115 高普考高考三級 機械工程 熱力學 考古題詳解

115 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 熱力學

第 一 題25 分

總質量為 10 kg10\,\mathrm{kg} 的空氣放置於汽缸中，其中一端連接一活塞。剛開始汽缸內溫度為 20 ∘C20\,^\circ\mathrm{C}，汽缸的體積為 0.5 m30.5\,\mathrm{m^3}。當汽缸壁被均勻加熱，內部壓力保持不變，但汽缸內的體積變為 1 m31\,\mathrm{m^3}。請問：

(一) 汽缸內的壓力是多少？（7 分）

(二) 這個加熱過程，空氣做了多少功？（10 分）

(三) 最後空氣的溫度變成幾度？（8 分）

（空氣的氣體常數為 0.287 kJ/(kg⋅K)0.287\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，假設為理想氣體。）

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核心觀念

本題考查理想氣體狀態方程式與定壓膨脹邊界功。理想氣體滿足

PV=mRTPV=mRT

其中壓力 PP 以 kPa\mathrm{kPa}、體積 VV 以 m3\mathrm{m^3}、質量 mm 以 kg\mathrm{kg}、氣體常數 RR 以 kJ/(kg⋅K)\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}、溫度 TT 以 K\mathrm{K} 表示。利用 1 kPa⋅m3=1 kJ1\,\mathrm{kPa\cdot m^3}=1\,\mathrm{kJ}，方程式各項單位一致。

定壓過程的邊界功為

W1→2=∫V1V2P dV=P(V2−V1)W_{1\to2}=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV=P(V_2-V_1)

膨脹時 V2>V1V_2>V_1，空氣對外做功為正。

解題方法

（一）汽缸內的壓力

初態溫度先換算為絕對溫度：

T1=20+273.15=293.15 KT_1=20+273.15=293.15\,\mathrm{K}

由初態理想氣體狀態方程式求壓力：

P1=mRT1V1=(10)(0.287)(293.15)0.5=1683.66 kPaP_1=\frac{mRT_1}{V_1} =\frac{(10)(0.287)(293.15)}{0.5} =1683.66\,\mathrm{kPa}

題目指出加熱時壓力保持不變，因此 P2=P1P_2=P_1。

（二）空氣所做的功

定壓膨脹的邊界功為

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第 二 題25 分

如果有一個絕熱的容器，內裝有氦氣 0.8 kg0.8\,\mathrm{kg}。其起始溫度為 20 ∘C20\,^\circ\mathrm{C} 且壓力為 220 kPa220\,\mathrm{kPa}。如果使用一螺槳在容器內旋轉對氦氣做功，其輸入功率為 0.02 kW0.02\,\mathrm{kW}，進行 11 小時。請問：

(一) 最後容器內的溫度是多少？（13 分）

(二) 壓力有多大？（12 分）

（氦氣的氣體常數為 2.0769 kJ/(kg⋅K)2.0769\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，CVC_V 為 3.1156 kJ/(kg⋅K)3.1156\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，假設為理想氣體。）

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核心觀念

本題考查絕熱剛性容器中的非流動系統能量平衡，以及理想氣體狀態方程。

容器與外界沒有熱量交換，且容器剛性，邊界體積不變，因此沒有邊界功。螺槳輸入的功全部轉化為氦氣內能：

ΔU=W輸入\Delta U = W_{\text{輸入}}

氦氣視為定比熱理想氣體，內能變化為：

ΔU=mCV(T2−T1)\Delta U=mC_V(T_2-T_1)

求得末溫後，再用理想氣體狀態方程求末壓。由於容器體積與氣體質量固定，也可直接使用 P/T=定值P/T=\text{定值}。

解題方法

（一）求最後溫度

已知螺槳輸入功率為 0.02 kW0.02\,\mathrm{kW}，作用時間為 11 小時，輸入功為：

W輸入=W˙ t=(0.02 kJ/s)(3600 s)=72 kJW_{\text{輸入}}=\dot W\,t =(0.02\,\mathrm{kJ/s})(3600\,\mathrm{s}) =72\,\mathrm{kJ}

絕熱表示 Q=0Q=0；容器剛性表示邊界功為零。套用非流動系統能量平衡：

mCV(T2−T1)=W輸入mC_V(T_2-T_1)=W_{\text{輸入}}

起始溫度須換算為絕對溫度：

T1=20+273.15=293.15 KT_1=20+273.15=293.15\,\mathrm{K}

因此：

T2=T1+W輸入mCV=293.15+72(0.8)(3.1156)=322.03 KT_2=T_1+\frac{W_{\text{輸入}}}{mC_V} =293.15+\frac{72}{(0.8)(3.1156)} =322.03\,\mathrm{K}

換算為攝氏溫度：

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第 三 題25 分

考慮氦氣通過一個渦輪機進行等熵膨脹過程。氦氣在渦輪機的入口壓力為 350 kPa350\,\mathrm{kPa}，而其溫度為 240 ∘C240\,^\circ\mathrm{C}。在出口處其壓力下降為 100 kPa100\,\mathrm{kPa}。假設這個渦輪機本身是絕熱的，而且入口的面積很小，入口速度幾乎是零，而出口的速度為 210 m/s210\,\mathrm{m/s}。氦氣通過渦輪機的膨脹過程方程式為 pv1.6=Cpv^{1.6}=C。

請問：

(一) 出口的溫度是多少？（10 分）

(二) 焓的變化是多少？（8 分）

(三) 每一公斤氦氣總共做了多少功？（7 分）

（氦氣的氣體常數為 2.0769 kJ/(kg⋅K)2.0769\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，CpC_p 為 5.234 kJ/(kg⋅K)5.234\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，假設為理想氣體。）

