112 高普考高考三級 機械工程 熱力學 考古題詳解

112 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 熱力學

第 一 題20 分

（一）有一 400 m3400\ \mathrm{m^3} 之儲存槽儲存液態天然氣。天然氣之主要成分為甲烷。儲存槽內之甲烷壓力為 100 kPa100\ \mathrm{kPa}，液態及氣態之體積占比分別為 98%98\% 及 2%2\%。請問儲存槽內甲烷之質量為何？甲烷之乾度為何？

（二）在燃氣發電中，需先將液態天然氣汽化，釋放之能量稱為冷能。請問（一）之天然氣汽化至 100 kPa100\ \mathrm{kPa} 之飽和蒸汽釋放之冷能。

給予數據：甲烷於 100 kPa100\ \mathrm{kPa} 時，vf=0.002366 m3/kgv_f=0.002366\ \mathrm{m^3/kg}、vg=0.55665 m3/kgv_g=0.55665\ \mathrm{m^3/kg}、hf=−286.5 kJ/kgh_f=-286.5\ \mathrm{kJ/kg}、hg=223.83 kJ/kgh_g=223.83\ \mathrm{kJ/kg}。

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核心觀念

本題考查飽和兩相混合物的比容、乾度與質量計算，以及液態天然氣汽化時的焓差與冷能。

乾度 xx 是飽和混合物中蒸氣質量占總質量的比例：

x=mgmf+mgx=\frac{m_g}{m_f+m_g}

飽和兩相混合物的比容為：

v=(1−x)vf+xvgv=(1-x)v_f+xv_g

由於題目給的是液相與氣相的體積占比，須先分別求出兩相質量，再計算乾度與總質量；不能把體積占比直接當成乾度。

解題方法

槽內液相與氣相體積分別為：

Vf=400(0.98)=392 m3V_f=400(0.98)=392\ \mathrm{m^3} Vg=400(0.02)=8 m3V_g=400(0.02)=8\ \mathrm{m^3}

利用各相比容求質量：

mf=Vfvf=3920.002366≈165 680.5 kgm_f=\frac{V_f}{v_f} =\frac{392}{0.002366} \approx 165\,680.5\ \mathrm{kg} mg=Vgvg=80.55665≈14.371 kgm_g=\frac{V_g}{v_g} =\frac{8}{0.55665} \approx 14.371\ \mathrm{kg}

因此甲烷總質量為：

m=mf+mg≈165 694.9 kg≈1.657×105 kgm=m_f+m_g \approx 165\,694.9\ \mathrm{kg} \approx 1.657\times 10^5\ \mathrm{kg}

乾度為氣相質量占總質量的比例：

x=mgm=14.371165 694.9≈8.67×10−5x=\frac{m_g}{m} =\frac{14.371}{165\,694.9} \approx 8.67\times 10^{-5}

即乾度約為 0.00008670.0000867，換算百分比約為 0.00867%0.00867\%。

（二）汽化釋放之冷能

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第 二 題20 分

（一）100 kPa100\ \mathrm{kPa}、150∘C150^\circ\mathrm{C} 的水在可逆過程下被加入熱量 75 kJ/kg75\ \mathrm{kJ/kg}，加熱過程可為等溫、等容或等壓。請問在何種過程熵改變量最大？試以 TT-SS 圖解釋之。

（二）液態物質在可逆絕熱過程時，溫度之改變為何？

（三）理想氣體在可逆絕熱過程時，溫度與壓力關係為何？

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核心觀念

可逆過程中，單位質量的熵變由可逆熱量定義：

ds=δqrevTds=\frac{\delta q_{\mathrm{rev}}}{T}

因此，從相同初態加入相同熱量時，熵變為熱量沿過程除以當下溫度的積分：

Δs=∫12δqrevT\Delta s=\int_1^2\frac{\delta q_{\mathrm{rev}}}{T}

初態溫度為 T1=150+273.15=423.15 KT_1=150+273.15=423.15\ \mathrm{K}。等溫過程中溫度維持在 423.15 K423.15\ \mathrm{K}；等容或等壓加熱時，水的溫度都會上升。

