110 高普考高考三級 機械工程 流體力學 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 流體力學

第 一 題25 分

於一自由含水土體之地表面有穩定降雨強度 i  (mm/hr)i\;(\mathrm{mm/hr})，若無地表逕流產生，給定土壤之水力傳導度 KK、上游水位 h2h_2、下游水位 h1h_1、土體長度 LL，且土體內滲流符合達西定律（Darcy’s Law）。

(一) 推求土層中之地下水面線剖面 h(x)h(x)。（15 分）

(二) 推求土層中之寬流量 q(x)q(x)。（10 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查自由含水土體在穩定降雨補注下的地下水面線，以及單位寬度流量的分布。採用 Dupuit–Forchheimer 假設：土體內的水平流速遠大於垂直流速，垂直方向壓力為靜水壓。以土層底部為基準，水深 h(x)h(x) 即為水力水頭。

令 xx 軸由上游指向下游，並令 q(x)q(x) 為沿 +x+x 方向的單位寬度流量，則達西定律與穩定水量平衡為

q(x)=−Kh(x)dhdx=−K2d[h(x)2]dx,dqdx=i.q(x)=-K h(x)\frac{dh}{dx} =-\frac{K}{2}\frac{d[h(x)^2]}{dx}, \qquad \frac{dq}{dx}=i.

其中 ii 是降雨補注率，須與 KK 使用一致的長度與時間單位。

解題方法

因降雨均勻入滲且沒有地表逕流，每單位水平距離補注土體的水量為 ii，因此流量沿 xx 方向增加，滿足 dq/dx=idq/dx=i。結合達西定律，可得

−K2d2[h(x)2]dx2=i,d2[h(x)2]dx2=−2iK.-\frac{K}{2}\frac{d^2[h(x)^2]}{dx^2}=i, \qquad \frac{d^2[h(x)^2]}{dx^2}=-\frac{2i}{K}.

對上式積分，並使用圖示邊界條件 h(0)=h2h(0)=h_2、h(L)=h1h(L)=h_1，得

h(x)=h22+h12−h22Lx+iKx(L−x),0≤x≤L.\boxed{ h(x)= \sqrt{ h_2^2+\frac{h_1^2-h_2^2}{L}x +\frac{i}{K}x(L-x) } }, \qquad 0\le x\le L.

再由達西定律求單位寬度流量：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

(一) 說明自由水面及底床邊界分別為流線之條件為何？（10 分）

(二) 流場之流況為穩定流或均勻流之判別方程式為何？分別以管流舉例說明穩定流而非均勻流，及均勻流而非穩定流之實際流況。（15 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

流線在每一點都與該點的瞬時速度方向相切。若以 V\boldsymbol{V} 表示速度、n\boldsymbol{n} 表示邊界外法線，邊界為流線的條件是速度在法線方向的分量為零：

V⋅n=0\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}=0

也就是流體不能穿越該邊界。

自由水面

自由水面為流線的條件，是水面上的流體質點不穿越水面。若水面寫成 F(x,y,z,t)=0F(x,y,z,t)=0，其運動學邊界條件為：

∂F∂t+V⋅∇F=0\frac{\partial F}{\partial t} +\boldsymbol{V}\cdot\nabla F=0

若水面固定不隨時間變動，則 ∂F/∂t=0\partial F/\partial t=0，故：

V⋅∇F=0\boldsymbol{V}\cdot\nabla F=0

速度與水面法線垂直，即速度切於自由水面，因此自由水面為流線。須注意，若自由水面隨時間升降，水面雖不被流體穿越，但在固定座標系中不一定是流線；其相對於水面的法向速度為零。

底床邊界

對固定、不可滲透的底床，流體不能穿越床面，因此：

V⋅n=0\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}=0

速度沿底床切向，底床即為流線。若底床可滲透，或底床本身移動，則須改用流體相對於邊界的法向速度為零；此時不能直接斷定底床是固定座標系下的流線。

（二）穩定流與均勻流的判別

核心觀念與判別方程式

穩定流（steady flow）是指在固定空間位置觀察，流場性質不隨時間改變：

∂V∂t=0(亦即 ∂V∂t=0，且其他流場性質亦不隨時間變化)\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial t}=0 \qquad \left(\text{亦即 }\frac{\partial V}{\partial t}=0 \text{，且其他流場性質亦不隨時間變化}\right)

均勻流（uniform flow）是指在同一時刻，流場性質不隨空間位置改變。沿流線方向的判別式為：

∂V∂s=0\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial s}=0
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題25 分

