109 高普考高考三級 機械工程 機械設計 考古題詳解

109 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 機械設計

第 一 題25 分

以三槽的 V 型皮帶輪傳動 9 kW9\ \mathrm{kW}、1750 rpm1750\ \mathrm{rpm} 馬達動力至工業泵，驅動皮帶輪節圓直徑 d1=200 mmd_1=200\ \mathrm{mm}，使用三條 V 型皮帶，且三條皮帶分配到相同的張力。被動皮帶輪之節圓直徑 d2=300 mmd_2=300\ \mathrm{mm}，皮帶輪中心距離 C=1200 mmC=1200\ \mathrm{mm}。

若皮帶緊邊張力 F1F_1 與鬆邊張力 F2F_2 之關係為：

F1−FcF2−Fc=exp⁡(0.513ϕ)\frac{F_1-F_c}{F_2-F_c}=\exp(0.513\phi)

其中，Fc=0.1675(N⋅s2m2)v2F_c=0.1675\left(\frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}^2}{\mathrm{m}^2}\right)v^2 為皮帶離心力。求：

(一) 皮帶節線之線速度 vv。

(二) 小皮帶輪之皮帶包覆角（wrap angle）ϕ\phi（radian）。

(三) 每條皮帶之緊邊張力 F1F_1（N）。

(四) 傳動此 9 kW9\ \mathrm{kW} 動力而不打滑，所需之初始張力（initial tension）FiF_i（N）。

(五) 若輪內的皮帶受到等效彎曲張力 Fb(N)=65(N⋅m)dF_b(\mathrm{N})=65(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m})d，其中 dd（m）為皮帶輪節圓直徑，求各條皮帶受到之等效最大張力。

（以上數值及物理量隨後括號內為其單位。）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查 V 型皮帶傳動的圓周速度、包覆角、功率與張力關係、初始張力，以及皮帶彎曲張力。

皮帶傳遞功率由緊邊與鬆邊張力差提供：

P=(F1−F2)vP=(F_1-F_2)v

三條皮帶均勻分擔總功率，因此每條皮帶承受的功率為 P/3P/3。皮帶運轉時的初始張力與離心力關係為：

Fi=F1+F22+FcF_i=\frac{F_1+F_2}{2}+F_c

題目給定的張力比則是：

F1−FcF2−Fc=e0.513ϕ\frac{F_1-F_c}{F_2-F_c}=e^{0.513\phi}

其中 FcF_c 為離心力，ϕ\phi 為小皮帶輪包覆角（弧度）。

解題方法與計算

（一）皮帶節線速度 vv

由驅動輪轉速與節圓直徑計算：

v=πd1n160=π(0.200)(1750)60=18.33 m/sv=\frac{\pi d_1 n_1}{60} =\frac{\pi(0.200)(1750)}{60} =18.33\ \mathrm{m/s}

（二）小皮帶輪包覆角 ϕ\phi

開口式皮帶傳動中，兩輪半徑差所對應的幾何角為：

α=sin⁡−1(r2−r1C)=sin⁡−1(0.150−0.1001.200)=0.04168 rad\alpha=\sin^{-1}\left(\frac{r_2-r_1}{C}\right) =\sin^{-1}\left(\frac{0.150-0.100}{1.200}\right) =0.04168\ \mathrm{rad}

小皮帶輪的包覆角為：

ϕ=π−2α=π−2(0.04168)=3.058 rad\phi=\pi-2\alpha =\pi-2(0.04168) =3.058\ \mathrm{rad}

（三）每條皮帶緊邊張力 F1F_1

每條皮帶所傳遞的功率為：

Pb=90003=3000 WP_b=\frac{9000}{3}=3000\ \mathrm{W}

因此每條皮帶的張力差為：

F1−F2=Pbv=300018.33=163.64 NF_1-F_2=\frac{P_b}{v} =\frac{3000}{18.33} =163.64\ \mathrm{N}

離心力為：

Fc=0.1675v2=0.1675(18.33)2=56.28 NF_c=0.1675v^2 =0.1675(18.33)^2 =56.28\ \mathrm{N}

由題目張力比式：

F1−FcF2−Fc=e0.513(3.058)=4.801\frac{F_1-F_c}{F_2-F_c} =e^{0.513(3.058)} =4.801
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

一個滾珠軸承的工作內容有三項：

第 1 項占工作時間比例為 0.30.3，其轉速為 3000 rpm3000\ \mathrm{rpm}，等效徑向負荷為 3000 N3000\ \mathrm{N}；

第 2 項占工作時間比例為 0.20.2，其轉速為 2000 rpm2000\ \mathrm{rpm}，等效徑向負荷為 4000 N4000\ \mathrm{N}；

第 3 項占工作時間比例為 0.50.5，其轉速為 1000 rpm1000\ \mathrm{rpm}，等效徑向負荷為 5000 N5000\ \mathrm{N}。

