113 高普考高考三級 機械工程 機械設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查軸件在變動拉伸負載下的平均應力、應力振幅、第一循環降伏與 Gerber 疲勞安全係數。

負載在 $0$ 到 $70\ \mathrm{kN}$ 間變動，因此載荷比為 $R=0$。名目應力由軸的截面積計算，再乘上題給的應力集中因子 $K_t=1.85$，得到局部應力。以下將此應力集中因子視為同時適用於平均應力與應力振幅。

解題方法

軸的截面積為

$$A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(40\ \mathrm{mm})^2}{4} =1256.64\ \mathrm{mm^2}$$

最大名目拉伸應力：

$$\sigma_{\max,\mathrm{nom}} =\frac{P_{\max}}{A} =\frac{70\,000\ \mathrm{N}}{1256.64\ \mathrm{mm^2}} =55.70\ \mathrm{MPa}$$

因為 $1\ \mathrm{N/mm^2}=1\ \mathrm{MPa}$，乘上應力集中因子後，局部最大應力為

$$\sigma_{\max}=K_t\sigma_{\max,\mathrm{nom}} =1.85(55.70)=103.05\ \mathrm{MPa}$$

最低負載為零，所以 $\sigma_{\min}=0$。因此局部平均應力與應力振幅分別為

$$\sigma_m=\frac{\sigma_{\max}+\sigma_{\min}}{2} =\frac{103.05+0}{2} =51.53\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_a=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2} =\frac{103.05-0}{2} =51.53\ \mathrm{MPa}$$

第一循環降伏

第一循環降伏安全係數以降伏強度除以初次加載時的局部最大應力：

核心觀念

螺桿千斤頂頂起重物時，重物對螺桿施加軸向壓縮力；操作手柄所施加的力矩則使螺桿承受扭矩。螺桿因此同時受軸向壓縮與扭轉剪力，螺桿核心截面是檢核強度的主要位置。

此外，螺紋牙側傳遞軸向負荷，會有承壓應力；螺紋根部也須承受剪應力。若螺桿端部有止推環或承載肩部，接觸面還會承受承壓應力。

以下以軸向負荷為 $W$、螺桿核心直徑為 $d_c$、螺紋中徑為 $d_m$、導程為 $l$、螺紋摩擦係數為 $\mu$ 說明。假設負荷置中、螺紋為單線方形螺紋，且螺紋牙負荷平均分配；實際螺紋的負荷分配並不均勻。

應力分布與計算

 重物
 ┌────────┐
 └───┬────┘
 ↓ W
 ┌─────┴─────┐
 │ 螺桿頭／肩部│ ← 接觸面承壓
 └─────┬─────┘
 │
 手柄施加扭矩 T ↻ │ 螺桿核心：軸向壓縮＋扭轉剪應力
 │ 直徑 dc
 固定螺帽 ╔══╪══╗
 螺紋牙側承壓、根部剪切╚══╪══╝
 │
 ┌─────┴─────┐
 │ 底座 │
 └───────────┘

1. 螺桿核心的軸向壓縮應力

軸向負荷 $W$ 作用於螺桿核心截面，平均壓縮應力為：

$$\sigma_c=\frac{W}{A_c} =\frac{W}{\pi d_c^2/4} =\frac{4W}{\pi d_c^2}$$

方向沿螺桿軸線，性質為壓縮。

2. 螺桿核心的扭轉剪應力

提升負荷時，手柄須克服螺紋摩擦並使螺桿旋轉。方形螺紋的升載扭矩為：

$$T_s=\frac{Wd_m}{2} \left(\frac{\tan\lambda+\mu}{1-\mu\tan\lambda}\right)$$

其中螺旋升角 $\lambda$ 為：

$$\tan\lambda=\frac{l}{\pi d_m}$$

若螺桿支承面另有止推環摩擦，還須將止推環摩擦扭矩加到螺紋扭矩上。止推環平均直徑為 $d_b$、摩擦係數為 $\mu_b$ 時：

$$T_b=\frac{\mu_b Wd_b}{2}, \qquad T=T_s+T_b$$

螺桿核心的最大扭轉剪應力發生在外表面：

$$\tau_{\max}=\frac{Tc_c}{J} =\frac{16T}{\pi d_c^3}$$

其中 $c_c=d_c/2$，圓截面的極慣性矩為 $J=\pi d_c^4/32$。若題目忽略止推環摩擦，則取 $T=T_s$。

3. 螺桿核心的組合應力

螺桿核心同時承受軸向壓縮與扭轉剪應力，不能只以其中一項代表其受力狀態。依平面應力狀態，最大剪應力為：

核心觀念

螺旋壓縮彈簧在材料、線徑與圈數等條件相同時，彈簧常數 $k$ 與有效長度（或有效圈數）成反比。彈簧剪短後，各段的彈簧常數會依長度比例增加。

組合時：

• 並聯：各彈簧承受相同變形，總彈簧常數相加。
• 串聯：各彈簧承受相同荷重，總變形相加，因此總彈簧常數的倒數相加。

解題方法

原彈簧長度分成 $1:1:2$ 三段，總比例為 $4$。兩個短段各為原長度的 $\frac14$，長段為原長度的 $\frac12$。

由於彈簧常數與長度成反比，剪短後的彈簧常數為：

$$k_{\text{短}}=400\left(\frac{1}{1/4}\right)=1600\ \mathrm{N/mm}$$

核心觀念

本題考螺紋規格的標示方式、英制與公制尺寸換算，以及以螺栓外徑和螺栓孔徑判斷更換規格的適配性。

英制螺紋標示中的第一個數字是公稱外徑（英吋），連字號後的數字是每英吋牙數（TPI）。公制螺紋以 $M$ 表示公制螺紋，數字為公稱外徑（毫米），乘號後的數字為螺距（毫米）。

解題方法

先將英制螺栓公稱外徑換算為毫米，再比較三種規格的外徑與螺栓孔徑 $13\ \mathrm{mm}$。牙距則用來說明各螺紋規格的差異；更換時仍須確認螺栓與原螺帽或內螺紋的牙型與螺距相容。

英吋換算毫米採用 $1''=25.4\ \mathrm{mm}$：

• $\frac{5}{8}''-11$：外徑為 $\frac{5}{8}\times25.4=15.875\ \mathrm{mm}$ 每英吋 $11$ 牙，螺距為 $\frac{25.4}{11}\approx2.309\ \mathrm{mm}$

• $\frac{7}{16}''-14$：外徑為 $\frac{7}{16}\times25.4=11.1125\ \mathrm{mm}$ 每英吋 $14$ 牙，螺距為 $\frac{25.4}{14}\approx1.814\ \mathrm{mm}$

• $M12\times1.75$：公稱外徑為 $12\ \mathrm{mm}$，螺距為 $1.75\ \mathrm{mm}$。

規格比較與更換判斷

螺栓孔徑為 $13\ \mathrm{mm}$。三種螺栓的公稱外徑與孔徑差值如下：

規格	公稱外徑	與 $13\ \mathrm{mm}$ 孔徑的差值