111 高普考高考三級 機械工程 機械設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查懸臂樑固定端的彎曲正應力與扭轉剪應力組合，以及鑄鐵的最大正應力理論（Rankine 準則）。

最大正應力理論分別檢查最大主拉應力與最大主壓應力，不可只以單一等效應力判定。容許應力為

解題方法

固定端的彎矩最大，故以固定端外表面作為設計位置。彎矩與扭矩分別為

實心圓軸外表面的彎曲正應力與扭轉剪應力為

平面應力下的主應力為

令

核心觀念

本題考查實心圓軸在兩個互相垂直平面內承受彎曲、同時承受扭轉時的內力圖，以及旋轉軸的疲勞安全係數。

軸轉動時，固定方向的橫向負荷會使軸表面材料點經歷拉、壓交替，因此彎曲正應力是完全反覆應力；皮帶造成的扭矩則視為穩定扭矩，形成平均剪應力。以畸變能理論合併正應力與剪應力，再以 Goodman 準則求疲勞安全係數。

(一) 彎矩分佈圖與扭矩分佈圖

令 $x$ 自支承 $A$ 起算，則 $A,C,D,B$ 的位置依序為 $0,\ 0.4,\ 1.0,\ 1.4\ \mathrm{m}$。依圖，$C$ 處橫向力合力為 $2+5=7\ \mathrm{kN}$，$D$ 處合力為 $6+3=9\ \mathrm{kN}$，兩者方向互相垂直。

支承反力

$C$ 處的 $7\ \mathrm{kN}$ 負荷所在平面：

$D$ 處的 $9\ \mathrm{kN}$ 負荷所在平面：

彎矩圖

分別取兩個負荷平面的彎矩分量。由 $C$ 處 $7\ \mathrm{kN}$ 負荷造成的彎矩分量為

由 $D$ 處 $9\ \mathrm{kN}$ 負荷造成的彎矩分量為

各重要位置的彎矩分量與合成彎矩如下：

所以合成彎矩在 $D$ 處達最大值：

扭矩圖

$C$、$D$ 處轉輪的帶力差均為 $3\ \mathrm{kN}$，故各自造成的扭矩大小為

核心觀念

本題主要測驗螺旋壓縮彈簧（Helical Compression Spring）的尺寸幾何關係、應力分析、彈簧勁度計算與自由長度設計：

1. 彈簧幾何尺寸：平均直徑 $D = D_o - d$、平均半徑 $R = \frac{D}{2}$、彈簧指數（Spring index）$C = \frac{D}{d}$。
2. 端部形式與有效圈數：兩端簡單磨平（plain ground ends），有效圈數 $N_c = N_t - N_{inactive}$。壓實長度（Solid length）為 $L_s = d \times N_t$。
3. 剪應力條件：壓縮至壓實長度時，彈簧產生的最大扭轉剪應力 $\tau_s$ 不得超過材料剪力降伏強度 $S_{sy}$，即 $\tau_s \le S_{sy}$。
4. 自由長度與變形量關係：自由長度 $L_f$、壓實長度 $L_s$ 與壓實變形量 $y_s$ 滿足幾何關係： $L_f = L_s + y_s$ 其中 $y_s = \frac{P_s}{k}$，由限制最大剪應力所得之容許壓實負荷 $P_s$ 及彈簧常數 $k$ 決定。

解題方法

步驟一：計算基本幾何參數

• 彈簧平均直徑 $D$： $D = D_o - d = 30 - 3 = 27\ \mathrm{mm}$
• 彈簧平均半徑 $R$： $R = \frac{D}{2} = \frac{27}{2} = 13.5\ \mathrm{mm}$
• 彈簧指數 $C$： $C = \frac{D}{d} = \frac{27}{3} = 9$
• 剪應力修正係數 $K_s$（依題給公式）： $K_s = 1 + \frac{0.615}{C} = 1 + \frac{0.615}{9} \approx 1.06833$
• 有效圈數 $N_c$： $N_c = N_t - 1 = 12 - 1 = 11\ \text{圈}$

步驟二：求壓實長度 $L_s$

兩端簡單磨平（plain ground ends）之彈簧壓縮至密著（壓實）時，各圈鋼線緊密貼合，其壓實長度為： $L_s = d \times N_t = 3 \times 12 = 36\ \mathrm{mm}$

步驟三：求最大容許壓實負荷 $P_s$

當彈簧壓縮至壓實時，剪應力達到剪力降伏強度極限 $\tau_s = S_{sy} = 848\ \mathrm{MPa}$。 依題給剪應力公式： $\tau_s = K_s \frac{16 P_s R}{\pi d^3}$

整理可得最大容許之壓實負荷 $P_s$： $P_s = \frac{\pi d^3 S_{sy}}{16 K_s R}$

代入數值： $P_s = \frac{\pi \times 3^3 \times 848}{16 \times 1.06833 \times 13.5} = \frac{71930.26}{230.76} \approx 311.71\ \mathrm{N}$

