115 高普考高考三級 機械工程 機械設計 考古題詳解

115 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 機械設計

第 一 題25 分

圖中有一直徑為 D=25 mmD=25\ \mathrm{mm} 的金屬圓棒固定在牆上，於 y=L1=300 mmy=L_1=300\ \mathrm{mm} 處有另一直徑為 d=15 mmd=15\ \mathrm{mm} 的圓柱型把手。

假設把手的剛性遠大於金屬圓棒，不需要考慮其材料變形的問題。於把手末端 CC 處（z=L2=200 mmz=L_2=200\ \mathrm{mm}）施予一朝向負 xx 方向的外力 F=1500 NF=1500\ \mathrm{N}，試問在金屬圓棒 AA 處「分析位置」：

(一) 第一主應力 S1S_1 有多大？（6 分）

(二) 第二主應力 S2S_2 有多大？（6 分）

(三) 最大剪應力 τmax⁡\tau_{\max} 有多大？（6 分）

(四) 若材料的蒲松比（Poisson’s Ratio）為 0.40.4，基於最大應變能（Maximum Strain Energy）模型，若希望達到安全係數 1.21.2，請問金屬圓棒的降伏強度至少要多大？（7 分）

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核心觀念

金屬圓棒軸線沿 yy 軸，外力 FF 作用於把手末端 CC，因此在圓棒分析截面 AA 產生：

  1. 由 L1L_1 造成的彎矩 M=FL1M=FL_1

  2. 由 L2L_2 造成的扭矩 T=FL2T=FL_2

圓棒外表面同時承受彎曲正應力與扭轉剪應力，再利用平面應力下的主應力公式求解。

解題方法

1. 截面所受彎矩與扭矩

M=FL1=(1500)(300)=450000 N⋅mmM=FL_1=(1500)(300)=450000\ \mathrm{N\cdot mm}

T=FL2=(1500)(200)=300000 N⋅mmT=FL_2=(1500)(200)=300000\ \mathrm{N\cdot mm}

圓棒直徑：

D=25 mmD=25\ \mathrm{mm}

圓棒截面慣性矩與極慣性矩為

I=πD464,J=πD432I=\frac{\pi D^4}{64},\qquad J=\frac{\pi D^4}{32}

2. 最大彎曲正應力

圓棒外表面彎曲正應力為

σ=McI=32MπD3\sigma=\frac{Mc}{I} =\frac{32M}{\pi D^3}

代入數值：

σ=32(450000)π(25)3=293.35 MPa\sigma =\frac{32(450000)}{\pi(25)^3} =293.35\ \mathrm{MPa}

在彎曲受拉側取正值 σ=293.35 MPa\sigma=293.35\ \mathrm{MPa}。

3. 最大扭轉剪應力

圓棒外表面扭轉剪應力為

τ=TcJ=16TπD3\tau=\frac{Tc}{J} =\frac{16T}{\pi D^3}

因此

τ=16(300000)π(25)3=97.78 MPa\tau =\frac{16(300000)}{\pi(25)^3} =97.78\ \mathrm{MPa}

（一）第一主應力 S1S_1

外表面可視為平面應力狀態：

σx=σ,τxy=τ,σy=0\sigma_x=\sigma,\qquad \tau_{xy}=\tau,\qquad \sigma_y=0

主應力為

S1,3=σ2±(σ2)2+τ2S_{1,3} =\frac{\sigma}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2+\tau^2}

代入：

S1=293.352+(293.352)2+(97.78)2S_1 = \frac{293.35}{2} + \sqrt{\left(\frac{293.35}{2}\right)^2+(97.78)^2} S1=322.96 MPa\boxed{S_1=322.96\ \mathrm{MPa}}

（二）第二主應力 S2S_2

外表面為平面應力狀態，因此另一個主應力為零：

S2=0 MPa\boxed{S_2=0\ \mathrm{MPa}}

完整主應力排列為

S1=322.96 MPa,S2=0,S3=−29.61 MPaS_1=322.96\ \mathrm{MPa},\qquad S_2=0,\qquad S_3=-29.61\ \mathrm{MPa}

其中

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第 二 題25 分

有一直徑為 15 mm15\ \mathrm{mm} 的圓棒之兩端分別固定於軸承上，如圖所示，L=1000 mmL=1000\ \mathrm{mm}，外力 F=500 NF=500\ \mathrm{N}，圓棒等速旋轉中。

圓棒材料的降伏強度為 350 MPa350\ \mathrm{MPa}、極限抗拉強度（Ultimate Tensile Strength）為 500 MPa500\ \mathrm{MPa}、耐久限（Endurance Limit）為 250 MPa250\ \mathrm{MPa}，請使用下列方法計算疲勞安全係數：