其壽命負荷方程式為：

F3L=C103×106F^3L=C_{10}^3\times10^6

欲使此軸承工作壽命總小時數為 66 萬小時，求：

(一) 前述三項工作的總壽命轉動次數（rev）。（10 分）

(二) 三項工作負荷對軸承壽命作用的等效負荷。（10 分）

(三) 選擇的軸承之型錄額定負荷（catalog load rating）或動容量（dynamic capacity）C10C_{10} 需為多少？（5 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查變動工作條件下的滾珠軸承壽命計算。滾珠軸承的壽命負荷關係為

F3L=C103×106F^3L=C_{10}^3\times10^6

其中 FF 為等效徑向負荷，LL 為壽命轉動次數（rev），C10C_{10} 為型錄額定負荷或動容量。指數 33 是滾珠軸承的壽命指數。

工作條件分成多個階段時，先依各階段占用的時間與轉速，計算總轉數及各階段轉數比例；再以三次方平均合併負荷，求對壽命作用的等效負荷。

解題方法

（一）總壽命轉動次數

總工作壽命為 60,00060{,}000 小時。各項工作的時間比例分別為 0.30.3、0.20.2、0.50.5，因此各階段工作時數為：

t1=0.3(60,000)=18,000 ht_1=0.3(60{,}000)=18{,}000\ \mathrm{h} t2=0.2(60,000)=12,000 ht_2=0.2(60{,}000)=12{,}000\ \mathrm{h} t3=0.5(60,000)=30,000 ht_3=0.5(60{,}000)=30{,}000\ \mathrm{h}

各階段轉數等於轉速乘以每小時 6060 分鐘，再乘以該階段時數：

L總=60∑i=13nitiL_{\text{總}} =60\sum_{i=1}^{3} n_i t_i

代入題目資料：

L總=60[(3000)(18,000)+(2000)(12,000)+(1000)(30,000)]=5.04×109 rev\begin{aligned} L_{\text{總}} &=60\left[(3000)(18{,}000)+(2000)(12{,}000)+(1000)(30{,}000)\right]\\ &=5.04\times10^9\ \mathrm{rev} \end{aligned}

（二）三項工作的等效負荷

等效負荷須按各階段轉數比例加權，而非直接按工作時間比例加權。先算各階段轉數：

L1=60(3000)(18,000)=3.24×109 revL_1=60(3000)(18{,}000)=3.24\times10^9\ \mathrm{rev} L2=60(2000)(12,000)=1.44×109 revL_2=60(2000)(12{,}000)=1.44\times10^9\ \mathrm{rev} L3=60(1000)(30,000)=1.80×109 revL_3=60(1000)(30{,}000)=1.80\times10^9\ \mathrm{rev}

因此各階段轉數比例為：

L1L總=914,L2L總=27,L3L總=514\frac{L_1}{L_{\text{總}}}=\frac{9}{14},\qquad \frac{L_2}{L_{\text{總}}}=\frac{2}{7},\qquad \frac{L_3}{L_{\text{總}}}=\frac{5}{14}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題25 分

某機械元件之臨界危險點應力狀態為：

σx=200 MPa\sigma_x=200\ \mathrm{MPa}、σy=100 MPa\sigma_y=100\ \mathrm{MPa}、σz=−200 MPa\sigma_z=-200\ \mathrm{MPa}、

τxy=0 MPa\tau_{xy}=0\ \mathrm{MPa}、τxz=0 MPa\tau_{xz}=0\ \mathrm{MPa}、τyz=−60 MPa\tau_{yz}=-60\ \mathrm{MPa}。

求：

(一) 該點之三個方向的主應力。（12 分）

(二) 該點之馮密西斯（von Mises）應力。（8 分）

(三) 其使用材料的降伏強度為 Sy=715 MPaS_y=715\ \mathrm{MPa}，求安全係數。（5 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查三維應力狀態的主應力、von Mises 等效應力，以及依降伏強度計算安全係數。

主應力是應力張量的特徵值，可由特徵方程求得。von Mises 應力則將多軸應力狀態換算為等效單軸應力；對延性材料，以降伏強度除以 von Mises 應力求安全係數。

解題方法

依題目給定分量，應力張量為

σ=[200000100−600−60−200] MPa\boldsymbol{\sigma}= \begin{bmatrix} 200 & 0 & 0\\ 0 & 100 & -60\\ 0 & -60 & -200 \end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}

主應力為此矩陣的特徵值，令

det⁡(σ−λI)=0\det(\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I})=0

因 xx 方向與其他方向沒有剪應力耦合，特徵方程可分解為

(200−λ)∣100−λ−60−60−200−λ∣=0(200-\lambda) \begin{vmatrix} 100-\lambda & -60\\ -60 & -200-\lambda \end{vmatrix}=0

