110 年高普考高考三級機械工程考古題與詳解

Question 1

有一馬達重量為 $25\ \mathrm{kN}$，在馬達上方需設計一環首螺栓（eye bolt）作為安裝吊掛之用。若選用之螺栓強度等級為 $8.0$（抗拉強度 $Su=1034.3\ \mathrm{MPa}$、降伏強度 $Sy=894.6\ \mathrm{MPa}$），且設計時之安全係數為 $5.0$，試求： 1. 應選用之螺栓尺寸規格。 2. 最少之鎖入螺牙數。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 已知 ISO 螺絲螺牙根部直徑為： $$ dr=d-2	imes0.54127p $$ 其中，$d$ 為公稱直徑，$p$ 為螺距。 參考資料： | 外徑 $d$（mm） | 螺距 $p$（mm） | 螺牙根部直徑 $dr$（mm） | 應力面積（$\mathrm{mm^2}$） | |---:|---:|---:|---:| | 1.6 | 0.35 | 1.373 | 1.27 | | 2 | 0.4 | 1.740 | 2.07 | | 2.5 | 0.45 | 2.208 | 3.39 | | 3 | 0.5 | 2.675 | 5.03 | | 2.5 | 0.6 | 3.110 | 6.78 | | 4 | 0.7 | 3.545 | 8.78 | | 5 | 0.8 | 4.480 | 14.2 | | 6 | 1 | 5.350 | 20.2 | | 8 | 1.25 | 7.188 | 36.6 | | 10 | 1.5 | 9.026 | 58.0 | | 12 | 1.75 | 10.863 | 84.3 | | 14 | 2 | 12.701 | 115 | | 16 | 2 | 14.701 | 157 | | 20 | 2.5 | 18.376 | 245 | | 24 | 3 | 22.051 | 353 | | 30 | 3.5 | 27.7…

Accepted Answer

核心觀念

本題考查螺栓受軸向拉力時的尺寸選擇，以及螺牙承受剪力時所需的最小嚙合長度。安全係數 $n=5$ ，以降伏強度 $S_y$ 計算容許應力：

\sigma_{\mathrm{allow}}=\frac{S_y}{n} =\frac{894.6}{5} =178.92\ \mathrm{MPa}

由於 $1\ \mathrm{MPa}=1\ \mathrm{N/mm^2}$ ，可直接用這個容許應力計算所需截面積。

解題方法

1. 選擇螺栓尺寸

馬達重量為 $F=25\ \mathrm{kN}=25{,}000\ \mathrm{N}$ 。所需拉應力面積為：

A_{\mathrm{req}}=\frac{F}{\sigma_{\mathrm{allow}}} =\frac{25{,}000}{178.92} =139.7\ \mathrm{mm^2}

查表可知，M14 的應力面積為 $115\ \mathrm{mm^2}$ ，小於所需面積；M16 的應力面積為 $157\ \mathrm{mm^2}$ ，符合要求。因此選用 M16。

以 M16 驗算：

\sigma=\frac{25{,}000}{157}=159.2\ \mathrm{MPa} <178.92\ \mathrm{MPa}

故 M16 符合安全係數 5 的降伏強度要求。

2. 求最少鎖入螺牙數

題目未提供馬達本體的螺牙材料強度。以下按本體螺牙材料的剪切強度不低於螺栓材料估算；並以螺栓螺牙剪切降伏強度 $S_y/2$ 計算。容許剪應力為：

Question 2

如圖所示之門形桿件於 $A$ 及 $D$ 點焊接於垂直牆面上。若已知靜態負載 $P$ 在 $A$ 及 $D$ 點分別產生之扭矩為：

T=\frac{Pl_1^2}{8E\left(\frac{l_1}{E}+\frac{l_2}{G}\right)}

及彎矩：

M=\frac{Pl_2}{2}

其中：

P=1000\ \mathrm{N},\qquad l_1=1\ \mathrm{m},\qquad l_2=0.25\ \mathrm{m},\qquad d=40\ \mathrm{mm}

桿件材料之抗拉強度為 $500\ \mathrm{MPa}$ ，降伏強度為 $400\ \mathrm{MPa}$ ，楊氏係數為 $E=210\ \mathrm{GPa}$ ，剪力模數為 $G=80.8\ \mathrm{GPa}$ 。

