Yv=\frac{e}{s+a}-2Y

而第二個加總點後接 K/s2K/s^2，所以：

Y=Ks2vY=\frac{K}{s^2}v

由 e=R−v−Ye=R-v-Y 代入第二式：

(s+a)v=e−2(s+a)Y(s+a)v=e-2(s+a)Y (s+a)v=R−v−Y−2(s+a)Y(s+a)v=R-v-Y-2(s+a)Y

整理得：

(s+a+1)v=R−(2s+2a+1)Y(s+a+1)v=R-(2s+2a+1)Y

再代入 v=s2Y/Kv=s^2Y/K，得到：

s2(s+a+1)Y=K[R−(2s+2a+1)Y]s^2(s+a+1)Y=K\left[R-(2s+2a+1)Y\right]

因此閉迴路轉移函數為：

Y(s)R(s)=Ks2(s+a+1)+K(2s+2a+1)\boxed{\frac{Y(s)}{R(s)} =\frac{K}{s^2(s+a+1)+K(2s+2a+1)}}

穩定條件

特徵方程為：

s3+(a+1)s2+2Ks+K(2a+1)=0s^3+(a+1)s^2+2Ks+K(2a+1)=0

三次多項式 s3+b1s2+b2s+b3s^3+b_1s^2+b_2s+b_3 穩定的 Routh–Hurwitz 條件為：

b1>0,b2>0,b3>0,b1b2>b3b_1>0,\qquad b_2>0,\qquad b_3>0,\qquad b_1b_2>b_3

代入本題係數：

a+1>0,2K>0,K(2a+1)>0a+1>0,\qquad 2K>0,\qquad K(2a+1)>0

以及：

(a+1)(2K)>K(2a+1)(a+1)(2K)>K(2a+1)

在 K>0K>0 時，最後一項化為 2a+2>2a+12a+2>2a+1，恆成立。合併各條件，系統穩定的充要條件為：

K>0,a>−12\boxed{K>0,\qquad a>-\frac12}
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第 三 題25 分

如下圖左方之控制系統架構，

G(s)=1s2+6s+20G(s)=\frac{1}{s^2+6s+20}

與

H(s)=−19s+1H(s)=\frac{-19}{s+1}

。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一)為判斷系統型態，請計算系統於單位負回授下之等效轉移函數 Ge(s)G_e(s)，如下圖右方，並據以判定系統型態為何。

(二)請使用漸近線（asymptote）技術繪出 Ge(s)G_e(s) 之近似波德圖之大小增益部分（無須繪製相位圖）。

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核心觀念

本題考查兩個觀念：

  1. 系統型態：在單位負回授架構中，系統型態由前向開迴路轉移函數 Ge(s)G_e(s) 的原點極點數決定。
  2. 波德圖漸近線：先將轉移函數整理成標準因子，依原點極點、零點及極點計算各頻率區間的斜率與增益。

解題方法

原方塊圖的加總點為負回授，因此閉迴路轉移函數為

T(s)=Y(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s).T(s)=\frac{Y(s)}{R(s)} =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}.

右圖是前向傳遞函數為 Ge(s)G_e(s) 的單位負回授系統，其閉迴路轉移函數為

T(s)=Ge(s)1+Ge(s).T(s)=\frac{G_e(s)}{1+G_e(s)}.

令兩個閉迴路轉移函數相等，解出等效前向轉移函數：

Ge(s)=T(s)1−T(s)=G(s)1+G(s)H(s)−G(s)=G(s)1+G(s)(H(s)−1).G_e(s)=\frac{T(s)}{1-T(s)} =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)} =\frac{G(s)}{1+G(s)\bigl(H(s)-1\bigr)}.

代入

G(s)=1s2+6s+20,H(s)=−19s+1,G(s)=\frac{1}{s^2+6s+20}, \qquad H(s)=-\frac{19}{s+1},

可得

Ge(s)=s+1(s+1)(s2+6s+20)−(s+20)=s+1s(s2+7s+25).G_e(s) =\frac{s+1}{(s+1)(s^2+6s+20)-(s+20)} =\frac{s+1}{s(s^2+7s+25)}.

Ge(s)G_e(s) 在原點有一個極點，且分子在 s=0s=0 不為零，沒有原點零點與之抵消。因此系統為 第一型系統（Type 1）。

波德圖大小增益漸近線

將 Ge(s)G_e(s) 整理為標準形式：

Ge(s)=1251+ss(1+725s+125s2).G_e(s) =\frac{1}{25}\frac{1+s}{s\left(1+\frac{7}{25}s+\frac{1}{25}s^2\right)}.

各因子的折點與斜率變化如下：

因子折點頻率斜率變化
原點極點 1/s1/s無限低頻起−20-20 dB/dec
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第 四 題25 分

單位負回授之架構下，一系統之轉移函數為

G(s)=32s(s2+4s−28)G(s)=\frac{32}{s(s^2+4s-28)}

若欲設計一 PD 控制器

C(s)=(1+Ks)C(s)=(1+Ks)

以進行補償，請畫出閉迴路系統之根軌跡對 KK 值變化而產生之根軌跡，並說明為何無論 KK 之值為何，此系統皆無法穩定。

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核心觀念

本題考查單位負回授系統的特徵方程式、根軌跡與 Routh–Hurwitz 穩定判據。設計 PD 控制器後，閉迴路極點是特徵方程式的根；極點全部位於左半平面時，系統才穩定。

題目最後所稱「無論 KK 值為何皆無法穩定」與給定的系統及控制器不符。依題目所列式子，存在可使系統穩定的 KK 值；以下依公式推導並指出穩定範圍。

解題方法

單位負回授的特徵方程式為

1+C(s)G(s)=0.1+C(s)G(s)=0.

代入 G(s)=32s(s2+4s−28)G(s)=\dfrac{32}{s(s^2+4s-28)} 及 C(s)=1+KsC(s)=1+Ks：

s(s2+4s−28)+32(1+Ks)=0,s(s^2+4s-28)+32(1+Ks)=0,

整理得

s3+4s2+(32K−28)s+32=0.s^3+4s^2+(32K-28)s+32=0.

為畫出隨 KK 變化的根軌跡，將特徵方程式改寫為

(s−2)2(s+8)+32Ks=0,(s-2)^2(s+8)+32Ks=0,

亦即

1+K32s(s−2)2(s+8)=0.1+K\frac{32s}{(s-2)^2(s+8)}=0.

因此，以 K≥0K\ge 0 為根軌跡參數時，等效開迴路函數為

L(s)=K32s(s−2)2(s+8).L(s)=K\frac{32s}{(s-2)^2(s+8)}.

其開迴路極點在 s=2s=2（重根）及 s=−8s=-8，開迴路零點在 s=0s=0。

根軌跡特徵

  • 分枝數： 3 條，從 3 個開迴路極點出發。
  • 實軸根軌跡： 實軸上某點右側的極點、零點總數為奇數時，該點屬於根軌跡。因此根軌跡落在 (−8,0)(-8,0)。
  • 漸近線： 尚有 3−1=23-1=2 條漸近線。其重心為
σa=(2+2−8)−02=−2,\sigma_a=\frac{(2+2-8)-0}{2}=-2,

漸近線角度為 90∘90^\circ、270∘270^\circ。

  • 從 s=−8s=-8 出發的一支沿實軸移向零點 s=0s=0；從重極點 s=2s=2 出發的兩支向左分離，最後沿重心 −2-2 上下方的垂直漸近線趨向無窮遠。
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