112 高普考高考三級 機械工程 機械設計 考古題詳解

112 年・高普考・高考三級・機械工程
試題代碼 機械設計

第 一 題25 分

如圖一所示為一實心圓柱轉軸結構，其中直徑 d=30 mmd=30\ \mathrm{mm}、直徑 D=40 mmD=40\ \mathrm{mm}、寬度 L3=40 mmL_3=40\ \mathrm{mm}。該轉軸傳遞轉速 n=1500 rpmn=1500\ \mathrm{rpm}，並承受一 F=2500 NF=2500\ \mathrm{N} 之負載。負載施加位置至兩端軸承 b1b_1 及 b2b_2 之距離，分別為 L1=90 mmL_1=90\ \mathrm{mm} 及 L2=120 mmL_2=120\ \mathrm{mm}。已知該轉軸由降伏強度 Sy=650 MPaS_y=650\ \mathrm{MPa}、疲勞強度 Se=200 MPaS_e=200\ \mathrm{MPa} 之材料製成，試問：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖一，實心圓柱轉軸結構】

(一) 轉軸所受「最大彎曲應力」數值及位置？

(二) 若忽略扭矩對轉軸造成之應力，則依據 Soderberg 疲勞強度準則：

σm+σa(SySe)≤SyN\sigma_m+\sigma_a\left(\frac{S_y}{S_e}\right)\leq\frac{S_y}{N}

其中，σm\sigma_m 為平均應力、σa\sigma_a 為振幅應力。施加負載 FF 處之「最小疲勞安全因子 NN」為多少？

(三) 若兩端軸承為相同之深溝球軸承，其基本額定動負載 C=9.8 kNC=9.8\ \mathrm{kN}，試問「最小軸承壽命」為多少小時？

補充公式及說明：

(1) 球軸承負載 FF 與壽命 LL 之關係為：

F3L=常數F^3L=\text{常數}

(2) 基本額定動負載 CC 對應 10610^6 轉之軸承額定壽命。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查：

  1. 簡支梁支承反力與彎矩圖
  2. 圓實心軸的彎曲正應力 σ=McI=32Mπd3\sigma=\frac{Mc}{I}=\frac{32M}{\pi d^3}
  3. 旋轉軸的完全反覆彎曲應力：固定空間位置的應力平均值為 σm=0\sigma_m=0。
  4. Soderberg 疲勞準則 σm+σa(SySe)≤SyN\sigma_m+\sigma_a\left(\frac{S_y}{S_e}\right)\leq\frac{S_y}{N}
  5. 深溝球軸承額定壽命 L10=(CP)3(106)轉L_{10}=\left(\frac{C}{P}\right)^3(10^6)\quad\text{轉}

解題方法

令左、右兩端軸承反力分別為 R1R_1、R2R_2。兩軸承中心距為

L1+L2=90+120=210 mmL_1+L_2=90+120=210\ \mathrm{mm}

由靜力平衡：

R1+R2=2500R_1+R_2=2500

對左側軸承取力矩：

R2(210)=2500(90)R_2(210)=2500(90)

因此

R2=1071.43 NR_2=1071.43\ \mathrm{N}

R1=2500−1071.43=1428.57 NR_1=2500-1071.43=1428.57\ \mathrm{N}

負載 FF 位於兩軸承之間，彎矩最大值會出現在負載作用線附近；但由於中央軸段寬度為 L3=40 mmL_3=40\ \mathrm{mm}，必須同時比較中央大徑段與兩側小徑段的彎曲應力。

（一）最大彎曲應力及其位置

1. 負載作用線處彎矩

MF=R1L1=1428.57(90)M_F=R_1L_1=1428.57(90)

MF=128571.43 N⋅mmM_F=128571.43\ \mathrm{N\cdot mm}

負載作用線位於中央大徑段 D=40 mmD=40\ \mathrm{mm} 的中央，因此該處彎曲應力為

σF=32MFπD3\sigma_F=\frac{32M_F}{\pi D^3}

σF=32(128571.43)π(40)3=20.47 MPa\sigma_F =\frac{32(128571.43)}{\pi(40)^3} =20.47\ \mathrm{MPa}