(一) 降伏線（Yield Line）（7 分）

(二) Goodman 模型（9 分）

(三) Soderberg 模型（9 分）

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核心觀念

圓棒兩端由軸承支承，外力 FF 作用於距左端 L/3L/3 處。由於圓棒等速旋轉，固定空間方向的彎曲載重會使圓棒表面任一材料點依序承受拉應力與壓應力，因此形成：

  • 平均應力：σm=0\sigma_m=0
  • 交變應力：σa=σmax⁡\sigma_a=\sigma_{\max}

先求最大彎矩，再以圓棒外表面的彎曲應力代入三種疲勞準則。

一、最大彎矩與彎曲應力

1. 支承反力

設左、右軸承反力分別為 RAR_A、RBR_B。

RA+RB=500R_A+R_B=500

以左端取力矩：

RBL=F(L3)R_B L=F\left(\frac{L}{3}\right) RB=500(13)=166.67 NR_B=500\left(\frac{1}{3}\right)=166.67\ \mathrm{N}

因此

RA=500−166.67=333.33 NR_A=500-166.67=333.33\ \mathrm{N}

2. 最大彎矩

集中力作用處為最大彎矩位置：

Mmax⁡=RA(L3)M_{\max}=R_A\left(\frac{L}{3}\right) Mmax⁡=333.33(10003)=111111.1 N⋅mmM_{\max}=333.33\left(\frac{1000}{3}\right) =111111.1\ \mathrm{N\cdot mm}

3. 最大彎曲應力

實心圓棒的彎曲應力為

σ=McI\sigma=\frac{Mc}{I}

其中

c=d2,I=πd464c=\frac{d}{2},\qquad I=\frac{\pi d^4}{64}

故

σmax⁡=32Mmax⁡πd3\sigma_{\max} =\frac{32M_{\max}}{\pi d^3}

代入 d=15 mmd=15\ \mathrm{mm}：

σa=σmax⁡=32(111111.1)π(15)3\sigma_a=\sigma_{\max} =\frac{32(111111.1)}{\pi(15)^3} σa=335.1 MPa\boxed{\sigma_a=335.1\ \mathrm{MPa}}

由旋轉彎曲的完全反覆特性：

σm=0\boxed{\sigma_m=0}

應力範圍為

σmax⁡=+335.1 MPa,σmin⁡=−335.1 MPa\sigma_{\max}=+335.1\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{\min}=-335.1\ \mathrm{MPa}

（一）降伏線 Yield Line

解題方法

降伏線準則可寫成

σaSy+σmSy=σa+σmSy=1n\frac{\sigma_a}{S_y}+\frac{\sigma_m}{S_y} =\frac{\sigma_a+\sigma_m}{S_y} =\frac{1}{n}

本題因為 σm=0\sigma_m=0，所以

ny=Syσan_y=\frac{S_y}{\sigma_a}

代入 Sy=350 MPaS_y=350\ \mathrm{MPa}：

ny=350335.1n_y=\frac{350}{335.1} ny=1.04\boxed{n_y=1.04}

此結果表示依降伏條件計算，安全係數略大於 11。

（二）Goodman 模型

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第 三 題25 分

使用直徑 5 mm5\ \mathrm{mm} 的金屬線纏繞數圈以製作一螺旋彈簧，期望該彈簧受到外力 1 N1\ \mathrm{N} 時會伸長 1 cm1\ \mathrm{cm}。該材料的楊氏係數為 250 MPa250\ \mathrm{MPa}、剪力模數為 200 MPa200\ \mathrm{MPa}，請回答下列問題：

(一) 若纏繞圈數為 4 圈（不考慮彈簧兩端的掛勾長度），此螺旋彈簧的最外徑應該為多少？（9 分）

(二) 延續(一)，該彈簧受到 30 N30\ \mathrm{N} 外力時，材料沿著外力方向受到多少剪應力？（8 分）

(三) 延續(二)，受到多少扭轉剪應力？（8 分）

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核心觀念

本題考查圓線螺旋彈簧的軸向變形，以及彈簧線材所受的直接剪應力與扭轉剪應力。設線材直徑為 dd、平均圈徑為 DD、有效圈數為 NN、軸向負荷為 FF，剪力模數為 GG，密圈螺旋彈簧的軸向伸長量為