解題方法

等溫加熱的熵變為：

Δs等溫=qrevT1=75423.15≈0.1773 kJ/(kg⋅K)\Delta s_{\mathrm{等溫}} =\frac{q_{\mathrm{rev}}}{T_1} =\frac{75}{423.15} \approx 0.1773\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

等容或等壓加熱時，熱量是在高於初溫的溫度下逐步加入，因此積分中的 1/T1/T 會隨溫度上升而減小。相同熱量下，這兩種過程的熵變都小於等溫加熱。

TT-ss 圖解

在 TT-ss 圖上，可逆熱量為曲線下的面積：

qrev=∫T dsq_{\mathrm{rev}}=\int T\,ds

三種過程加入的熱量皆為 75 kJ/kg75\ \mathrm{kJ/kg}，面積相同。等溫過程的溫度固定在初始溫度，曲線是水平線，所需的熵增寬度最大；等容與等壓加熱時，溫度向上升高，相同面積所對應的熵增寬度較小。

解題技巧

同一初態、加入相同熱量時，可比較加熱過程的溫度：熱量若在較低溫度下加入，熵增較大。本題等溫過程維持在初始溫度，其餘兩種過程溫度上升，所以等溫過程熵增最大。

（二）液態物質可逆絕熱時的溫度變化

核心觀念與解題方法

可逆絕熱過程沒有熱量傳遞，因此：

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第 三 題20 分

空氣進入一絕熱穩流渦輪機之壓力為 1200 kPa1200\ \mathrm{kPa}，溫度為 1500 K1500\ \mathrm{K}，出口壓力為 200 kPa200\ \mathrm{kPa}。渦輪機之等熵效率為 78%78\%。在等壓比熱為常數且值為 1.004 kJ/(kg⋅K)1.004\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} 之假設下，求出渦輪機出口溫度及熱力學第二效率。

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核心觀念

本題考查絕熱穩流渦輪機的能量方程、等熵效率，以及熱力學第二效率的定義。空氣視為理想氣體，且定壓比熱 cpc_p 為常數。

渦輪機的等熵效率定義為：

ηt=實際輸出功同入口狀態、同出口壓力下的等熵輸出功=h1−h2,ah1−h2,s\eta_t=\frac{\text{實際輸出功}}{\text{同入口狀態、同出口壓力下的等熵輸出功}} =\frac{h_1-h_{2,a}}{h_1-h_{2,s}}

其中 2,a2,a 表示實際出口狀態，2,s2,s 表示等熵出口狀態。對定比熱理想氣體，h=cpTh=c_pT，因此：

ηt=T1−T2,aT1−T2,s\eta_t=\frac{T_1-T_{2,a}}{T_1-T_{2,s}}

熱力學第二效率則比較實際渦輪機功與入口狀態在出口壓力下可取得的最大功；此最大功對應出口溫度降至 T0T_0 的環境基準狀態。本題未另給環境溫度，依一般題意以環境基準溫度 T0=300 KT_0=300\ \mathrm{K} 計算。

解題方法

先由空氣的定壓比熱求比熱比。取空氣氣體常數 R=0.287 kJ/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}：

cv=cp−R=1.004−0.287=0.717 kJ/(kg⋅K)c_v=c_p-R=1.004-0.287=0.717\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} k=cpcv=1.0040.717≈1.400k=\frac{c_p}{c_v}=\frac{1.004}{0.717}\approx1.400

由等熵理想氣體關係式，渦輪機等熵出口溫度為：

T2,sT1=(P2P1)(k−1)/k\frac{T_{2,s}}{T_1} =\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}

代入 T1=1500 KT_1=1500\ \mathrm{K}、P1=1200 kPaP_1=1200\ \mathrm{kPa}、P2=200 kPaP_2=200\ \mathrm{kPa}：