二維尤拉方程式（Euler equation）表示如下：

ρ(∂u∂t+u∂u∂x+w∂u∂z)=−∂(p+γz)∂x\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+w\frac{\partial u}{\partial z}\right) =-\frac{\partial(p+\gamma z)}{\partial x} ρ(∂w∂t+u∂w∂x+w∂w∂z)=−∂(p+γz)∂z\rho\left(\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+w\frac{\partial w}{\partial z}\right) =-\frac{\partial(p+\gamma z)}{\partial z}

其中，uu 與 ww 分別為 xx（水平方向，向右為正）與 zz（垂直方向，向上為正）二個方向的速度分量，tt 為時間，ρ\rho 為流體密度，pp 為壓力，γ(=ρg)\gamma(=\rho g) 為單位重，gg 為重力加速度。

一矩形（水平均長 LL，高 HH）半滿油槽在固定水平加速度為 ax(>0)a_x(>0)，及固定垂直加速度為 az(>0)a_z(>0)作用下，並假定油槽內流體各位置之加速度皆相同。

(一) 由以上公式推求油槽內液面坡度為何？（15 分）

(二) 油槽內最大壓力位於何處？其值為何？（10 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題使用二維尤拉方程式描述流體的加速度與壓力梯度。油槽內流體各位置的加速度相同，因此流體相對於油槽呈靜止狀態；自由液面上的壓力為大氣壓，且自由液面本身是一條等壓線。由此可求液面坡度，再以壓力梯度判斷最大壓力位置與大小。

解題方法

令油槽以固定加速度 (ax,az)(a_x,a_z) 運動，其中 xx 向右、zz 向上為正。流體各處加速度相同，故物質加速度為

DuDt=ax,DwDt=az.\frac{Du}{Dt}=a_x,\qquad \frac{Dw}{Dt}=a_z.

代入題示尤拉方程式：

∂(p+γz)∂x=−ρax,∂(p+γz)∂z=−ρaz.\frac{\partial(p+\gamma z)}{\partial x}=-\rho a_x, \qquad \frac{\partial(p+\gamma z)}{\partial z}=-\rho a_z.

因此

∂p∂x=−ρax,∂p∂z=−ρ(az+g),\frac{\partial p}{\partial x}=-\rho a_x, \qquad \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho(a_z+g),

其中 γ=ρg\gamma=\rho g。這表示壓力向左增加，且因 az>0a_z>0，壓力也隨深度增加。

（一）液面坡度

自由液面上壓力為大氣壓，故沿液面 dp=0dp=0。由壓力全微分：

dp=∂p∂xdx+∂p∂zdz=0.dp=\frac{\partial p}{\partial x}dx+ \frac{\partial p}{\partial z}dz=0.

代入壓力梯度得

−ρax dx−ρ(az+g) dz=0,-\rho a_x\,dx-\rho(a_z+g)\,dz=0,

所以液面坡度為

dzdx=−axg+az.\boxed{\frac{dz}{dx}=-\frac{a_x}{g+a_z}}.

負號表示液面向右下降；右側液面較低、左側較高。若以液面與水平線的夾角 θ\theta 表示，則

tan⁡θ=axg+az,\tan\theta=\frac{a_x}{g+a_z},

方向為左高右低。

（二）最大壓力位置與大小

由

∂p∂x=−ρax<0,∂p∂z=−ρ(g+az)<0,\frac{\partial p}{\partial x}=-\rho a_x<0, \qquad \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho(g+a_z)<0,
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

渠道中設置一寬頂堰（broad-crested weir），BB 為堰之長度，已知其單寬流量為 q  (m2/s)q\;(\mathrm{m^2/s})，其下游邊緣為自由跌水（free overfall），即此處渠底與空氣接觸。

(一) 試求寬頂堰均勻段之臨界水深（critical depth）ycy_c。（10 分）

(二) 試求寬頂堰下游端之邊緣水深（brink depth）yby_b。（15 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查矩形渠道的臨界水深，以及自由跌水處的邊緣水深。單寬流量為 qq，重力加速度為 gg。堰長 BB 是水流方向的長度，不影響這兩個水深的計算。

解題方法

（一）寬頂堰均勻段的臨界水深

矩形渠道的單位寬流量為 q=Vyq=Vy，比能為

E=y+V22g=y+q22gy2E=y+\frac{V^2}{2g} =y+\frac{q^2}{2gy^2}

臨界流的條件為比能最小。對 yy 微分並令導數為零：

dEdy=1−q2gy3=0\frac{dE}{dy}=1-\frac{q^2}{gy^3}=0

因此

yc=(q2g)1/3\boxed{y_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}}

（二）寬頂堰下游端的邊緣水深

自由跌水的邊緣水深採用自由跌水的標準關係：

ybyc≈0.715\frac{y_b}{y_c}\approx 0.715

因此

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

機械工程《流體力學》其他年度

112111

110 年高普考高考三級・其他類科的《流體力學》

水利工程環境工程