109 高普考高考三級 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

109 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一 題20 分

如圖所示，已知剛性桿 ABAB 和 BCBC 在 BB 處銷釘連接（pin connected）。假設 DD 處之彈簧的剛度（stiffness）為 kk，試決定系統的臨界載荷 PcrP_{cr}。

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核心觀念

本題考查剛性桿系統的小位移穩定與臨界載荷。在臨界狀態，系統受到微小側向擾動時，彈簧增加的應變能恰好抵消軸向壓力造成的位能降低。以總位能二次項係數為零，即可求得臨界載荷。

由圖可讀出 AB=aAB=a、BC=2aBC=2a，DD 為 BCBC 的中點，因此 CD=aCD=a。AA 點受垂直導引，CC 點固定銷接，彈簧未變形時為水平。

解題方法

令桿 BCBC 相對鉛直方向轉過小角度 θ\theta，以 CC 為原點，取向上為 yy 方向。則

B=(2asin⁡θ,  2acos⁡θ)B=(2a\sin\theta,\;2a\cos\theta)

因 DD 距離 CC 為 aa，其水平位移為

xD=asin⁡θ≈aθx_D=a\sin\theta\approx a\theta

故彈簧的應變能為

Us=12kxD2≈12ka2θ2U_s=\frac12 kx_D^2 \approx \frac12ka^2\theta^2

AA 點只能垂直移動，且 AB=aAB=a。由幾何關係，AA 點高度為

yA=2acos⁡θ+a2−(2asin⁡θ)2y_A=2a\cos\theta+\sqrt{a^2-(2a\sin\theta)^2}
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第 二 題30 分

如圖所示，其中點 AA 為原點。已知簡支梁之截面為 b×hb\times h 之矩形，其中 bb 為梁之寬度、hh 為梁之高度，請回答下列問題。（每小題 5 分，共 30 分）

附圖資訊：梁長為 6 m6\ \mathrm{m}；點 AA 為左端鉸支承，點 BB 為右端滾支承。距點 AA 2 m2\ \mathrm{m} 處施加偶矩 M=2 kN⋅mM=2\ \mathrm{kN\cdot m}，距點 AA 4 m4\ \mathrm{m} 處施加向下集中力 4 kN4\ \mathrm{kN}，各標示間距均為 2 m2\ \mathrm{m}。梁軸向為 xx，截面高度方向為 yy。

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（一）試繪製簡支梁（simply supported beam）的自由體圖，並求點 AA 和 BB 處的反力。

（二）試繪製簡支梁的剪力圖，並求外力作用處的剪力。

（三）試繪製簡支梁的彎矩圖，並求外力作用處的彎矩。

（四）試求沿簡支梁中立軸（neutral axis）的最大剪應力 τmax⁡\tau_{\max}（maximum shear stress）及其位置。

（五）試求沿簡支梁上表面（y=0.5hy=0.5h）的最大剪應力及其位置。

（六）試求簡支梁之最大剪應力及其位置。

提示參考公式：

τ1,2=±(σx−σy2)2+τxy2\tau_{1,2}=\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} σ=−MyI,τ=QVIb\sigma=-\frac{My}{I},\qquad \tau=\frac{QV}{Ib}
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核心觀念

本題考查簡支梁的支承反力、剪力圖與彎矩圖，以及矩形截面梁的彎曲正應力、橫向剪應力和最大剪應力。取逆時針力矩為正，依圖示，x=2 mx=2\ \mathrm{m} 處的 2 kN⋅m2\ \mathrm{kN\cdot m} 偶矩為順時針。

矩形截面的慣性矩與剪應力分布為

I=bh312,τxy(y)=3V2bh(1−4y2h2).I=\frac{bh^3}{12},\qquad \tau_{xy}(y)=\frac{3V}{2bh}\left(1-\frac{4y^2}{h^2}\right).

梁的彎曲正應力為 σx=−My/I\sigma_x=-My/I。當 σy=0\sigma_y=0 時，最大剪應力（亦即最大主剪應力）的大小為

τmax⁡,local=(σx2)2+τxy2.\tau_{\max,\mathrm{local}} =\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.