δ=8FD3NGd4\delta=\frac{8FD^3N}{Gd^4}

彈簧線材承受軸向負荷時，會有直接剪力與扭矩兩種效應。直接剪應力為 τdirect=F/A\tau_{\mathrm{direct}}=F/A；扭矩由彈簧負荷對線材中心軸形成，其扭轉剪應力為 τtorsion=16T/(πd3)\tau_{\mathrm{torsion}}=16T/(\pi d^3)。本題依一般基礎公式計算，不另加曲率或應力修正係數。

解題方法

已知 d=5 mmd=5\ \mathrm{mm}、N=4N=4、F=1 NF=1\ \mathrm{N} 時伸長 δ=1 cm=10 mm\delta=1\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{mm}，且 G=200 MPa=200 N/mm2G=200\ \mathrm{MPa}=200\ \mathrm{N/mm^2}。楊氏係數 EE 不用於本題採用的螺旋彈簧伸長公式。

（一）求彈簧最外徑

先由伸長公式解出平均圈徑 DD：

D3=δGd48FN=(10)(200)(54)8(1)(4)=39062.5 mm3D^3=\frac{\delta Gd^4}{8FN} =\frac{(10)(200)(5^4)}{8(1)(4)} =39062.5\ \mathrm{mm^3} D=39062.53≈33.91 mmD=\sqrt[3]{39062.5}\approx 33.91\ \mathrm{mm}

最外徑等於平均圈徑加上線材直徑：

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第 四 題25 分

圖中有一皮帶以交叉式纏繞兩個皮帶輪，小皮帶輪的直徑為 150 mm150\ \mathrm{mm}，大皮帶輪的直徑為 200 mm200\ \mathrm{mm}，兩個皮帶輪中心間的距離為 600 mm600\ \mathrm{mm}，皮帶在直線段保持緊繃。請問：

(一) 皮帶與小皮帶輪之間的接觸角度。（6 分）

(二) 皮帶與大皮帶輪之間的接觸角度。（6 分）

(三) 圖中纏繞好的皮帶之長度（請以切點到切點間準確長度計算）。（7 分）

(四) 若皮帶對小皮帶輪產生了 100 N⋅m100\ \mathrm{N\cdot m} 的力矩，皮帶兩端將有多少張力差？（6 分）

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核心觀念

本題考查交叉式皮帶傳動的幾何關係、皮帶輪包角、切點間直線長度，以及皮帶張力差所產生的力矩。

已知：

  • 小皮帶輪半徑：r=75 mmr=75\ \mathrm{mm}
  • 大皮帶輪半徑：R=100 mmR=100\ \mathrm{mm}
  • 軸心距：C=600 mmC=600\ \mathrm{mm}

交叉式皮帶的幾何關係為：

sin⁡θ=R+rC\sin\theta=\frac{R+r}{C}

其中 θ\theta 為皮帶直線段與兩皮帶輪中心連線的夾角。

解題方法

（一）皮帶與小皮帶輪之間的接觸角度

先求切線傾角：

θ=sin⁡−1(R+rC)=sin⁡−1(100+75600)\theta=\sin^{-1}\left(\frac{R+r}{C}\right) =\sin^{-1}\left(\frac{100+75}{600}\right) θ=sin⁡−1(175600)≈16.96∘\theta=\sin^{-1}\left(\frac{175}{600}\right) \approx 16.96^\circ

交叉式皮帶的包角為：

ϕs=180∘+2θ\phi_s=180^\circ+2\theta

因此小皮帶輪的接觸角為：

ϕs=180∘+2(16.96∘)≈213.92∘\phi_s=180^\circ+2(16.96^\circ) \approx 213.92^\circ

換算為弧度：

ϕs≈3.734 rad\phi_s\approx 3.734\ \mathrm{rad}

（二）皮帶與大皮帶輪之間的接觸角度

交叉式皮帶中，大小皮帶輪的包角相同，因此：

ϕL=180∘+2θ\phi_L=180^\circ+2\theta ϕL≈213.92∘\phi_L\approx 213.92^\circ

或：

ϕL≈3.734 rad\phi_L\approx 3.734\ \mathrm{rad}

（三）皮帶長度

1. 每一段直線皮帶長度

由直角三角形：

l=C2−(R+r)2l=\sqrt{C^2-(R+r)^2} l=6002−1752l=\sqrt{600^2-175^2} l=329375≈573.91 mml=\sqrt{329375} \approx 573.91\ \mathrm{mm}

兩段直線部分總長度為：

2l=2(573.91)=1147.82 mm2l=2(573.91)=1147.82\ \mathrm{mm}

2. 兩皮帶輪上的弧長

兩皮帶輪包角相同，且總弧長為：

s弧=RϕL+rϕss_{\text{弧}}=R\phi_L+r\phi_s
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