2. 左側肩部

左側肩部距離左軸承為

x=L1−L32=90−20=70 mmx=L_1-\frac{L_3}{2}=90-20=70\ \mathrm{mm}

其彎矩為

M左肩=R1(70)=1428.57(70)=100000 N⋅mmM_{\text{左肩}}=R_1(70) =1428.57(70) =100000\ \mathrm{N\cdot mm}

肩部外側為小徑軸 d=30 mmd=30\ \mathrm{mm}，故

σ左肩=32(100000)π(30)3=37.72 MPa\sigma_{\text{左肩}} =\frac{32(100000)}{\pi(30)^3} =37.72\ \mathrm{MPa}

3. 右側肩部

右側肩部距離右軸承為

x=L2−L32=120−20=100 mmx=L_2-\frac{L_3}{2}=120-20=100\ \mathrm{mm}

其彎矩為

M右肩=R2(100)=1071.43(100)=107142.86 N⋅mmM_{\text{右肩}}=R_2(100) =1071.43(100) =107142.86\ \mathrm{N\cdot mm}

因此

σ右肩=32(107142.86)π(30)3=40.41 MPa\sigma_{\text{右肩}} =\frac{32(107142.86)}{\pi(30)^3} =40.41\ \mathrm{MPa}

比較各處應力：

40.41>37.72>20.47 MPa40.41>37.72>20.47\ \mathrm{MPa}

所以最大彎曲應力發生於右側大徑 DD 與小徑 dd 的肩部位置，即距負載作用線右方 L3/2=20 mmL_3/2=20\ \mathrm{mm} 處。

亦可表示為：

  • 距左軸承：90+20=110 mm90+20=110\ \mathrm{mm}
  • 距右軸承：120−20=100 mm120-20=100\ \mathrm{mm}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

有一正向降伏強度 Sy=400 MPaS_y=400\ \mathrm{MPa} 之零件，已知該零件某位置承受如圖二所示之應力狀態，試分別依據「最大剪應力（Maximum shear stress）」及「畸變能（Distortion energy）」失效準則，分析此位置之「安全因子 NN」為何？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖二，應力狀態示意圖】

補充公式及說明：

(1) 最大剪應力失效準則：

τmax⁡≤0.5SyN\tau_{\max}\leq\frac{0.5S_y}{N}

(2) 畸變能失效準則：

σe≤SyN\sigma_e\leq\frac{S_y}{N}

σe=12[(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)2]1/2\sigma_e=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\right]^{1/2}

其中，σ1\sigma_1、σ2\sigma_2 及 σ3\sigma_3 為三個方向的主應力（Principal stress）。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查延性材料在三維應力狀態下，分別使用：

  1. 最大剪應力失效準則（Tresca criterion）
  2. 畸變能失效準則（von Mises criterion）

圖二之應力可辨識為：

  • 60 MPa60\ \mathrm{MPa}：拉應力
  • 80 MPa80\ \mathrm{MPa}：拉應力
  • 30 MPa30\ \mathrm{MPa}：壓應力，因此取 −30 MPa-30\ \mathrm{MPa}
  • 90 MPa90\ \mathrm{MPa}：剪應力

取應力矩陣為

[σ]=[−30900906000080] MPa[\sigma]= \begin{bmatrix} -30 & 90 & 0\\ 90 & 60 & 0\\ 0 & 0 & 80 \end{bmatrix} \ \mathrm{MPa}

其中剪應力須成對出現，故互補剪應力均為 90 MPa90\ \mathrm{MPa}。

解題方法：求主應力

由於第三方向與前兩方向沒有耦合，因此其中一個主應力直接為

σ=80 MPa\sigma=80\ \mathrm{MPa}

其餘兩個主應力由二維應力狀態求得：

σ1,3=σx+σy2±(σx−σy2)2+τxy2\sigma_{1,3} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }

代入 σx=−30 MPa\sigma_x=-30\ \mathrm{MPa}、σy=60 MPa\sigma_y=60\ \mathrm{MPa}、τxy=90 MPa\tau_{xy}=90\ \mathrm{MPa}：

σx+σy2=−30+602=15 MPa\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{-30+60}{2}=15\ \mathrm{MPa} (−30−602)2+902=452+902=100.62 MPa\sqrt{ \left(\frac{-30-60}{2}\right)^2+90^2 } = \sqrt{45^2+90^2} = 100.62\ \mathrm{MPa}