因此一個主應力為 200 MPa200\ \mathrm{MPa}；其餘兩個由

(100−λ)(−200−λ)−(−60)2=0(100-\lambda)(-200-\lambda)-(-60)^2=0

展開得

λ2+100λ−23600=0\lambda^2+100\lambda-23600=0

解得

λ=−100±1002+4(23600)2=−100±1044002\lambda=\frac{-100\pm\sqrt{100^2+4(23600)}}{2} =\frac{-100\pm\sqrt{104400}}{2}

故三個主應力為

σ1=200 MPa,σ2≈111.62 MPa,σ3≈−211.62 MPa\sigma_1=200\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_2\approx111.62\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_3\approx-211.62\ \mathrm{MPa}

依大小排序為 σ1≥σ2≥σ3\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3。

von Mises 應力可用主應力公式計算：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

以螺栓鎖緊組合元件，螺栓剛度（stiffness）kb=11.5 N/mk_b=11.5\ \mathrm{N/m}，元件接頭剛度 km=24 N/mk_m=24\ \mathrm{N/m}。以預力 Fi=60 kNF_i=60\ \mathrm{kN} 上緊螺栓，在元件接頭部產生了上緊的壓力，其值與螺栓上緊預力相等。

當平行於螺栓軸向的週期性拉力從 Pmin⁡=30 kNP_{\min}=30\ \mathrm{kN} 至 Pmax⁡=70 kNP_{\max}=70\ \mathrm{kN} 反覆作用於此接頭時，元件總成與螺栓有相同之伸長量。螺栓受力有效面積 At=245 mm2A_t=245\ \mathrm{mm}^2，求：

(一) 元件接頭所受到合力之平均值。（5 分）

(二) 元件接頭所受合力之振幅值（amplitude of resultant force）。（5 分）

(三) 螺栓所承受正向應力之平均值 σm\sigma_m。（5 分）

(四) 螺栓所承受正向應力之應力振幅 σa\sigma_a（stress amplitude）。（5 分）

(五) 螺栓材料的最小認證極限強度為 Sut=600 MPaS_{ut}=600\ \mathrm{MPa}，忍耐限為 Se=162 MPaS_e=162\ \mathrm{MPa}。根據古德門（Goodman）理論：

σmSut+σaSe=1nf\frac{\sigma_m}{S_{ut}}+\frac{\sigma_a}{S_e}=\frac{1}{n_f}

求螺栓之綜合安全係數 nfn_f。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

螺栓與被夾持元件在外力作用下具有相同的伸長量，因此外力會依兩者的剛度分配。螺栓剛度與接頭剛度分別為 kbk_b、kmk_m，螺栓分擔外力的比例為

C=kbkb+kmC=\frac{k_b}{k_b+k_m}

外力增加時，螺栓拉力增加 CPCP；被夾持元件的壓縮力則減少 (1−C)P(1-C)P。本題的 kbk_b 與 kmk_m 雖以 N/m\mathrm{N/m} 表示，但計算剛度比例時單位相消。

解題方法

先求剛度分配係數：

C=11.511.5+24=0.32394C=\frac{11.5}{11.5+24}=0.32394

以 PP 表示外加拉力，則螺栓受力與元件接頭合力分別為

Fb=Fi+CPF_b=F_i+CP Fm=Fi−(1−C)PF_m=F_i-(1-C)P

其中 Fi=60 kNF_i=60\ \mathrm{kN} 為上緊預力；接頭合力是元件內部的剩餘夾持壓力。

外力的平均值與振幅為

Pm=Pmax⁡+Pmin⁡2=70+302=50 kNP_m=\frac{P_{\max}+P_{\min}}{2} =\frac{70+30}{2}=50\ \mathrm{kN} Pa=Pmax⁡−Pmin⁡2=70−302=20 kNP_a=\frac{P_{\max}-P_{\min}}{2} =\frac{70-30}{2}=20\ \mathrm{kN}

（一）元件接頭合力平均值

Fm,avg=Fi−(1−C)PmF_{m,\mathrm{avg}}=F_i-(1-C)P_m =60−(1−0.32394)(50)=26.20 kN=60-(1-0.32394)(50) =26.20\ \mathrm{kN}

（二）元件接頭合力振幅值

外力增加會使接頭夾持力減少，因此接頭合力振幅的大小為

Fm,a=(1−C)Pa=(1−0.32394)(20)=13.52 kNF_{m,a}=(1-C)P_a =(1-0.32394)(20) =13.52\ \mathrm{kN}

（三）螺栓正向應力平均值

螺栓平均拉力為

Fb,avg=Fi+CPm=60+0.32394(50)=76.20 kNF_{b,\mathrm{avg}}=F_i+CP_m =60+0.32394(50) =76.20\ \mathrm{kN}

故平均正向應力為

σm=Fb,avgAt=76.20×103245=311.0 MPa\sigma_m=\frac{F_{b,\mathrm{avg}}}{A_t} =\frac{76.20\times 10^3}{245} =311.0\ \mathrm{MPa}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

機械工程《機械設計》其他年度

115114113112111110