111 年高普考高考三級機械工程考古題與詳解

Question 1

如圖所示，由三根桿件所構成之空間桁架，桿件端點都是球窩接頭（ball-and-socket joints）。在 $D$ 點之作用力

\mathbf{F}=(135\mathbf{i}+200\mathbf{j}-180\mathbf{k})\ \mathrm{kN}

試求在 $ED$ 桿件之反力大小，並說明其為張力或壓力。

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Accepted Answer

核心觀念 桿件兩端為球窩接頭，且桿件只受端點作用力，因此每根桿件是二力構件，桿力沿桿件軸線作用。取 $D$ 點為研究對象，利用三維力平衡： $$ \sum \mathbf F=\mathbf 0 $$ 由圖中座標軸與尺寸可讀得 $$ A=(4,0,0),\quad B=(0,1,0),\quad D=(3,6,0),\quad E=(0,-2,6)\ 	ext{m} $$ 其中 $A、B、D$ 均在水平面上，因此 $AD$、$DB$ 兩桿的力沒有 $z$ 分量。 解題方法 由 $D$ 指向 $E$ 的位置向量為 $$ \overrightarrow{DE}=E-D=(-3,-8,6)\ 	ext{m} $$ 其長度及單位向量為 $$ |\overrightarrow{DE}|=\sqrt{(-3)^2+(-8)^2+6^2}=\sqrt{109} $$

Question 2

如圖所示，有一繩索末端繫有一質量 $m$ 之質點，另一端則繞在一半徑為 $R$ 之圓柱上。

在時間 $t=0$ 時，質點之初始速度為 $v_0$ ，且繩索繃緊之初始長度為 $L_0$ 。

若繩索與質點都假設於水平面上，且除繩索之張力 $T$ 外，並無其他外力作用，試求繩索張力 $T$ 隨角度 $\theta$ 之改變關係函數式。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 質點只受繩索張力，且繩索方向與質點速度垂直，因此張力不作功，質點速率維持初值 $v0$。幾何上，繩索繞上圓柱的長度增加 $R	heta$，所以質點端的直線繩長會由 $L0$ 減為 $$ L(	heta)=L0-R	heta $$ 其中 $	heta$ 以弧度計。 解題方法 取 $e$ 為沿繩索指向質點的單位向量，$n$ 為垂直於繩索、沿質點運動方向的單位向量。隨 $	heta$ 增加，繩索方向轉動，且繩長變化滿足 $$ \dot L=-R\dot	heta $$ 質點的位置可寫成「圓柱切點位置加上繩長 $L$ 沿繩索方向」。對時間微分後，切點沿繩索方向的速度項與繩長變化項相消，得到質點速度大小 $$ v=L\dot	heta $$ 張力垂直於速度，故速率不變： $$ v=L\dot	heta=v0 $$

Question 3

如圖所示，有一 $1\ \mathrm{kg}$ 質量之圓球 $A$ 在水平面上以 $10\ \mathrm{m/s}$ 之速度，撞擊一長 $2\ \mathrm{m}$ 、質量 $4\ \mathrm{kg}$ 之靜止桿件 $B$ 。

若撞擊後球黏著於桿件上（即恢復係數為 $0$ ），試求撞擊後桿件之角速度。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查完全非彈性碰撞下的動量守恆與角動量守恆。球黏在桿件上，碰撞後兩者具有相同角速度；碰撞過程的動能不守恆。 圖示球撞擊桿件下端。取碰撞前球心所在的高度為 $y=0$，桿長 $2\ \mathrm{m}$，其質心在 $y=1\ \mathrm{m}$。碰撞期間忽略外界對系統的水平衝量與角衝量，因此可對「球＋桿件」系統使用動量守恆及角動量守恆。 解題方法 先由線動量守恆求碰撞後系統質心速度，再以系統質心為轉軸使用角動量守恆求角速度。 總質量為 $1+4=5\ \mathrm{kg}$，碰撞前總水平動量為 $1(10)=10\ \mathrm{kg\cdot m/s}$，故碰撞後質心速度為 $$ VG=\frac{10}{5}=2\ \mathrm{m/s} $$ 碰撞後系統質心距球所在的碰撞高度為 $$ yG=\frac{(1)(0)+(4)(1)}{5}=0.8\ \mathrm{m} $$ 以系統質心為基準，碰撞前球的角動量大小為