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核心觀念

本題考查理想氣體的多變過程關係、焓變計算，以及穩流能量方程式。

題目給定過程方程式 pv1.6=Cpv^{1.6}=C，因此多變指數為 n=1.6n=1.6。理想氣體在多變過程中滿足：

T2T1=(p2p1)(n−1)/n\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(n-1)/n}

渦輪機為絕熱穩流裝置，忽略位能變化時，穩流能量方程式為：

q−ws=(h2−h1)+V22−V122q-w_s=(h_2-h_1)+\frac{V_2^2-V_1^2}{2}

其中 wsw_s 為每公斤流體輸出的軸功。

解題方法

（一）出口溫度

先將入口溫度換算為絕對溫度：

T1=240+273.15=513.15 KT_1=240+273.15=513.15\ \mathrm{K}

代入多變過程關係，並使用壓力比：

T2=513.15(100350)(1.6−1)/1.6=320.79 KT_2 = 513.15 \left(\frac{100}{350}\right)^{(1.6-1)/1.6} = 320.79\ \mathrm{K}

換算為攝氏溫度：

T2=320.79−273.15=47.64 ∘CT_2=320.79-273.15=47.64\,^\circ\mathrm{C}

（二）焓的變化

理想氣體的焓只與溫度有關，且題目給定 Cp=5.234 kJ/(kg⋅K)C_p=5.234\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}：

Δh=h2−h1=Cp(T2−T1)\Delta h=h_2-h_1=C_p(T_2-T_1)
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第 四 題25 分

卡諾熱引擎（Carnot heat engine）是由定溫吸熱過程、絕熱膨脹過程、定溫排熱過程、絕熱壓縮過程四個熱力學過程所組成，並且在兩個不同溫度的熱源間操作才能輸出功。

如果使用 1 kg1\,\mathrm{kg} 空氣作為引擎內的工作流體，假設一開始引擎內的狀態一，溫度是 100 ∘C100\,^\circ\mathrm{C}，壓力為 200 kPa200\,\mathrm{kPa}。首先定溫吸熱至狀態二，溫度是 100 ∘C100\,^\circ\mathrm{C}，壓力為 175 kPa175\,\mathrm{kPa}。接著絕熱膨脹至狀態三，溫度為 50 ∘C50\,^\circ\mathrm{C}，壓力為 100 kPa100\,\mathrm{kPa}。然後定溫排熱至狀態四，溫度為 50 ∘C50\,^\circ\mathrm{C}，壓力為 114.29 kPa114.29\,\mathrm{kPa}。最後絕熱壓縮回到狀態一。請問：

(一) 由狀態一到二的熵變化是多少？（5 分）

(二) 狀態三到四的熵變化是多少？（5 分）

(三) 這個卡諾循環產生的功是多少？（10 分）

(四) 其熱循環效率是多少？（5 分）

（空氣的氣體常數為 0.287 kJ/(kg⋅K)0.287\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，CpC_p 為 1.005 kJ/(kg⋅K)1.005\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，假設為理想氣體。）

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核心觀念

卡諾循環由兩段可逆等溫過程與兩段可逆絕熱過程組成。對理想氣體的等溫過程，內能變化為零，熵變及熱量可由下式計算：

Δs=Rln⁡V2V1=Rln⁡P1P2,q=TΔs\Delta s=R\ln\frac{V_2}{V_1} =R\ln\frac{P_1}{P_2}, \qquad q=T\Delta s

第二個等號使用了等溫理想氣體關係 PV=定值PV=\text{定值}。可逆絕熱過程的熵變為零，因此卡諾循環的高溫等溫吸熱熵增，必與低溫等溫排熱熵減大小相等。

解題方法

以每公斤空氣為基準，兩個熱源的絕對溫度為

TH=100+273.15=373.15 K,TL=50+273.15=323.15 KT_H=100+273.15=373.15\ \mathrm{K}, \qquad T_L=50+273.15=323.15\ \mathrm{K}

（一）狀態一至二的熵變

狀態一至二為 THT_H 等溫吸熱。由理想氣體狀態方程，等溫時 V2/V1=P1/P2V_2/V_1=P_1/P_2，因此

Δs1→2=Rln⁡P1P2=0.287ln⁡200175=0.0383 kJ/(kg⋅K)\Delta s_{1\to2} =R\ln\frac{P_1}{P_2} =0.287\ln\frac{200}{175} =0.0383\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

題目給定 m=1 kgm=1\ \mathrm{kg}，故總熵變為

ΔS1→2=mΔs1→2=0.0383 kJ/K\Delta S_{1\to2}=m\Delta s_{1\to2} =0.0383\ \mathrm{kJ/K}

熵變為正，符合等溫吸熱時熵增加的方向。

（二）狀態三至四的熵變

狀態三至四為 TLT_L 等溫排熱：

Δs3→4=Rln⁡P3P4=0.287ln⁡100114.29=−0.0383 kJ/(kg⋅K)\Delta s_{3\to4} =R\ln\frac{P_3}{P_4} =0.287\ln\frac{100}{114.29} =-0.0383\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

因此

ΔS3→4=mΔs3→4=−0.0383 kJ/K\Delta S_{3\to4}=m\Delta s_{3\to4} =-0.0383\ \mathrm{kJ/K}

熵變為負，且與高溫等溫吸熱的熵變大小相等，符合卡諾循環的可逆性。

（三）卡諾循環產生的功

等溫過程中理想氣體的熱量為 q=TΔsq=T\Delta s。高溫端吸熱量為

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