試分別以最大剪應力理論、畸變能理論（distortion energy theory）計算此桿件在 $A$ 點之設計安全係數。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 A 點的圓桿同時承受彎矩 $M$ 與扭矩 $T$，因此外表面會同時產生彎曲正應力與扭轉剪應力。材料為延性鋼材，依最大剪應力理論（Tresca）及畸變能理論（von Mises）計算降伏安全係數；兩種理論均使用降伏強度 $Sy=400\ \mathrm{MPa}$。 解題方法 先依題目公式求 A 點的扭矩與彎矩，再以實心圓桿的截面性質求外表面應力。 扭矩為 $$ T=\frac{Pl1^2}{8E\left(\frac{l1}{E}+\frac{l2}{G}ight)} =\frac{1000(1)^2} {8(210	imes10^9)\left(\frac{1}{210	imes10^9}+\frac{0.25}{80.8	imes10^9}ight)} =75.77\ \mathrm{N\cdot m} $$ 彎矩為 $$ M=\frac{Pl2}{2} =\frac{1000(0.25)}{2} =125\ \mathrm{N\cdot m} $$ 實心圓桿的截面二次矩與極慣性矩分別為 $$ I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32} $$ 令 $d=40\ \mathrm{mm}$，並將彎矩與扭矩換成 $\mathrm{N\cdot mm}$。外表面彎曲正應力及扭轉剪應力為 $$ \sigma=\frac{Mc}{I}=\frac{32M}{\pi d^3} =\frac{32(125000)}{\pi(40)^3} =19.89\ \mathrm{MPa} $$

Question 3

有一 SAE1040 冷拉鋼之材料桿件，其材料抗拉強度為 $550\ \mathrm{MPa}$ 、降伏強度為 $490\ \mathrm{MPa}$ ，承受一軸向之拉伸疲勞變動負載：

F_{\max}=3500\ \mathrm{N},\qquad F_{\min}=500\ \mathrm{N}

若材料之耐久限（endurance limit）為 $210\ \mathrm{MPa}$ ，且桿件上無應力集中，設計時之安全係數為 $2.0$ ，則當桿件設計壽命為 $10^5$ 次負載循環下，求其所需之桿件截面積大小。

Accepted Answer

核心觀念 本題考軸向拉伸疲勞設計。變動負載須分解為平均力與交變力，再依材料在指定壽命下的疲勞強度，檢核平均應力與交變應力的組合。 負載的平均值與振幅為 $$ Fm=\frac{F{\max}+F{\min}}{2},\qquad Fa=\frac{F{\max}-F{\min}}{2} $$ 截面積為 $A$ 時，平均應力與交變應力分別為 $$ \sigmam=\frac{Fm}{A},\qquad \sigmaa=\frac{Fa}{A} $$ 材料抗拉強度為 $S{ut}=550\ \mathrm{MPa}$，耐久限為 $Se=210\ \mathrm{MPa}$。題目指定壽命 $10^5$ 次，需先以有限壽命疲勞強度評估；再用平均應力修正準則計算截面積。題目未指明疲勞準則，以下採機械設計常用的修正 Goodman 準則，並以安全係數 $n=2.0$ 設計。 解題方法 先計算平均力與交變力： $$ Fm=\frac{3500+500}{2}=2000\ \mathrm{N} $$ $$ Fa=\frac{3500-500}{2}=1500\ \mathrm{N} $$ 題目給定 $Se=210\ \mathrm{MPa}$ 為耐久限，但設計壽命是 $10^5$ 次，因此須求該壽命下的疲勞強度 $Sf$。以 $10^3$ 次時取 $0.9S{ut}$、$10^6$ 次時取 $Se$，並在雙對數座標上以直線內插： $$ Sf=aN^b $$ $$ a=\frac{(0.9S{ut})^2}{Se} =\frac{(0.9	imes550)^2}{210} =1169.36\ \mathrm{MPa} $$ $$ b=-\frac{1}{3}\log{10}\left(\frac{0.9S{ut}}{Se}ight) =-0.2453 $$ 故在 $N=10^5$ 次時， $$ Sf=1169.36(10^5)^{-0.2453} \approx 366.4\ \mathrm{MPa} $$ 修正 Goodman 準則含安全係數的形式為 $$ \frac{\sigmaa}{Sf}+\frac{\sigmam}{S{ut}}=\frac{1}{n} $$