因此

σ1=15+100.62=115.62 MPa\sigma_1=15+100.62=115.62\ \mathrm{MPa} σ3=15−100.62=−85.62 MPa\sigma_3=15-100.62=-85.62\ \mathrm{MPa}

三個主應力依大小排列為

σ1=115.62 MPa,σ2=80 MPa,σ3=−85.62 MPa\sigma_1=115.62\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_2=80\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_3=-85.62\ \mathrm{MPa}

(一) 最大剪應力失效準則

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題25 分

如圖三所示，有一立式雙螺紋方牙螺桿傳動裝置。已知螺桿節圓直徑 dm=35 mmd_m=35\ \mathrm{mm}、節距 p=4 mmp=4\ \mathrm{mm}、螺紋面間之摩擦係數 μ=0.1\mu=0.1。若負載 W=8 kNW=8\ \mathrm{kN}，期望設計上升速率 v=20 mm/sv=20\ \mathrm{mm/s}，則傳動功率 PP 為何？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖三，螺桿傳動裝置示意圖】

補充公式及說明：

負載螺桿上升所需扭矩：

T=Wdm2(πμdm+ℓπdm−μℓ)T=\frac{Wd_m}{2}\left(\frac{\pi\mu d_m+\ell}{\pi d_m-\mu\ell}\right)

其中，ℓ\ell 為導程。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查雙螺紋方牙螺桿的：

  1. 導程與節距的關係
  2. 負載上升所需扭矩
  3. 螺桿轉速與上升速度的關係
  4. 傳動功率計算

雙螺紋表示每轉前進兩個節距，因此導程為

ℓ=2p=2(4)=8 mm\ell=2p=2(4)=8\ \text{mm}

題目給定扭矩公式，直接代入計算。假設忽略軸承及螺帽端面摩擦，只考慮螺紋面摩擦。

解題方法

1. 計算螺桿上升所需扭矩

已知

W=8 kN=8000 NW=8\ \text{kN}=8000\ \text{N} dm=35 mm=0.035 md_m=35\ \text{mm}=0.035\ \text{m} μ=0.1,ℓ=8 mm=0.008 m\mu=0.1,\qquad \ell=8\ \text{mm}=0.008\ \text{m}

代入

T=Wdm2(πμdm+ℓπdm−μℓ)T=\frac{Wd_m}{2} \left( \frac{\pi\mu d_m+\ell}{\pi d_m-\mu\ell} \right) T=(8000)(0.035)2[π(0.1)(0.035)+0.008π(0.035)−0.1(0.008)]T= \frac{(8000)(0.035)}{2} \left[ \frac{\pi(0.1)(0.035)+0.008} {\pi(0.035)-0.1(0.008)} \right] T=140(0.010996+0.0080.109956−0.0008)T=140 \left( \frac{0.010996+0.008} {0.109956-0.0008} \right) T≈24.37 N⋅mT\approx 24.37\ \text{N}\cdot\text{m}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

如圖四所示為一螺旋齒輪傳動系統，輸入力由軸 1 上之齒輪 aa 傳遞給軸 2 之齒輪 bb，再由齒輪 cc 傳遞至軸 3 之齒輪 dd 後輸出。已知輸入軸之傳遞功率 P1=10 kWP_1=10\ \mathrm{kW}、轉速 n1=1200 rpmn_1=1200\ \mathrm{rpm}（由左側軸端觀察，旋轉方向為順時針旋轉）。已知齒輪均為無轉位量之標準螺旋齒輪（規格如表一），考慮經一螺旋齒輪對傳遞後功率損失 2%2\%，試作答以下問題：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖四，螺旋齒輪傳動系統簡圖】

(一) 若已知齒輪 aa 為左旋齒輪，請合理決定齒輪 bb、cc、dd 之螺旋方向（左旋或右旋），以及齒輪 bb、cc、dd 所受之軸向力方向（向左或向右）？

(二) 軸 2 及軸 3 傳遞之轉速及扭矩分別為多少？

(三) 若欲使軸 2 上兩齒輪所產生之軸向力互相抵消，則齒輪 cc 之節圓螺旋角應設計為多少？

補充公式及說明：

螺旋齒輪輪齒在節圓位置所受之切向力 FtF_t 與軸向力 FaF_a 的關係式為：

Fa=Fttan⁡βF_a=F_t\tan\beta

其中，β\beta 為節圓螺旋角。

表一　齒輪規格：

項目（單位）高速級齒輪 aa高速級齒輪 bb低速級齒輪 cc低速級齒輪 dd
法向模數（mm）2.52.54.04.0
法向壓力角（度）20202020
節圓螺旋角（度）1111________
齒數17431737
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查螺旋齒輪之：