解題方法

先對整根梁列平衡方程，求支承反力；再由剪力圖的跳躍與彎矩圖的斜率、偶矩造成的彎矩跳躍，分段求出 VV、MM。最後分別檢查中立軸與上下表面的剪應力，並比較兩處的最大值。

（一）自由體圖與支承反力

自由體圖包含：AA 點鉸支承反力 Ax,AyA_x,A_y、BB 點滾支承反力 ByB_y、x=2 mx=2\ \mathrm{m} 處順時針偶矩 2 kN⋅m2\ \mathrm{kN\cdot m}，以及 x=4 mx=4\ \mathrm{m} 處向下集中力 4 kN4\ \mathrm{kN}。

∑Fx=0:Ax=0\sum F_x=0:\quad A_x=0 ∑MA=0:6By−4(4)−2=0⟹By=3 kN\sum M_A=0:\quad 6B_y-4(4)-2=0 \quad\Longrightarrow\quad B_y=3\ \mathrm{kN} ∑Fy=0:Ay+By−4=0⟹Ay=1 kN\sum F_y=0:\quad A_y+B_y-4=0 \quad\Longrightarrow\quad A_y=1\ \mathrm{kN}

（二）剪力圖與外力作用處的剪力

偶矩不造成剪力跳躍；4 kN4\ \mathrm{kN} 集中力使剪力向下跳 4 kN4\ \mathrm{kN}。

V(x)={+1 kN,0<x<4,−3 kN,4<x<6.V(x)= \begin{cases} +1\ \mathrm{kN},&0<x<4,\\ -3\ \mathrm{kN},&4<x<6. \end{cases}

在偶矩作用處 x=2 mx=2\ \mathrm{m}，剪力仍為 +1 kN+1\ \mathrm{kN}。在集中力作用處 x=4 mx=4\ \mathrm{m}，剪力由左側 +1 kN+1\ \mathrm{kN} 跳至右側 −3 kN-3\ \mathrm{kN}；因此該處剪力有左右兩側值。到 BB 點再向上跳 3 kN3\ \mathrm{kN} 回到零。

（三）彎矩圖與外力作用處的彎矩

彎矩圖斜率等於剪力；順時針外加偶矩使彎矩圖向上跳 2 kN⋅m2\ \mathrm{kN\cdot m}。分段彎矩為

M(x)={x kN⋅m,0≤x<2,(x+2) kN⋅m,2<x≤4,(18−3x) kN⋅m,4≤x≤6.M(x)= \begin{cases} x\ \mathrm{kN\cdot m},&0\le x<2,\\ (x+2)\ \mathrm{kN\cdot m},&2<x\le4,\\ (18-3x)\ \mathrm{kN\cdot m},&4\le x\le6. \end{cases}

在偶矩作用處，彎矩由 M(2−)=2M(2^-)=2 跳至 M(2+)=4 kN⋅mM(2^+)=4\ \mathrm{kN\cdot m}。在集中力作用處，彎矩連續，M(4)=6 kN⋅mM(4)=6\ \mathrm{kN\cdot m}。彎矩於 BB 點回到零。

（四）中立軸上的最大剪應力及位置

中立軸 y=0y=0 上，彎曲正應力為零，剪應力大小為

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第 三 題25 分

如圖所示，一質量 m=1.8 kgm=1.8\ \mathrm{kg} 的軸環 AA 連接到彈簧上，並且可以在水平桿上滑動而不產生摩擦。已知彈簧常數 k=1051 N/mk=1051\ \mathrm{N/m}，且當軸環受壓縮而在靜止狀態自由釋放時，是以初始速度 v=1.4 m/sv=1.4\ \mathrm{m/s} 向右移動。請回答下列問題：

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（一）若以水平方向右代表 xx-軸，試繪製軸環 AA 的自由體圖，並推導其運動方程式。（10 分）

