111 高普考高考三級 機械工程 自動控制 考古題詳解

核心觀念

1. 拉氏轉換與反轉換（Laplace Transform & Inverse Transform）：

• 常用轉換對： $\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1, \quad \mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}, \quad \mathcal{L}\{e^{-at}\} = \frac{1}{s+a}$ $\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2+\omega^2}, \quad \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
• 部分分式展開法（Partial Fraction Expansion）求解時域響應。

2. 系統極點位置與暫態模態（Poles and System Modes）：

• 系統特徵根（極點）決定了系統固有模態（Natural Modes）。
• 若極點落在虛軸（$j\omega$ 軸，即 $s = \pm j\omega$），對應無阻尼（阻尼比 $\zeta = 0$）之等幅簡諧震盪模態；因其實部為零，振幅不隨時間衰減，屬於臨界穩定（Marginally Stable）。

3. 極零點相消（Pole-Zero Cancellation）：

• 當輸入訊號之拉氏轉換 $R(s)$ 所包含的零點（Zeros），恰好與受控系統 $G(s)$ 的虛軸極點完全相同時，兩者在輸出 $C(s) = G(s)R(s)$ 中相互抵消。
• 該虛軸震盪模態無法被輸入激發（Unexcited Mode），輸出響應中即不會出現任何正弦或餘弦震盪項。

解題方法

（一）當輸入 $r(t) = \delta(t)$

1. 求輸出之拉氏變換 $C(s)$： 輸入之拉氏轉換為 $R(s) = \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$。 輸出為： $C(s) = G(s)R(s) = \frac{3}{(s^2+1)(s+3)}$

2. 部分分式展開： 假設： $C(s) = \frac{A}{s+3} + \frac{Bs + D}{s^2+1}$ 利用覆蓋法求係數 $A$： $A = \left. \frac{3}{s^2+1} \right|_{s=-3} = \frac{3}{(-3)^2+1} = \frac{3}{10}$ 通分比對分子係數： $A(s^2+1) + (Bs+D)(s+3) = 3$ $\left(A + B\right)s^2 + \left(3B + D\right)s + \left(A + 3D\right) = 3$ 代入 $A = \frac{3}{10}$：

• $s^2$ 項係數：$\frac{3}{10} + B = 0 \implies B = -\frac{3}{10}$
• $s^1$ 項係數：$3B + D = 0 \implies D = -3B = \frac{9}{10}$
• 常數項驗算：$A + 3D = \frac{3}{10} + 3\left(\frac{9}{10}\right) = \frac{30}{10} = 3$（符合）

展開式改寫為標準反轉換形式： $C(s) = \frac{3}{10} \frac{1}{s+3} - \frac{3}{10} \frac{s}{s^2+1} + \frac{9}{10} \frac{1}{s^2+1}$

3. 反拉氏轉換求時域響應 $c(t)$： 對各項取反拉氏轉換，得： $c(t) = \left[ \frac{3}{10}e^{-3t} - \frac{3}{10}\cos(t) + \frac{9}{10}\sin(t) \right] u(t)$ （亦可將正餘弦項合成：$-\frac{3}{10}\cos(t) + \frac{9}{10}\sin(t) = \frac{3\sqrt{10}}{10}\sin(t - \phi)$，其中 $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$）。

4. 輸出「振個不停」之原因說明：

• 轉移函數 $G(s)$ 具有一對位於虛軸上的共軛極點 $s = \pm j1$。
• 虛軸極點之實部為零（衰減指數 $\sigma = 0$），阻尼比 $\zeta = 0$。
• 單位脈衝輸入激發了系統所有的固有模態，在時域中產生角頻率 $\omega = 1\text{ rad/s}$ 的持續等幅簡諧震盪項（$-\frac{3}{10}\cos(t) + \frac{9}{10}\sin(t)$）。該振幅不隨時間遞減，故輸出會振個不停。