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第 四 題20 分

（一）將大氣等壓或等容冷卻，何者之露點溫度（dew point temperature）較低？請以 TT-SS 圖解釋。

（二）大氣溫度由 35∘C35^\circ\mathrm{C} 降至 20∘C20^\circ\mathrm{C}，絕對濕度由 0.01750.0175 降至 0.010.01，相對濕度由 50%50\% 提高至 70%70\%，請問需加濕或除濕？請將此過程顯示於濕氣圖上。

（三）大氣自 20∘C20^\circ\mathrm{C}、100 kPa100\ \mathrm{kPa}、相對濕度 60%60\% 壓縮至 600 kPa600\ \mathrm{kPa}，並冷卻至 20∘C20^\circ\mathrm{C}，將水分移除。若乾空氣流量為 0.5 kg/s0.5\ \mathrm{kg/s}，請問水移除流量及冷卻後之相對濕度。

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核心觀念

本題考查濕空氣的露點、加濕與除濕判斷，以及濕空氣冷卻除水的質量平衡。令含濕比（題目所稱「絕對濕度」）為 ω\omega，表示每公斤乾空氣所含的水蒸氣質量：

ω=0.622pvP−pv\omega=0.622\frac{p_v}{P-p_v}

其中 pvp_v 為水蒸氣分壓，PP 為總壓。相對濕度 ϕ\phi 與水蒸氣分壓的關係為：

ϕ=pvpws(T)\phi=\frac{p_v}{p_{ws}(T)}

pws(T)p_{ws}(T) 是該溫度下水的飽和壓力。露點溫度是水蒸氣分壓保持不變時，濕空氣冷卻至剛好飽和的溫度。

解題方法

（一）等壓冷卻與等容冷卻的露點

在 TT-SS 圖上，等壓冷卻沿定壓線降溫；等容冷卻沿定容線降溫。兩種冷卻方式若起始狀態相同，冷卻至飽和時，水蒸氣分壓達到該狀態的飽和壓力，對應溫度即為露點。

以理想氣體混合物的水蒸氣分壓關係比較：

  • 等壓冷卻：總壓固定，而水蒸氣莫耳分率不變，故 pvp_v 固定。冷卻至飽和時，pws(Tdp)=pvp_{ws}(T_{dp})=p_v。
  • 等容冷卻：體積固定，水蒸氣尚未凝結前，其分壓隨絕對溫度降低，pv∝Tp_v\propto T；因此冷卻過程中水蒸氣分壓下降。到達飽和時須降至較低溫度，才能滿足 pws(T)=pv(T)p_{ws}(T)=p_v(T)。

所以等容冷卻的露點較低。TT-SS 圖示意如下，飽和線與冷卻路徑交點為各自的飽和狀態：

T
↑ 等壓冷卻
│ ↙
│ ● 起始狀態
│ ↙ 等容冷卻
│ ● 飽和（等壓）
│ ● 飽和（等容）
└────────────────→ S

（二）判斷加濕或除濕

題目已給含濕比由 0.01750.0175 降至 0.010.01。以每公斤乾空氣為基準，水蒸氣含量減少：

Δω=0.01−0.0175=−0.0075 kg/kgda\Delta\omega=0.01-0.0175=-0.0075\ \mathrm{kg/kg_{da}}

因此該過程是除濕。相對濕度由 50%50\% 升至 70%70\%，並不代表加濕；空氣降溫會使飽和水蒸氣壓降低，即使水蒸氣含量下降，相對濕度仍可上升。

在濕氣圖上，以溫度為橫軸、含濕比為縱軸，過程由 (35∘C, 0.0175)(35^\circ\mathrm C,\,0.0175) 移至 (20∘C, 0.01)(20^\circ\mathrm C,\,0.01)，箭頭向左下方，並由 50%50\% 相對濕度線移至 70%70\% 線：

ω（含濕比）
↑
│ ● 起點：35°C，ω=0.0175，φ=50%
│ ↙
│ ● 終點：20°C，ω=0.01，φ=70%
└────────────────────────→ T