Question 4

如圖所示之鋼軸（$G=75\ \mathrm{GPa}$）由直徑為 $80\ \mathrm{mm}$ 之實心圓桿所組成。軸 $B$ 端為完全固定，而 $A$ 端有 $0.005\ \mathrm{rad}$ 之餘隙，即可自由轉動 $0.005\ \mathrm{rad}$ 後就固定。 軸上 $C$、$D$ 處分別承受圖中所示之外加扭矩，且於 $D$ 點處承受 $750\ \mathrm{N\cdot m}$ 之外加扭矩，試求軸內之最大扭轉剪應力。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查圓軸扭轉、端部間隙造成的接觸反力，以及以扭轉角相容條件求解超靜定反力。實心圓軸的極慣性矩與剪應力為 $$ J=\frac{\pi d^4}{32}, \qquad 	au{\max}=\frac{T{\max}c}{J} =\frac{16T{\max}}{\pi d^3}. $$ 軸的扭轉角關係為 $	heta=TL/(GJ)$。A 端的間隙未閉合時沒有支承反力；接觸後，A 端反力須使端部轉角符合間隙的 $0.005\ \mathrm{rad}$。 解題方法 依圖中方向，取 C 點的 $4\ \mathrm{kN\cdot m}$ 為正，D 點圖示的 $2\ \mathrm{kN\cdot m}$ 為反向。題幹未標示 D 點另加 $750\ \mathrm{N\cdot m}$ 的方向，以下假設它與 D 點圖示的 $2\ \mathrm{kN\cdot m}$ 同向，因此 D 點合扭矩為 $-2.75\ \mathrm{kN\cdot m}$。各段長度均為 $0.6\ \mathrm m$。 先計算軸的扭轉剛度： $$ J=\frac{\pi(0.08)^4}{32} =4.021	imes10^{-6}\ \mathrm{m^4}, \qquad GJ=(75	imes10^9)J =3.016	imes10^5\ \mathrm{N\cdot m^2}. $$ 若 A 端尚未接觸，A 至 C 段沒有扭矩；C 至 D 段承受 $4\ \mathrm{kN\cdot m}$，D 至 B 段承受兩外加扭矩的合值 $1.25\ \mathrm{kN\cdot m}$。因此自由端轉角大小為

Question 5

如圖，吊架吊掛重物 $C$ 質量為 $500\ \mathrm{kg}$，其中桿件 $AB$ 為鋼製（$E=207\ \mathrm{GPa}$）之實心圓截面，且設計時針對預防挫曲（buckling）失效的安全係數為 $2.0$，試求此桿件設計時所需之直徑。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查桿件的軸向力與 Euler 挫屈。桿件 $AB$ 兩端以銷接，視為兩端鉸接的長柱，故有效長度係數 $K=1$。安全係數定義為 $$ n=\frac{P{\mathrm{cr}}}{P{AB}} $$ 其中 $P{\mathrm{cr}}$ 為臨界挫屈載重，$P{AB}$ 為桿件承受的軸向壓力。 解題方法 先在吊點 $A$ 列平衡方程，求出 $AB$ 的軸向壓力。圖示 $AB$ 與水平夾角為 $60^\circ$，拉索 $AD$ 與鉛直夾角為 $45^\circ$。令拉索張力為 $T$，桿件壓力為 $P{AB}$，重物重量為 $$ W=mg=500(9.81)=4905\ \mathrm{N} $$ 取水平、垂直方向平衡： $$ \sum Fx=0:\quad P{AB}\cos60^\circ-T\sin45^\circ=0 $$ $$ \sum Fy=0:\quad P{AB}\sin60^\circ-T\cos45^\circ-W=0 $$ 由水平平衡得 $T=P{AB}\cos60^\circ/\sin45^\circ$。代入垂直平衡，且 $\cos45^\circ=\sin45^\circ$： $$ P{AB}(\sin60^\circ-\cos60^\circ)=W $$

111 高普考高考三級機械工程工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）考古題詳解

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