（二）當輸入 $r(t) = \delta(t) + t$

核心觀念

本題考查單位負回授系統的閉迴路特徵方程、二階標準形式、Routh–Hurwitz 穩定判據，以及單位步階輸入的穩態誤差。

單位負回授下，閉迴路特徵方程為 $1+L(s)=0$，其中 $L(s)$ 是開迴路傳遞函數。二階特徵方程可與

比較，求得自然角頻率 $\omega_n$ 與阻尼比 $\zeta$。

（一）$p=z$ 時的穩定條件、自然頻率與安定時間

$p=z$ 時，控制器的零點與極點相消：

因此開迴路傳遞函數為

閉迴路特徵方程為

二階系統穩定須滿足特徵方程係數皆為正，因此

與標準二階形式比較：

所以

題目稱自然頻率為 Hz 時，須區分角頻率與頻率：$\omega_n$ 的單位是 rad/s；換算成 Hz 的自然頻率為

依題目指定的安定時間公式：

（二）$z=1,\ p=2$ 時的穩定條件

此時開迴路傳遞函數為

閉迴路特徵方程：

展開得

核心觀念

本題評量經典控制理論中「伊凡思（Evans）根軌跡法（Root-Locus Method）」的核心原理與作圖法則：

1. 閉迴路特徵方程式與增益關係：單位負回授系統的閉迴路特徵方程式為 $1 + KG(s) = 0$，增益可表示為複數頻率 $s$ 的函數 $K(s) = -\frac{1}{G(s)}$。
2. 重根與分離／重合點（Breakaway/Break-in Points）之本質：閉迴路極點出現重根的位置，對應增益 $K$ 對 $s$ 的極值點，即滿足 $\frac{dK}{ds} = 0$。透過微分連鎖律可直接導引出 $\frac{dG(s)}{ds} = 0$。
3. 根軌跡基本幾何特性：

• 極點數 $n$ 與零點數 $m$ 之差決定漸近線數量（本題 $n-m=0$，無延伸至無限遠處之漸近線）。
• 實軸上的根軌跡判定準則：該區間右側之「開迴路實數極點與零點總數」為奇數。
• 具對稱性質之複數平面軌跡形狀（兩極點、兩零點且全在實軸上時，複數平面軌跡為圓弧）。

解題方法

（一）證明求解方程式 $\frac{d}{ds}G(s)=0$ 之正確性

1. 建立閉迴路特徵方程式： 對於開迴路轉移函數為 $KG(s)$ 的單位負回授系統，其閉迴路轉移函數為： $T(s) = \frac{KG(s)}{1 + KG(s)}$ 閉迴路極點滿足特徵方程式： $1 + KG(s) = 0$

2. 將增益 $K$ 表示為 $s$ 的函數： $K(s) = -\frac{1}{G(s)}$

3. 分離／重合點的數學定義： 根軌跡上的分離點（Breakaway point）與重合點（Break-in point）代表特徵方程式在特定增益 $K$ 下具有「重根（multiple roots）」。 依據重根的充要條件，特徵方程式 $F(s, K) = 1 + KG(s) = 0$ 及其對 $s$ 的偏微分皆必須為零，亦即在該點滿足： $\frac{dK}{ds} = 0$

4. 對 $K(s)$ 進行微分推導： 利用商法則或連鎖律對 $s$ 微分： $\frac{dK}{ds} = \frac{d}{ds}\left(-\frac{1}{G(s)}\right) = - \left( -\frac{1}{[G(s)]^2} \frac{dG(s)}{ds} \right) = \frac{1}{[G(s)]^2} \frac{dG(s)}{ds}$

5. 結論推導： 在有限複數平面上的分離／重合點處，極點既非開迴路極點（$G(s) \to \infty$）亦非開迴路零點（$G(s) = 0$），故 $0 < |G(s)| < \infty$。 因此，欲使 $\frac{dK}{ds} = 0$，其充要條件即為分子項為零： $\frac{d}{ds}G(s) = 0$ 得證該求解方程式正確。