（二）直接利用小題（一）的結果，試表明或驗證軸環 AA 的運動方程式可以表為

x=Csin⁡ωt+Dcos⁡ωtx=C\sin\omega t+D\cos\omega t

其中 CC 和 DD 為常係數，ω\omega 為自然頻率，及 tt 為時間。（5 分）

（三）試決定軸環 AA 在運動過程中的自然頻率 ω\omega、振幅和最大加速度各為多少？（10 分）

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核心觀念

本題考查無摩擦水平彈簧系統的簡諧運動。以彈簧未變形位置為平衡位置，令軸環向右位移為 xx，彈簧對軸環的水平力為 −kx-kx，因此運動方程式為

mx¨+kx=0m\ddot{x}+kx=0

其自然頻率為 ω=k/m\omega=\sqrt{k/m}。解的常用形式是 x=Csin⁡ωt+Dcos⁡ωtx=C\sin\omega t+D\cos\omega t。

解題方法

（一）自由體圖與運動方程式

軸環受力如下：

  • 水平方向：彈簧力 Fs=−kxF_s=-kx。
  • 垂直方向：桿的正向力 NN 向上，重力 mgmg 向下。

取水平向右為 xx 軸，垂直方向沒有加速度，因此

∑Fy=N−mg=0\sum F_y=N-mg=0

水平方向依牛頓第二運動定律：

∑Fx=−kx=mx¨\sum F_x=-kx=m\ddot{x}

故運動方程式為

mx¨+kx=0\boxed{m\ddot{x}+kx=0}

代入 m=1.8 kgm=1.8\ \mathrm{kg}、k=1051 N/mk=1051\ \mathrm{N/m}，可寫成

x¨+10511.8x=0\boxed{\ddot{x}+\frac{1051}{1.8}x=0}

（二）驗證運動方程式的解

設

x=Csin⁡ωt+Dcos⁡ωtx=C\sin\omega t+D\cos\omega t

則

x¨=−ω2(Csin⁡ωt+Dcos⁡ωt)=−ω2x\ddot{x}=-\omega^2\left(C\sin\omega t+D\cos\omega t\right)=-\omega^2x

代回運動方程式：

mx¨+kx=(−mω2+k)xm\ddot{x}+kx=(-m\omega^2+k)x

要使此式對所有時間成立，須有 mω2=km\omega^2=k，亦即

ω=km\boxed{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}

所以此形式確為運動方程式的解。

（三）自然頻率、振幅與最大加速度

自然頻率可由已知質量與彈簧常數直接求得：

ω=10511.8=24.16 rad/s\omega=\sqrt{\frac{1051}{1.8}} =24.16\ \mathrm{rad/s}
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第 四 題25 分

將質量 m=5 kgm=5\ \mathrm{kg} 的球以 ω0=10 rad/s\omega_0=10\ \mathrm{rad/s} 的後旋方式放在一巷道上，其質心 OO 的速度為 v0=5 m/sv_0=5\ \mathrm{m/s}。試決定球停止旋轉的時間，以及此時的質心速度。假設球與巷道之間的動摩擦係數為 μk=0.08\mu_k=0.08。

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圖中標示球半徑為 100 mm100\ \mathrm{mm}。

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核心觀念

球在粗糙巷道上滑動時，動摩擦力同時造成質心平移加速度與繞質心的角加速度。題目給的是「停止旋轉」的時刻，因此要用角運動方程求時間，再用平移方程求該時刻的質心速度。

依圖示，球半徑 R=100 mm=0.1 mR=100\ \mathrm{mm}=0.1\ \mathrm{m}。題目未明示球的質量分布，以下依一般「實心均質球」假設，採用 IO=25mR2I_O=\frac{2}{5}mR^2。

解題方法

取球心向右為平移正方向，逆時針為角運動正方向。球向右且帶後旋時，角速度為逆時針；球與地面的接觸點相對巷道向右滑動，因此動摩擦力向左，大小為

Fk=μkmg.F_k=\mu_kmg.

平移方向套用牛頓第二定律：

maO=−Fk=−μkmg,aO=−μkg=−0.08(9.81)=−0.7848 m/s2.ma_O=-F_k=-\mu_kmg, \qquad a_O=-\mu_kg=-0.08(9.81)=-0.7848\ \mathrm{m/s^2}.

摩擦力對球心的力矩使球順時針轉動，因此角加速度為負。由轉動方程：

IOαO=−FkR=−μkmgR.I_O\alpha_O=-F_kR=-\mu_kmgR.

代入實心均質球的慣性矩 IO=25mR2I_O=\frac{2}{5}mR^2：

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