核心觀念

本題考查偏心負載下的銲道群強度。外力 $F$ 造成兩種剪力：

1. 直接剪力：由兩道銲道共同承受，平均分布。
2. 偏心力矩引起的剪力：外力作用線與銲道群形心有距離，造成銲道群扭轉；各處剪力大小與到形心的距離成正比。

填角銲的有效喉厚為 $a=0.707s$，其中 $s$ 為銲腳尺寸。銲道某處的剪應力，等於該處單位長度剪力除以有效喉厚。

解題方法

由圖可知，兩道銲道長度均為 $L=50\ \mathrm{mm}$，上下銲道中心距為 $h=50\ \mathrm{mm}$。外力距銲接端面 $150\ \mathrm{mm}$；兩道銲道沿板長方向分布 $50\ \mathrm{mm}$，其形心距銲接端面 $25\ \mathrm{mm}$。因此，外力作用線至銲道群形心的偏心距為

銲腳尺寸 $s=8\ \mathrm{mm}$，有效喉厚為

兩道銲道的總長度為 $2L=100\ \mathrm{mm}$，故直接剪力的單位長度值為

以銲道群形心為原點，兩道銲道位於 $y=\pm25\ \mathrm{mm}$，各銲道沿 $x$ 方向長 $50\ \mathrm{mm}$。銲道群的線性極二次矩為

核心觀念

本題考核機械設計中「平皮帶傳動（Flat Belt Drive）」的完整設計與力學分析，涵蓋三大核心觀念：

1. 傳動比與幾何關係：在不計滑差（slip）的理想條件下，兩輪輪緣線速度相等，轉速與半徑成反比（$r_1 n_1 = r_2 n_2$）。
2. 開口皮帶接觸角（包角，Wrap Angle）幾何計算：開口皮帶小輪之包角公式為 $\phi = \pi - 2\arcsin\left(\frac{r_2 - r_1}{c}\right)$。帶入歐拉摩擦公式時，包角必須採用弧度制（$\mathrm{rad}$）。
3. 皮帶張力與功率傳遞（含離心張力）：

• 傳遞功率與有效拉力關係：$P = (F_1 - F_2)v$。
• 臨界滑動條件下之緊邊與鬆邊張力比（考量皮帶質量之歐拉皮帶公式）： $\frac{F_1 - F_c}{F_2 - F_c} = e^{\mu \phi}$ 其中離心張力 $F_c = m v^2 = \frac{w}{g} v^2$。

解題方法

(一) 求被動輪 $B$ 的半徑 $r_2$

在無滑動運轉下，主動輪 $A$ 與被動輪 $B$ 表面之線速度相等： $v = r_1 \omega_1 = r_2 \omega_2$

因角速度與轉速成正比（$\omega = \frac{2\pi n}{60}$），故： $r_1 n_1 = r_2 n_2$

將已知數值代入： $r_2 = r_1 \cdot \frac{n_1}{n_2} = 37.5\ \mathrm{mm} \times \frac{2500\ \mathrm{rpm}}{1000\ \mathrm{rpm}} = 93.75\ \mathrm{mm}$

(二) 求主動輪 $A$ 被皮帶所包覆的角度 $\phi$

本題兩平行軸由平皮帶連接，依常規為開口皮帶配置。設中心線與皮帶切線夾角為 $\alpha$，則： $\sin\alpha = \frac{r_2 - r_1}{c} = \frac{93.75\ \mathrm{mm} - 37.5\ \mathrm{mm}}{625\ \mathrm{mm}} = \frac{56.25}{625} = 0.09$

求得傾角 $\alpha$： $\alpha = \arcsin(0.09) \approx 5.1635^\circ \approx 0.09012\ \mathrm{rad}$

主動輪 $A$（小輪）的包角 $\phi$ 為： $\phi = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2(5.1635^\circ) = 169.67^\circ$

換算為弧度制（$\mathrm{rad}$）： $\phi = \pi - 2(0.09012) \approx 2.961\ \mathrm{rad}$

(三) 求運轉時皮帶的緊邊張力 $F_1$ 和鬆邊張力 $F_2$

Step 1：計算皮帶線速度 $v$ 主動輪 $A$ 的半徑 $r_1 = 37.5\ \mathrm{mm} = 0.0375\ \mathrm{m}$，轉速 $n_1 = 2500\ \mathrm{rpm}$： $v = r_1 \cdot \frac{2\pi n_1}{60} = 0.0375 \times \frac{2\pi \times 2500}{60} = \frac{25\pi}{8} \approx 9.8175\ \mathrm{m/s}$

Step 2：計算有效傳動拉力差 $(F_1 - F_2)$ 馬達輸出功率 $P = 1.5\ \mathrm{kW} = 1500\ \mathrm{W}$： $P = (F_1 - F_2) v \implies F_1 - F_2 = \frac{P}{v} = \frac{1500}{9.8175} \approx 152.79\ \mathrm{N}$