  • 外嚙合齒輪的轉速比與扭矩比
  • 螺旋方向與軸向力方向判定
  • 傳動效率對功率、扭矩的影響
  • 軸向力抵消條件

齒輪節圓直徑為

d=mnzcos⁡βd=\frac{m_n z}{\cos\beta}

其中 mnm_n 為法向模數，zz 為齒數，β\beta 為節圓螺旋角。

（一）螺旋方向與軸向力

外嚙合螺旋齒輪必須使用相反旋向，因此：

  • 齒輪 aa 為左旋，齒輪 bb 必為右旋。
  • 為使軸 2 上齒輪 bb、cc 的軸向力方向相反，齒輪 cc 採右旋。
  • 齒輪 cc 與 dd 外嚙合，因此齒輪 dd 採左旋。

故旋向為：

a：左旋,b：右旋,c：右旋,d：左旋a：左旋,\qquad b：右旋,\qquad c：右旋,\qquad d：左旋

由左側觀察，軸 1 順時針旋轉。齒輪 aa 為主動齒輪，依螺旋方向判定其對齒輪 bb 的軸向作用，使齒輪 bb 所受軸向力向左。

軸 2 上齒輪 cc 為右旋主動齒輪，其所受軸向力與 bb 相反，向右；齒輪 dd 所受軸向力則與 cc 相反，向左。

b:右旋，軸向力向左c:右旋，軸向力向右d:左旋，軸向力向左\boxed{ \begin{aligned} b &: \text{右旋，軸向力向左}\\ c &: \text{右旋，軸向力向右}\\ d &: \text{左旋，軸向力向左} \end{aligned} }

（二）軸 2、軸 3 的轉速與扭矩

1. 軸 2 轉速

齒輪 aa、bb 外嚙合，因此

n2=n1zazbn_2=n_1\frac{z_a}{z_b}

代入 n1=1200 rpmn_1=1200\ \mathrm{rpm}、za=17z_a=17、zb=43z_b=43：

n2=12001743=474.4 rpmn_2=1200\frac{17}{43} =474.4\ \mathrm{rpm}

第一級傳動後功率損失 2%2\%：

P2=10(1−0.02)=9.8 kWP_2=10(1-0.02)=9.8\ \mathrm{kW}

2. 軸 2 扭矩

使用

T=9550PnT=\frac{9550P}{n}

其中 PP 以 kW、nn 以 rpm、TT 以 N·m 表示：

T2=9550(9.8)474.4=197.3 N⋅mT_2=\frac{9550(9.8)}{474.4} =197.3\ \mathrm{N\cdot m}

3. 軸 3 轉速

齒輪 cc、dd 外嚙合，因此

n3=n2zczdn_3=n_2\frac{z_c}{z_d} n3=474.41737=218.0 rpmn_3=474.4\frac{17}{37} =218.0\ \mathrm{rpm}

第二級傳動後功率為

P3=9.8(1−0.02)=9.604 kWP_3=9.8(1-0.02) =9.604\ \mathrm{kW}

4. 軸 3 扭矩

T3=9550P3n3T_3=\frac{9550P_3}{n_3} T3=9550(9.604)218.0=420.7 N⋅mT_3=\frac{9550(9.604)}{218.0} =420.7\ \mathrm{N\cdot m}

因此：

n2=474.4 rpm\boxed{n_2=474.4\ \mathrm{rpm}} T2=197.3 N⋅m\boxed{T_2=197.3\ \mathrm{N\cdot m}} n3=218.0 rpm\boxed{n_3=218.0\ \mathrm{rpm}} T3=420.7 N⋅m\boxed{T_3=420.7\ \mathrm{N\cdot m}}

（三）使軸 2 軸向力抵消時，齒輪 cc 的螺旋角

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

機械工程《機械設計》其他年度

115114113111110109