（三）壓縮冷卻除水

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第 五 題20 分

一鋼瓶內有 2 kmol2\ \mathrm{kmol} 的碳（carbon, C）及 2 kmol2\ \mathrm{kmol} 的氧（oxygen, O2_2），溫度為 25∘C25^\circ\mathrm{C}，壓力為 200 kPa200\ \mathrm{kPa}。在燃燒後產生 1 kmol1\ \mathrm{kmol} 二氧化碳（carbon dioxide, CO2_2）、1 kmol1\ \mathrm{kmol} 一氧化碳（carbon monoxide, CO）以及過剩的氧。燃燒後溫度為 1000 K1000\ \mathrm{K}。請問鋼瓶最後壓力以及此燃燒過程之熱傳量為何？

給予數據：

項目CO2_2COO2_2C
形成焓（enthalpy of formation）（kJ/kmol\mathrm{kJ/kmol}）−393522-393522−110527-1105270000
等壓比熱（kJ/(kg⋅K)\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}）0.8420.8421.0411.0410.9220.922____
分子量（kg/kmol\mathrm{kg/kmol}）4444282832321212
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查：

  1. 燃燒反應後的物質莫耳數平衡。
  2. 剛性密閉鋼瓶的理想氣體狀態方程式。
  3. 封閉系統能量平衡： Q−W=ΔUQ-W=\Delta U
  4. 利用形成焓與定壓比熱計算內能變化。

鋼瓶為剛性容器，因此邊界功為零：

Wb=∫P dV=0W_b=\int P\,dV=0

故熱傳量為：

Q=ΔUQ=\Delta U

解題方法

一、求燃燒後各物質的量

碳的反應為：

2C+1.5O2→CO2+CO2\mathrm{C}+1.5\mathrm{O_2}\rightarrow \mathrm{CO_2}+\mathrm{CO}

氧氣消耗量為：

1kmol O2×1+  1kmol CO×12=1.5kmol O21\mathrm{kmol\ O_2}\times 1+\;1\mathrm{kmol\ CO}\times\frac{1}{2} =1.5\mathrm{kmol\ O_2}

因此剩餘氧氣：

nO2,2=2−1.5=0.5 kmoln_{\mathrm{O_2},2}=2-1.5=0.5\ \mathrm{kmol}

燃燒後氣體總莫耳數：

n2=1+1+0.5=2.5 kmoln_2=1+1+0.5=2.5\ \mathrm{kmol}

初始氣體為 2 kmol2\ \mathrm{kmol} 的氧氣。

二、求鋼瓶最後壓力

剛性鋼瓶的體積不變，採理想氣體假設：

P1Vn1T1=P2Vn2T2\frac{P_1V}{n_1T_1}=\frac{P_2V}{n_2T_2}

因此：

P2=P1n2T2n1T1P_2=P_1\frac{n_2T_2}{n_1T_1}

代入：

P2=200(2.5)(1000)(2)(298.15)P_2 =200\frac{(2.5)(1000)}{(2)(298.15)}

P2≈839.5 kPa\boxed{P_2\approx 839.5\ \mathrm{kPa}}

三、計算焓變

以 25∘C=298.15 K25^\circ\mathrm{C}=298.15\ \mathrm{K} 為參考狀態，初始物質的形成焓均為零。

各物質之摩爾定壓熱容量為：

cˉp,CO2=0.842(44)=37.048 kJ/(kmol⋅K)\bar c_{p,\mathrm{CO_2}}=0.842(44)=37.048\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)} cˉp,CO=1.041(28)=29.148 kJ/(kmol⋅K)\bar c_{p,\mathrm{CO}}=1.041(28)=29.148\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)} cˉp,O2=0.922(32)=29.504 kJ/(kmol⋅K)\bar c_{p,\mathrm{O_2}}=0.922(32)=29.504\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}

燃燒後的總焓變為：

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