（二）求開迴路轉移函數之極零點

給定轉移函數： $G(s) = \frac{s^2+s}{s^2+7s+12}$

1. 因式分解分子多項式（求解開迴路零點 $z_i$）： $s^2 + s = s(s + 1) = 0 \implies s = 0, \quad s = -1$ 故開迴路零點共有 $2$ 個： $z_1 = 0, \quad z_2 = -1$

2. 因式分解分母多項式（求解開迴路極點 $p_i$）： $s^2 + 7s + 12 = (s + 3)(s + 4) = 0 \implies s = -3, \quad s = -4$ 故開迴路極點共有 $2$ 個： $p_1 = -3, \quad p_2 = -4$

（三）繪製閉迴路極點根軌跡圖

1. 根軌跡分支數與起迄點：

• 極點數 $n = 2$、零點數 $m = 2$。
• 根軌跡共有 $2$ 條分支。
• 分支起始於 $K=0$ 之極點 $s = -3, -4$，並終止於 $K \to \infty$ 之有限零點 $s = 0, -1$。
• 漸近線數目為 $n - m = 2 - 2 = 0$，無趨近於無限遠處的漸近線。

2. 實軸上的根軌跡區間判定： 將開迴路極點與零點由右至左依序排列於實軸：$0, -1, -3, -4$。 實軸上某點若在其右側的極點與零點總數為奇數，則該點屬於根軌跡：

• 區間 $[-1, 0]$：其右側包含 $s=0$（共 1 個），屬於根軌跡。
• 區間 $[-4, -3]$：其右側包含 $s=0, -1, -3$（共 3 個），屬於根軌跡。
• 區間 $(-\infty, -4)$、$(-3, -1)$、$(0, \infty)$：其右側點數皆為偶數，不屬於根軌跡。

3. 複數軌跡幾何形狀推導（證明複數軌跡為圓形）： 特徵方程式為： $(s^2+7s+12) + K(s^2+s) = 0 \implies (1+K)s^2 + (7+K)s + 12 = 0$ 令複數共軛根為 $s = \sigma \pm j\omega$（其中 $\omega \neq 0$）：

• 根的和：$2\sigma = -\frac{7+K}{1+K} \implies K(2\sigma+1) = -(2\sigma+7) \implies 1+K = \frac{-6}{2\sigma+1}$
• 根的積：$\sigma^2 + \omega^2 = \frac{12}{1+K} = 12 \cdot \frac{2\sigma+1}{-6} = -4\sigma - 2$ 移項整理： $\sigma^2 + 4\sigma + 4 + \omega^2 = 2 \implies (\sigma + 2)^2 + \omega^2 = 2$ 此幾何方程式為以 $(-2, 0)$ 為圓心、半徑 $R = \sqrt{2} \approx 1.414$ 的圓方程式。

核心觀念

本題旨在測驗物理機械系統之動態方程式建立、拉氏轉換（Laplace Transform）以及控制系統方塊圖（Block Diagram）之階層式組合與建構。核心概念與公式包含：

1. 牛頓第二運動定律： 在零初始條件下，力與加速度／速度之動態關係為： $f(t) = M \frac{dv(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{L}} F(s) = M s V(s)$
2. 微積分之拉氏轉換性質： 位移微分為速度，速度積分為位移： $v(t) = \frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{L}} V(s) = s X(s) \iff X(s) = \frac{1}{s} V(s)$
3. 方塊圖之基本組成元素：

• 方塊（Block）：表示系統或子系統之轉移函數 $G(s) = \frac{\text{輸出}(s)}{\text{輸入}(s)}$。
• 相加點／相減點（Summing Junction）：表示信號之代數加減運算，進入點必須清楚標明正負號（$+$ 或 $-$）。
• 分歧點／引出點（Pickoff Point）：將同一輸出信號引導至不同路徑（如回授迴路）。