Question 4

有一螺旋壓縮彈簧，鋼絲直徑為 $4.0\ \mathrm{mm}$，平均螺旋半徑為 $14.0\ \mathrm{mm}$，總螺旋圈數為 $8$ 圈，彈簧兩端為磨平（ground，總共無效圈數為 $1.0$），承受靜態負載大小為 $450\ \mathrm{N}$。 若鋼絲之抗拉強度為： $$ Su=1400\ \mathrm{MPa} $$ 且拉伸降伏強度為 $Sy$，剪力降伏強度為 $S{sy}$，其與 $Su$ 之比值為： $$ \frac{Sy}{Su}=0.60,\qquad \frac{S{sy}}{Su}=0.40 $$ 剪力模數為： $$ G=79.5\ \mathrm{GPa} $$ 試求此彈簧使用下之安全係數及此彈簧之彈簧常數。 可能用到之公式如下： $$ 	au=Ks\frac{16PR}{\pi d^3} $$ $$ Ks=1+\frac{0.615}{c} $$ $$ k=\frac{Gd^4}{64R^3Nc} $$

Accepted Answer

核心觀念 螺旋壓縮彈簧受軸向負載時，鋼絲主要承受扭轉剪應力。題目提供的剪應力修正公式為 $$ 	au=Ks\frac{16PR}{\pi d^3} $$ 其中彈簧指數 $c=R/d$，修正係數為 $$ Ks=1+\frac{0.615}{c} $$ 靜態負載下的安全係數以剪力降伏強度與最大剪應力之比計算： $$ n=\frac{S{sy}}{	au} $$ 彈簧常數則使用有效圈數 $Nc$： $$ k=\frac{Gd^4}{64R^3Nc} $$ 解題方法 先由鋼絲直徑 $d=4.0\ \mathrm{mm}$ 與平均螺旋半徑 $R=14.0\ \mathrm{mm}$ 求彈簧指數： $$ c=\frac{R}{d}=\frac{14.0}{4.0}=3.5 $$ 因此剪應力修正係數為 $$ Ks=1+\frac{0.615}{3.5}=1.1757 $$ 代入 $P=450\ \mathrm{N}$ 計算鋼絲最大剪應力： $$ 	au=1.1757\frac{16(450)(14.0)}{\pi(4.0)^3} =589.4\ \mathrm{MPa} $$ 由題目給定的強度比，剪力降伏強度為 $$ S{sy}=0.40Su=0.40(1400)=560\ \mathrm{MPa} $$ 故彈簧使用時的安全係數為

Question 5

有一旋轉機械上每一圈迴轉軸之扭矩輸出如圖所示，軸之轉速為 $60\ \mathrm{rpm}$ 。若軸之動力由一固定扭矩之馬達所帶動，且不計機械之其他動力損失，試求：

以能量平衡之觀點所需選用馬達之功率。
若軸上欲控制轉速變動係數（coefficient of fluctuation）低於 $0.20$ ，則所需之鐵製平板飛輪之外徑應為多少？

飛輪鐵材厚度為 $200\ \mathrm{mm}$ ，質量密度為 $7680\ \mathrm{kg/m^3}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

固定扭矩馬達在一個週期內提供的總功，必須等於負載所需的總功，因此馬達扭矩等於負載扭矩的週期平均值。飛輪則用來吸收或釋放轉動能量；最大能量變動量可由「負載扭矩減去馬達扭矩」對轉角積分求得。

飛輪的轉速變動係數與能量變動量關係為

C_s=\frac{\omega_{\max}-\omega_{\min}}{\omega} =\frac{\Delta E}{I\omega^2}

其中 $\omega$ 為平均角速度， $I$ 為飛輪轉動慣量。

解題方法

由圖可讀出負載扭矩在 $120^\circ$ 時為 $10\ \mathrm{kN\cdot m}$ ，之後線性下降，至 $180^\circ$ 降為零；其餘轉角的扭矩為零。

1. 馬達功率

一週內負載扭矩對轉角的面積為三角形面積：

\int_0^{2\pi}T\,d\theta =\frac{1}{2}(60^\circ)(10\ \mathrm{kN\cdot m}) \left(\frac{\pi}{180^\circ}\right) =5.236\ \mathrm{kJ}

因此平均馬達扭矩為

T_m=\frac{5.236\ \mathrm{kJ}}{2\pi} =0.8333\ \mathrm{kN\cdot m}

轉速 $60\ \mathrm{rpm}$ 對應角速度

\omega=2\pi\ \mathrm{rad/s}

所需馬達功率為

P=T_m\omega =(0.8333\ \mathrm{kN\cdot m})(2\pi\ \mathrm{rad/s}) =5.236\ \mathrm{kW}

2. 飛輪外徑

飛輪能量增加的區間，從負載扭矩高於馬達扭矩的 $120^\circ$ 開始，到兩者再次相等為止。由圖中線性斜降段可得交點：

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