解題方法

（一）施力 $F(s)$ 與質量速度 $V(s)$ 間之方塊圖

1. 物理方程式與拉氏轉換： 質量受淨力 $F(s)$ 作用產生加速度，由牛頓第二定律可得： $F(s) = M \cdot A(s) = M \cdot s V(s)$
2. 轉移函數： 以輸入為施力 $F(s)$、輸出為速度 $V(s)$： $\frac{V(s)}{F(s)} = \frac{1}{Ms}$
3. 方塊圖表示： 輸入信號 $F(s)$ 進入轉移函數方塊 $\frac{1}{Ms}$，輸出為 $V(s)$。

graph LR
 F["F(s)"] --> B["1 / (Ms)"]
 B --> V["V(s)"]

（二）總合施力 $R(s)$ 與質量速度 $V(s)$ 間之方塊圖

1. 力平衡方程式： 依題意，施加於質量之淨力 $F(s)$ 為總合施力 $R(s)$ 扣除阻尼摩擦力 $D(s)$： $F(s) = R(s) - D(s)$ 其中阻尼摩擦力與速度成正比： $D(s) = c V(s)$
2. 內迴路方塊圖架構：

• 以前端相減點將輸入總施力 $R(s)$（標示 $+$）與速度產生的阻尼阻力 $D(s) = c V(s)$（標示 $-$）相減，輸出為作用於質量的淨施力 $F(s)$。
• 淨施力 $F(s)$ 通過質量動態方塊 $\frac{1}{Ms}$ 產生速度 $V(s)$。
• 速度 $V(s)$ 經由分歧點引出，通過增益為 $c$ 的回授方塊反饋至相減點。

graph LR
 R["R(s)"] -->|"+"| Sum
 Sum -->|"F(s)"| Plant["1 / (Ms)"]
 Plant --> V["V(s)"]
 V --> Pick
 Pick -->|回授| Damp["c"]
 Damp -->|"D(s) = c V(s)"| Sum

(註：此負回授迴路經化簡後，等效閉迴路轉移函數為 $\frac{V(s)}{R(s)} = \frac{1}{Ms + c}$)

（三）質量速度 $V(s)$ 與該質量位移 $X(s)$ 間之方塊圖

1. 運動學關係式： 位移對時間微分即為速度，$v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$。在零初始條件下取拉氏轉換： $V(s) = s X(s) \implies X(s) = \frac{1}{s} V(s)$
2. 轉移函數： 以輸入為速度 $V(s)$、輸出為位移 $X(s)$： $\frac{X(s)}{V(s)} = \frac{1}{s}$
3. 方塊圖表示： 輸入信號 $V(s)$ 通過純積分器方塊 $\frac{1}{s}$，輸出為位移 $X(s)$。

graph LR
 V["V(s)"] --> Int["1 / s"]
 Int --> X["X(s)"]

（四）輸入電壓 $U(s)$ 與總合施力 $R(s)$ 間之方塊圖

1. 比例關係式： 依題意，總合施力 $R(s)$ 為輸入電壓 $U(s)$ 的 $k$ 倍比例放大： $R(s) = k U(s)$
2. 轉移函數： 以輸入為電壓 $U(s)$、輸出為總合施力 $R(s)$： $\frac{R(s)}{U(s)} = k$
3. 方塊圖表示： 輸入信號 $U(s)$ 經過比例增益方塊 $k$，輸出為總合施力 $R(s)$。

graph LR
 U["U(s)"] --> K["k"]
 K --> R["R(s)"]

（五）完整由位移命令 $Y(s)$ 至質量位移 $X(s)$ 之系統方塊圖

1. 主回授誤差方程式： 輸入位移命令 $Y(s)$ 與實際質量位移 $X(s)$ 之誤差即為控制電壓： $U(s) = Y(s) - X(s)$
2. 系統級聯組合步驟：

• 外迴路（主相減點）：輸入命令 $Y(s)$（標示 $+$）與位置回授 $X(s)$（標示 $-$）相減產生電壓信號 $U(s)$。
• 致動增益：$U(s)$ 通過增益方塊 $k$ 轉換為總合施力 $R(s)$。
• 內迴路（阻尼相減點）：總合施力 $R(s)$（標示 $+$）與阻尼摩擦阻力 $D(s) = c V(s)$（標示 $-$）相減得到淨力 $F(s)$。